中国剩余定理

中国剩余定理这样描述，给出以下一元线性同余方程组

给出你n个ai和mi，求出符合题意的X值，一般输出最小解。

ti 要用扩展欧几里得算法e_gcd（）计算。

证明参照：点击打开链接

看个例子

一元线性同余方程组问题最早可见于中国南北朝时期（公元5世纪）的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”问题，原文如下：

有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二。问物几何？

即，一个整数除以三余二，除以五余三，除以七余二，求这个整数。《孙子算经》中首次提到了同余方程组问题，以及以上具体问题的解法，因此在中文数学文献中也会将中国剩余定理称为孙子定理。

宋朝数学家秦九韶于1247年《数书九章》卷一、二《大衍类》对“物不知数”问题做出了完整系统的解答。明朝数学家程大位将解法编成易于上口的《孙子歌诀》：

三人同行七十稀，五树梅花廿一支，七子团圆正半月，除百零五使得知

这个歌诀给出了模数为3、5、7时候的同余方程的秦九韶解法。意思是：将除以3得到的余数乘以70，将除以5得到的余数乘以21，将除以7得到的余数乘以15，全部加起来后减去105（或者105的倍数），得到的余数就是答案。比如说在以上的物不知数问题里面，按歌诀求出的结果就是23。

例题中三个模数 m1=3，m2=5，m3=7；

余数a1=2，a2=3，a3=2；

M=105，M1=35 , M2=21，M3=15；

t1=2，t2=1，t3=1;

70=t1*M1，21=t2*M2，15=t3*M3

X =（ a1 * t1 * M1 + a2 * t2 * M2 + a3 * t3 * M3）%M=（ 2 * 2 * 35 + 3 * 1 * 21 + 2 * 2 * 15）%105=23

代码实现：

//n个mi互质
ll m[101];ll a[101];//m[]存放互质的数，a[]存放余数
void e_gcd(ll a,ll b,ll &x, ll &y){//计算逆元 if(b==0){x=1;y=0;return;}e_gcd(b,a%b,x,y);ll temp=x;x=y;y=temp-a/b*y;
}
ll CRT(){ll M=1;for(int i=0;i<n;i++) M*=m[i];ll ret=0;for(int i=0;i<n;i++){ll x,y;ll tm=M/m[i];//计算Mie_gcd(tm,m[i],x,y);//计算逆元x ret=(ret+x*a[i]*tm)%M;//计算结果值 }return (ret+M)%M;
}

中国剩余数定理是适用于n个mi两两互质的情况的，还有不互质的呢，待续。。。。。。

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