2021牛客寒假算法基础集训营1 E.三棱锥之刻

E.三棱锥之刻

P为正三棱锥内部的中心，PA，PD为正三棱锥外接球半径，OP为正三棱锥内切球半径

结论：已知正三棱锥的棱长为a，那么正三棱锥外接球半径为：64a\frac{\sqrt{6}}{4}a46a ，正三棱锥内切球半径为：612a\frac{\sqrt{6}}{12}a126a

//minn为正三棱锥内切球半径，maxx为正三棱锥外接球半径
double minn = sqrt(6.0) * a / 12, maxx = sqrt(6.0) * a / 4;

double area;

本题分三种情况：

当染色半径 r≤612ar ≤ \frac{\sqrt{6}}{12}ar≤126a时，即染色球还未触及正三棱锥内壁，那么就无法染色

if (r <= minn) area = 0;//无法染色，染色面积自然为0

当染色半径 r≥64ar ≥ \frac{\sqrt{6}}{4}ar≥46a时，即染色球已经包含整个正三棱锥，那么整个正三棱柱的内部都会染色

else if (r >= maxx) area = sqrt(3.0) / 4 * f(a);//正三棱锥一个侧面三角形的面积

当染色半径 612a≤r≤64a\frac{\sqrt{6}}{12}a ≤ r ≤ \frac{\sqrt{6}}{4}a126a≤r≤46a 时，分为两个小情况：
(1) 当横截面积 ≤ 是三角形的内切圆即横截圆的半径 ≤ 36a\frac{\sqrt{3}}{6}a63a

此时OG为底面三角形ABC的内切圆，OG为内切圆的半径为：d=36ad = \frac{\sqrt{3}}{6}ad=63a ，染色圆的半径为：r

那么染色球与其中一个底面三角形ABC形成的横截圆的半径为：r1=(r−612a)2−d2r_1 = \sqrt{(r - \frac{\sqrt{6}}{12}a)^2 - d^2}r1=(r−126a)2−d2

所以：此时底面三角形ABC染色面积为：πr12πr_1^2πr12 ，有4个面就是 4πr124πr_1^24πr12

(2) 当正三角形的内切圆＜横截圆＜正三角形的外接圆即染色的面积如蓝色阴影部分：

这个面积分为两个部分：等腰三角形+扇形

此时的 r1,d,2dr_1, d, 2dr1,d,2d 如图所示

3个等腰三角形面积 = r12−d2×d×3\sqrt{r_1^2-d^2} × d × 3r12−d2×d×3

扇形的弧度：α=(2π−acos(dr1)×2×3)÷3α = (2π - acos(\frac{d}{r_1} )× 2 × 3) ÷ 3α=(2π−acos(r1d)×2×3)÷3

3个扇形面积 = α2π×π×r12×3\frac{α}{2π} × π × r_1^2 × 32πα×π×r12×3

else {if (r1 <= d) {area = PI * r1 * r1;} else {double area1 = sqrt(f(r1) - f(d)) * d * 3;//3个等腰三角形的面积//cos() 是已知一个角的弧度值 x，求该角的余弦值 y;而 acos() 是已知一个角的余弦值 y，求该角的弧度值 x。//扇形面积 = ((2 * PI - 三个等腰三角形的角度) * 3 / 3) / (PI * 2) * PI * f(r1);double area2 = ((((PI * 2) - (acos(d / r1) * 2) * 3) / 3) / (PI * 2)) * PI * f(r1);area = area1 + area2; }}

完整的AC代码：

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<string>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#define ll long long
#define int ll
#define PI acos(-1)
#define MOD 1000000007
using namespace std;
int read()
{int w = 1, s = 0;char ch = getchar();while (ch < '0' || ch>'9') { if (ch == '-') w = -1; ch = getchar(); }while (ch >= '0' && ch <= '9') { s = s * 10 + ch - '0';ch = getchar(); }return s * w;
}
//x的平方
double f(double x) {return x * x;
}
signed main() {double a;//题目给的正三棱锥的棱长double r;//题目给的染色的半径scanf("%lf%lf", &a, &r);// sqrt(6) * a / 12;是正三棱柱内切球的半径// sqrt(6) * a / 4; 是正三棱柱外接球的半径double minn = sqrt(6.0) * a / 12, maxx = sqrt(6.0) * a / 4;/*本题分三种情况：Ⅰ. 当染色半径 r <= sqrt(6) * a / 12; 那么就无法染色Ⅱ. 当染色半径 r >= sqrt(6) * a / 4;  那么整个正三棱柱的内部都会染色Ⅲ. 当染色半径 sqrt(6) * a / 12 < r < sqrt(6) * a / 4 时分为两个小情况：(1) 当横截面积 恰好是三角形的内切圆(2) 当横截面积 大于正三角形的内切圆 小于正三角形的外接圆*/double r1 = sqrt(f(r) - f(sqrt(6.0) * a / 12));//在正三棱锥的一个侧面被染色截面圆的半径double d = sqrt(3.0) / 6 * a;//正三角形的内切圆的半径double area;if (r <= minn) area = 0;else if (r >= maxx) area = sqrt(3.0) / 4 * f(a);//正三棱锥一个侧面三角形的面积else {if (r1 <= d) {area = PI * r1 * r1;} else {double area1 = sqrt(f(r1) - f(d)) * d * 3;//3个等腰三角形的面积//cos() 是已知一个角的弧度值 x，求该角的余弦值 y;而 acos() 是已知一个角的余弦值 y，求该角的弧度值 x。double area2 = 3 * ((((PI * 2) - (acos(d / r1) * 2) * 3) / 3) / (PI * 2)) * PI * f(r1);//扇形面积 = ((2 * PI - 三个等腰三角形的角度) * 3 / 3) / PI * 2 * PI * f(r1);area = area1 + area2;}}printf("%.6lf\n", area * 4);return 0;
}

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