2021牛客寒假算法基础集训营1

A. 串（线性DP）
B. 括号（构造）
E.三棱锥之刻（几何）
F. 对答案一时爽（签到）
I. 限制不互素对的排列（构造）
J. 一群小青蛙呱蹦呱蹦呱

A. 串（线性DP）

f[i][0]f[i][0]f[i][0] ：表示字符串前i个字符中既没有’u’也没有’s’；
f[i][1]f[i][1]f[i][1] ：表示字符串前i个字符中有’u’没有’s’；
f[i][2]f[i][2]f[i][2] ：表示字符串前i个字符中含有’u’也有’s’；

初始化：
f[1][0]f[1][0]f[1][0] = 25; // 第1项不是’u’，那么就有25种选择
f[1][1]f[1][1]f[1][1] = 1; // 第1项是’u’，那么就只能是1种选择，就是’u’
f[1][2]f[1][2]f[1][2] = 0; // 第1项是不可能同时存在u和s，所以 f[1][2]=0f[1][2]=0f[1][2]=0

状态转移方程：
如果前i项既不含’u’也不含’s’，那么前i-1项也不会含’u’和’s’；
f[i][0]=（25×f[i−1][0]）%MODf[i][0] = （25 × f[i-1][0]）\% MODf[i][0]=（25×f[i−1][0]）%MOD

如果前i项含有’u’不含’s’，那么有两种情况
① 第i项是’u’，那么：f[i−1][0]f[i-1][0]f[i−1][0]
② 第i项不是’u’，且要保证第i项不是’s’，那么就有25个选择：25×f[i−1][1]25 × f[i-1][1]25×f[i−1][1]
把这两种情况加起来结果

如果前i项含有’u’也含有’s’，那么也有两种情况
① 第i项是’s’，那么之前有’u’，转移方程就是：f[i−1][1]f[i-1][1]f[i−1][1]
② 第i项不是’s’，第i项有26种选择，f[i−1][2]×26f[i-1][2] × 26f[i−1][2]×26

综上：

f[i][0] = (25 * f[i - 1][0]) % MOD;
f[i][1] = (25 * f[i - 1][1] + f[i - 1][0]) % MOD;
f[i][2] = (f[i - 1][1] + f[i - 1][2] * 26) % MOD;

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
const int N = 1000010;
const int MOD = 1e9 + 7;
int n, ans;
int f[N][4];
signed main()
{ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0);cout.tie(0);cin >> n;f[1][0] = 25;f[1][1] = 1;f[1][2] = 0;for (int i = 2; i <= n; i++) {f[i][0] = (25 * f[i - 1][0]) % MOD;f[i][1] = (25 * f[i - 1][1] + f[i - 1][0]) % MOD;f[i][2] = (f[i - 1][1] + f[i - 1][2] * 26) % MOD;ans = (ans + f[i][2]) % MOD;}cout << ans << endl;return 0;
}

B. 括号（构造）

题意：
本题是一个构造题，需要构造一个形如：
a × b + c的形式
如11
11 = 3 × 3 + 2
因为右边要形成一个2，所以将 a×b+ca×b+ca×b+c 变换形式：变成 a×(b−1)+c+ba × (b - 1) + c + ba×(b−1)+c+b
这样子就能满足题意了：
举几个例子：
如果是 11 的时候： 3 × 3 + 2；
如果是 101 的时候：10 × 10 + 1；

① 求出一个 aaa，使得 a2a^2a2 是尽可能接近 kkk 的，aaa = k\sqrt{k}k

② 此时的 a2a^2a2 == kkk 不一定成立，而且如果将后面全部划分给c的话，如果k == 1e9的话，会爆长度1e5

③ res：表示除去 a2a^2a2 之后还有多少，res=k−a2res = k - a^2res=k−a2;

④ 从剩下的中再维护出一个 ⌊resa⌋⌊\frac{res}{a}⌋⌊ares⌋，防止爆长度。
即：b = ⌊resa⌋+a⌊\frac{res}{a}⌋ + a⌊ares⌋+a

⑤ 此时还剩下 resresres % aaa 的即， ccc = resresres % aaa

综上所述：
a=k,res=k−a∗a,b=⌊resa⌋+a,c=res%aa = \sqrt{k}, res = k - a * a, b = ⌊\frac{res}{a}⌋ + a, c = res \;\%\; aa=k,res=k−a∗a,b=⌊ares⌋+a,c=res%a

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
signed main()
{ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0);cout.tie(0);int k;cin >> k;if (k == 0) {cout << ")(" << endl;return 0;} int a = sqrt(k), res = ceil(k - (a * a)), b = res / a + a, c = res % a;
//  cout << a << ' ' << res << ' ' << b << ' ' << c << endl;for (int i = 1; i <= a; i++) cout << '(';for (int i = 1; i <= b - 1; i++) cout << ')';for (int i = 1; i <= c; i++) cout << '(';cout << ')' << endl;return 0;
}

E.三棱锥之刻（几何）

P为正三棱锥内部的中心，PA，PD为正三棱锥外接球半径，OP为正三棱锥内切球半径

结论：已知正三棱锥的棱长为a，那么正三棱锥外接球半径为：64a\frac{\sqrt{6}}{4}a46a ，正三棱锥内切球半径为：612a\frac{\sqrt{6}}{12}a126a

//minn为正三棱锥内切球半径，maxx为正三棱锥外接球半径
double minn = sqrt(6.0) * a / 12, maxx = sqrt(6.0) * a / 4;

double area;

本题分三种情况：

当染色半径 r≤612ar ≤ \frac{\sqrt{6}}{12}ar≤126a时，即染色球还未触及正三棱锥内壁，那么就无法染色

if (r <= minn) area = 0;//无法染色，染色面积自然为0

当染色半径 r≥64ar ≥ \frac{\sqrt{6}}{4}ar≥46a时，即染色球已经包含整个正三棱锥，那么整个正三棱柱的内部都会染色

else if (r >= maxx) area = sqrt(3.0) / 4 * f(a);//正三棱锥一个侧面三角形的面积

当染色半径 612a≤r≤64a\frac{\sqrt{6}}{12}a ≤ r ≤ \frac{\sqrt{6}}{4}a126a≤r≤46a 时，分为两个小情况：
(1) 当横截面积 ≤ 是三角形的内切圆即横截圆的半径 ≤ 36a\frac{\sqrt{3}}{6}a63a

此时OG为底面三角形ABC的内切圆，OG为内切圆的半径为：d=36ad = \frac{\sqrt{3}}{6}ad=63a ，染色圆的半径为：r

那么染色球与其中一个底面三角形ABC形成的横截圆的半径为：r1=(r−612a)2−d2r_1 = \sqrt{(r - \frac{\sqrt{6}}{12}a)^2 - d^2}r1=(r−126a)2−d2

所以：此时底面三角形ABC染色面积为：πr12πr_1^2πr12 ，有4个面就是 4πr124πr_1^24πr12

(2) 当正三角形的内切圆＜横截圆＜正三角形的外接圆即染色的面积如蓝色阴影部分：

这个面积分为两个部分：等腰三角形+扇形

此时的 r1,d,2dr_1, d, 2dr1,d,2d 如图所示

3个等腰三角形面积 = r12−d2×d×3\sqrt{r_1^2-d^2} × d × 3r12−d2×d×3

扇形的弧度：α=(2π−acos(dr1)×2×3)÷3α = (2π - acos(\frac{d}{r_1} )× 2 × 3) ÷ 3α=(2π−acos(r1d)×2×3)÷3

3个扇形面积 = α2π×π×r12×3\frac{α}{2π} × π × r_1^2 × 32πα×π×r12×3

else {if (r1 <= d) {area = PI * r1 * r1;} else {double area1 = sqrt(f(r1) - f(d)) * d * 3;//3个等腰三角形的面积//cos() 是已知一个角的弧度值 x，求该角的余弦值 y;而 acos() 是已知一个角的余弦值 y，求该角的弧度值 x。//扇形面积 = ((2 * PI - 三个等腰三角形的角度) * 3 / 3) / (PI * 2) * PI * f(r1);double area2 = ((((PI * 2) - (acos(d / r1) * 2) * 3) / 3) / (PI * 2)) * PI * f(r1);area = area1 + area2; }}

完整的AC代码：

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<string>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#define ll long long
#define int ll
#define PI acos(-1)
#define MOD 1000000007
using namespace std;
int read()
{int w = 1, s = 0;char ch = getchar();while (ch < '0' || ch>'9') { if (ch == '-') w = -1; ch = getchar(); }while (ch >= '0' && ch <= '9') { s = s * 10 + ch - '0';ch = getchar(); }return s * w;
}
//x的平方
double f(double x) {return x * x;
}
signed main() {double a;//题目给的正三棱锥的棱长double r;//题目给的染色的半径scanf("%lf%lf", &a, &r);// sqrt(6) * a / 12;是正三棱柱内切球的半径// sqrt(6) * a / 4; 是正三棱柱外接球的半径double minn = sqrt(6.0) * a / 12, maxx = sqrt(6.0) * a / 4;/*本题分三种情况：Ⅰ. 当染色半径 r <= sqrt(6) * a / 12; 那么就无法染色Ⅱ. 当染色半径 r >= sqrt(6) * a / 4;  那么整个正三棱柱的内部都会染色Ⅲ. 当染色半径 sqrt(6) * a / 12 < r < sqrt(6) * a / 4 时分为两个小情况：(1) 当横截面积 恰好是三角形的内切圆(2) 当横截面积 大于正三角形的内切圆 小于正三角形的外接圆*/double r1 = sqrt(f(r) - f(sqrt(6.0) * a / 12));//在正三棱锥的一个侧面被染色截面圆的半径double d = sqrt(3.0) / 6 * a;//正三角形的内切圆的半径double area;if (r <= minn) area = 0;else if (r >= maxx) area = sqrt(3.0) / 4 * f(a);//正三棱锥一个侧面三角形的面积else {if (r1 <= d) {area = PI * r1 * r1;} else {double area1 = sqrt(f(r1) - f(d)) * d * 3;//3个等腰三角形的面积//cos() 是已知一个角的弧度值 x，求该角的余弦值 y;而 acos() 是已知一个角的余弦值 y，求该角的弧度值 x。double area2 = 3 * ((((PI * 2) - (acos(d / r1) * 2) * 3) / 3) / (PI * 2)) * PI * f(r1);//扇形面积 = ((2 * PI - 三个等腰三角形的角度) * 3 / 3) / PI * 2 * PI * f(r1);area = area1 + area2;}}printf("%.6lf\n", area * 4);return 0;
}

F. 对答案一时爽（签到）

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
const int N = 200010;
char a[N], b[N];
signed main() {ios::sync_with_stdio(false);cout.tie(0);cin.tie(0);int n;cin >> n;for (int i = 1; i <= n; i++) cin >> a[i];for (int i = 1; i <= n; i++) cin >> b[i];int same = 0, usame = 0;for (int i = 1; i <= n; i++) {if(a[i] == b[i] && a[i] != ' ') same++;}printf("%lld 0\n", same + n);return 0;
}

I. 限制不互素对的排列（构造）

题意：给定n，k，长度为n的序列，使得其中正好有 k 对相邻的数gcd（最大公约数）大于 1

题解：
一般简单的构造题，都会有一个万能的解法，边界需要特殊判断。
这道题需要多次尝试，得出结论
① 在n == 4 && k == 1时，输出：1 4 2 3 或者 1 2 4 3
② 在n == 5 && k == 1时，输出：1 4 2 3 5 或者 1 2 4 3 5
③ 在n >= 6时，就有一个万能公式：
这个万能公式，其实题目有提示：0≤k≤n20 ≤ k ≤ \frac{n}{2}0≤k≤2n
最多只有 n2\frac{n}{2}2n 对不互素对。

以示例2 为例子：
那么3 6首先是一对，后面的话 6和2，2和4
所以，结果也可以是：3 6 2 4 1 5
那么观察这个例子：
长度为6，我们先构造了一对 3 6 ，而后枚举偶数即可，偶数与偶数之间一定存在一个公约数2，枚举偶数只需要枚举k-1个就行了，枚举一个就用 st[ ] 数组标记一个，最后把剩下长度的顺序输出即可。
这里看个例子就懂了：

其余的情况就输出 -1

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
const int N = 100010;
bool st[N];
signed main()
{ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0);cout.tie(0);int n, k;cin >> n >> k;if (k == 0) {for (int i = 1; i <= n; i++) cout << i << ' ';cout << endl;return 0;}if (n == 4 && k == 1) {cout << "1 4 2 3" << endl;} else if (n == 5 && k == 1) {cout << "1 4 2 3 5" << endl;} else if (n >= 6) {cout << "3 6 ";st[3] = st[6] = 1;for (int i = 1; i <= k - 1; i++) {if (i == 3) {k++;continue;}cout << 2 * i << ' ';st[2 * i] = 1;}for (int i = 1; i <= n; i++) {if (!st[i]) {cout << i << ' ';if (i == 2) {cout << 5 << ' ';st[i] = 5;}}}cout << endl;} else {cout << "-1" << endl;}return 0;
}

J. 一群小青蛙呱蹦呱蹦呱

题意：要我们算出除了(2k)(3k)…(4k)(2^k)(3^k)…(4^k)(2k)(3k)…(4k) 的所有数字的最小公倍数lcm。

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