2021牛客寒假算法基础集训营1 J 一群小青蛙呱蹦呱蹦呱

今天的比赛没打（

睡午觉去了，今天太累了

晚上来看看题

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板子题（

我们知道由唯一分解定理得，若

n=p1α1×p2α2×p3α3×⋯×pkαkn=p_1^{α_1}\times p_2^{α_2}\times p_3^{α_3}\times \cdots\times p_k^{α_k}n=p1α1×p2α2×p3α3×⋯×pkαk

m=p1β1×p2β2×p3β3×⋯×pkβkm=p_1^{β_1}\times p_2^{β_2}\times p_3^{β_3}\times \cdots\times p_k^{β_k}m=p1β1×p2β2×p3β3×⋯×pkβk

则

n×m=p1α1+β1×p2α2+β2×p3α3+β3×⋯×pkαk+βkn\times m=p_1^{α_1+β_1}\times p_2^{α_2+β_2}\times p_3^{α_3+β_3}\times \cdots\times p_k^{α_k+β_k}n×m=p1α1+β1×p2α2+β2×p3α3+β3×⋯×pkαk+βk

gcd(n,m)=p1min{α1,β1}×p2min{α1,β1}×⋯×pkmin{αk,βk}gcd(n,m)=p_1^{min\{α_1,β_1\}}\times p_2^{min\{α_1,β_1\}}\times \cdots\times p_k^{min\{α_k,β_k\}}gcd(n,m)=p1min{α1,β1}×p2min{α1,β1}×⋯×pkmin{αk,βk}

lcm(n,m)=p1max{α1,β1}×p2max{α1,β1}×⋯×pkmax{αk,βk}lcm(n,m)=p_1^{max\{α_1,β_1\}}\times p_2^{max\{α_1,β_1\}}\times \cdots\times p_k^{max\{α_k,β_k\}}lcm(n,m)=p1max{α1,β1}×p2max{α1,β1}×⋯×pkmax{αk,βk}

首先根据题目我们知道它把所有素数及其幂次全部都筛掉了。

我们知道任何一个数都能被唯一质因子分解掉，所有的素数及其幂次没有了，那么能剩下的都是几个质因子幂次的乘积。求这些数的 lcmlcmlcm 。

例如 6=21×316=2^1\times3^16=21×31。

我们根据上面的 lcmlcmlcm 指数定理可知，剩下的所有的数的 lcmlcmlcm 就是取所有数的质因子分解之后的每个质因子的最大的幂次的乘积。

那么对于一个任意的质数 ppp ，没有被筛掉的数中 ppp 的最大的次幂 kkk 就是 pk×2≤np^k\times2\le npk×2≤n。当然对于 222 而言，最小的质数是它本身，所以需要乘上次小的质数 333 。

那么我们的质数需要筛到多大呢，很明显就是 ⌈n2⌉\lceil \frac{n}{2} \rceil⌈2n⌉。

看上去很暴力，n≤1.6×108n\le1.6\times10^8n≤1.6×108 ，会不会超时呢？

很明显不会，因为质数很少，n≤1.6×108n\le1.6\times10^8n≤1.6×108 只有 s=4669382s = 4669382s=4669382。

复杂度为 O(max{⌈n2⌉,slogn})=O(⌈n2⌉)=8e7O(max\{\lceil \frac{n}{2} \rceil,slogn\})=O(\lceil \frac{n}{2}\rceil)=8e7O(max{⌈2n⌉,slogn})=O(⌈2n⌉)=8e7。

牛客评测机真给力（

最后考虑 empty 的情况，手算可发现当 n<6n <6n<6 时，全是素数，全被筛掉了，直接输出 empty 就好。

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>using namespace std;
const int N = 8e7 + 7, mod = 1e9 + 7;
typedef long long ll;
int qpow(int a, int b)
{int res = 1;while(b) {if(b & 1) res = res * a % mod;a = a * a % mod;b >>= 1;}return res;
}
bool vis[N];
int primes[N], cnt;void get_primes(int n)
{for(int i = 2; i <= n; ++ i) {if(vis[i] == 0) primes[ ++ cnt] = i;for(int j = 1; j <= cnt && i * primes[j] <= n; ++ j) {vis[i * primes[j]] = true;if(i % primes[j] == 0) break;}}
}
int n, m;
ll ans = 1;
int main()
{scanf("%d", &n);if(n <= 5) {puts("empty");return 0;}get_primes(n / 2 + 1);ll p = 2, c = 0, maxx = n / 3;while(maxx >= p) maxx /= p, c ++ ;ans = ans * qpow(p, c) % mod;for(int i = 2; i <= cnt; ++ i) {ll p = primes[i], c = 0, maxx = n / 2;while(maxx >= p) maxx /= p, c ++ ;ans = ans * qpow(p, c) % mod;}printf("%lld\n", ans);return 0;
}

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