BZOJ-1951-古代猪文-SDOI2010-费马小定理+欧拉函数+lucas定理+中国剩余定理

描述

=>G∑(ni),i|nmodP

=>G^{\sum {{n\choose i}\text{,i|n}}} modP

分析

k=∑Cin,i|n(modP)

k=\sum {C_n^i , i|n}\pmod P
Gϕ(P)≡1(modP),ϕ(p)=p−1

G^{\phi(P)}\equiv1\pmod P,\quad \phi(p)=p-1
P′=P−1

P'=P-1

=>GP′≡1(modP)

=>G^{P'}\equiv 1\pmod P
Gk≡GkmodP′(modP)

G^k\equiv G^{k\mod P'}\pmod P
如何求k?
lucas定理
(nm)=(nmodP′mmodP′)∗(n/P′m/P′)

{n\choose m}={{n\mod P' \choose m\mod P'}}*{{n/P'\choose m/P'}}
P’不是素数, lucas定理不适用.
所以把P'-1拆成2*3*4679*35617再用中国剩余定理来解.
一下子用这么多不熟悉的定理和方法感觉这个题好厉害.
终于知道当被模的数不是质数该怎么用中国剩余定理处理了.
这个题里的中国剩余定理的逆元运算可以用扩展欧几里得也可以直接用欧拉定理. 我偏向后者, 因为快速幂是无论如何也要打的.
当 g == mod 的时候输出应为0
这是因为当 g == mod 的时候费马小定理不适用

代码

https://code.csdn.net/snippets/634512

#include <cstdio>
using namespace std;
typedef long long lli;const int maxn = 40000;
const lli mod = 999911658;
const lli factor[] = {2, 3, 4679, 35617};lli A[4];
lli fac[4][maxn];lli pow_mod(lli n, lli m, lli p) {n %= p;lli ret = 1;for(; m; m>>=1, n = n*n % p)if(m & 1) ret = ret*n % p;return ret;
}lli inv(lli n, lli p) {return pow_mod(n, p-2, p);
}lli C(lli n, lli m, int i) {if(n < m) return 0;return fac[i][n] * inv(fac[i][m]*fac[i][n-m], factor[i]);
}lli lucas(lli n, lli m, int i) {if(m == 0) return 1;lli p = factor[i];return lucas(n/p, m/p, i) * C(n%p, m%p, i) % p;
}lli CRT() {lli m = mod, x = 0;for(int i = 0; i < 4; i++) {lli w = m / factor[i];x = (x + inv(w, factor[i]) * A[i] * w) % m;}return (x + m) % m;
}int main()
{lli n, m, g;scanf("%lld %lld", &n, &g);if(mod+1 == g) return puts("0"), 0;for(int i = 0; i < 4; i++) {fac[i][0] = 1;for(int j = 1; j <= factor[3]; j++)fac[i][j] = fac[i][j-1] * j % factor[i];}for(m = 1; m*m <= n; m++) if(n % m == 0)for(int i = 0; i < 4; i++) {A[i] = (A[i] + lucas(n, m, i)) % factor[i];if(m*m != n) A[i] = (A[i] + lucas(n, n/m, i)) % factor[i];}printf("%lld\n", pow_mod(g, CRT() % mod, mod+1));return 0;
}

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