强连通分量(Strongly_Connected

一、基本概念

强连通图（Strongly Connected Graph）是指在有向图G中，如果对于每一对vi、vj，vi≠vj，从vi到vj和从vj到vi都存在路径，则称G是强连通图。

有向图中的极大强连通子图称做有向图的强连通分量。

连通分量：对于图G来的一个子图中，任意两个点都可以彼此到达，这个子图就被称为图G的连通分量（一个点就是最小的连通分量）

最大连通分量：对于图G的一个子图，这个子图为图G的连通分量，且是图G所有连通分量中包含节点数最多的那个，即为G的最大联通分量

时间戳：搜索时第几个搜索到这个点。

二、定理

定理：一个有向图G是强连通的，当且仅当G中有一个回路，它至少包含每个节点一次。

证明：

（1）充分性：如果G中有一个回路，它至少包含每个节点一次，则G中任两个节点都是互相可达的，故G是强连通图。

（2）必要性：如果有向图是强连通的，则任两个节点都是相互可达。故必可做一回路经过图中所有各点。若不然则必有一回路不包含某一结点v，并且v与回路上的个节点就不是相互可达，与强连通条件矛盾。

三、算法

（1）Tarjan 算法

思想：

low，dfn。dfn表示这个点的时间戳，而low代表这个点所能到达的最小的时间戳，开始low都等于dfn，但会经过不断更新而减少。

从1节点进行深度优先搜索，途中用树（一个转化为栈的树）维护。

当遇到一个点时，有如下判断：

1、如果这个点没有访问过，就将这个点加入树（栈）

2、如果这个点访问过，且在树（栈）里，与这个点的low比较，更新自己的low

返回时更新low

当一个点遍历所有的边后这个点的low还是等于dfn，将个点及以上出栈，这个点及栈以上的点构成一个连通分量。

伪代码：

void tarjan(int 当前点)
{这个点的low=dfn=时间戳;将这个点入栈;标记这个点入栈;枚举这个点连接的所有边{如果目标点没有被访问过{tarjan(目标点);更新当前点的low; }  如果目标点被访问过{更新当前点的low; } }如果当前点的low==dfn{将这个点及栈以上的点出栈，标记成一个强连通分量; ans++; }
}

C++版本一

//in:时间戳下标//dfn[i]:i节点的时间戳//low[i]:i所能到达的最小的时间戳//vis[i]:i是否在栈里//head[i],next[i],to[i]:邻接表
void tarjan(int u)
{in++;dfn[u]=in;low[u]=in;S.push(u);vis[u]=1;for(int e=head[u];e;e=next[e]){if(!dfn[to[e]]){tarjan(to[e]);low[u]=min(low[to[e]],low[u]);}else if(vis[to[e]])low[u]=min(low[u],dfn[to[e]]);}if(low[u]==dfn[u]){while(!S.empty() && S.top()!=u){vis[S.top()]=0;S.pop(); } vis[u]=0;S.pop();ans++;}
}

（2）Korasaju 算法

四、例题

https://www.luogu.org/problemnew/show/P1726（题解：https://blog.csdn.net/weixin_43272781/article/details/89790404）

五、参考资料

https://www.cnblogs.com/five20/p/7594239.html

https://www.cnblogs.com/shadowland/p/5872257.html