从孙子算经到中国剩余定理

中国剩余定理中间涉及一个重要观念：互质；

首先来看《孙子算经》卷下第二十六问：今有物，不知其数。三、三数之，剩二；五、五数之，剩三；七、七数之，剩二。问物几何？

转换为数学语言即是（理解其中的文言，三、三数之，不表示 /32/3^2，而是三个三个地，应当是 /3/3）：

x≡2(mod3)x≡3(mod5)x≡2(mod7)⇓x?

x \equiv 2 \quad(\mathrm{mod}\;3)\\ x \equiv 3 \quad(\mathrm{mod}\;5)\\ x \equiv 2 \quad(\mathrm{mod}\;7)\\ \Downarrow\\ x?
《孙子算经》给出的答案是23。当然这个问题还有其他解，由于 105=3×5×7105=3\times 5\times 7，所以 23+105n23+105n 也能满足要求。除此之外，还有别的解吗？没有了。

事实上（中国剩余定理的内容），不管物体总数除以3的余数，除以5的余数以及除以7（3、5、7互质）的余数分别为多少？在0到104（3×5×7−13\times 5\times 7-1）当中总存在唯一解，在此解（特解）的基础上再加上105的整数倍之后，可以得到其他所有的正整数解。这正是中国剩余定理：给出 mm 个两两互质（3,5,7,m=33,5,7, m=3）的整数，它们的乘积为 PP（P=3×5×7=105P=3\times 5\times 7=105），假设有一个未知数 MM（M=23M=23），如果我们已知 MM分别除以这 MM个数所得的余数，那么在0到 P−1P-1 的范围内，我们可以唯一地确定这个MM。这可以看做是 MM的一个特解，其他所有满足要求的 MM，则正好是那些除以 PP 之后余数等于这个特解的数（x≡M(modP)⇒x=nP+Mx\equiv M\quad (\mathrm{mod}\;P)⇒ x=nP+M）

我们回到《孙子算经》，来求解“今有物，不知其数”。根据中国剩余定理，由于除数3,5,7两两互质，因而解在0-104之间，且解唯一。我们求解的基本思路就是，依次找出满足每个条件，但是又不会破坏掉其他条件的数。

我们首先要寻找一个数，它既是5的倍数又是7的倍数，但同时除以3正好余2，也即 35⋅xmod3=235\cdot x\mod 3=2，根据扩展欧几里得算法及其应用一文的算法，我们可轻易对之求解，解得 x=1x=1，也即该数为 35⋅x=3535\cdot x=35，
再来看第二个条件，寻找这么一个数，它既是3的倍数，又是7的倍数，同时除以5余3，也即 21⋅xmod5=321\cdot x\mod 5=3，此时解得，x=3x=3，也即 21⋅x=6321\cdot x=63
同理对于第三个条件，15⋅xmod7=215\cdot x\mod 7=2，解得 x=2x=2，15⋅x=3015\cdot x=30

现在如果我们把 35,63,3035, 63, 30 这三个数加在一起（得128）会怎样？它将同时满足题目中的三个条件。为了得一个0-104之间的解，我们在128的基础上减去 3×5×7=1053\times 5\times 7=105，正好得到《孙子算经》当中的答案，23.

这是我们给出求解的 python 代码（因为涉及 a⋅xmodn=ba\cdot x \mod n=b 的求解，同样地我们也需给出扩展欧几里得算法的实现）：

from operator import mul
from functools import reducedef ext_euclid(a, b):# ax + by = gcd(a, b)if b == 0:return (a, 1, 0)d, x, y = ext_euclid(b, a%b)return (d, y, x-a//b*y)def mod_linear_equation(a, b, c):d, x, y = ext_euclid(a, b)if c%d:raise 'no solution'return x*(c//d)%bdef chinese_remainer(l1, l2):# l1, l2 均为数组# 分别表示除数，和余数s = 0P = reduce(mul, l1)for i in range(len(l1)):t = P//l1[i]s += mod_linear_equation(t, l1[i], l2[i])*treturn s%Pif __name__ == '__main__':print(chinese_remainer([3, 5, 7], [2, 3, 3]))# 23

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