数论 —— 线性同余方程组与中国剩余定理
【线性同余方程组】
由若干个线性同余方程构成的线性方程组。
例如：
其解法最早由我国《孙子算经》给出，因此解法称为“孙子定理”，又叫“中国剩余定理”，实质即为求多个数的最小公倍数。
【中国剩余定理】
1.内容
设自然数 两两互质，并记
，则同余方程组：
在模 N 同余的意义下，有唯一解：
。
2.证明
考虑方程组：，
由于 两两互质，对方程组作变量替换，即令
故方程组等价于解同余方程：
若想得到特解
只要令 即可
故方程组的解为：，在模 N 下值唯一。
3.应用
中国剩余定理就是用来求线性同余方程组的，即对方程组：，在 W、B 的值已知，且 W[i]>0，W[i] 与 W[j] 互质，求 a 的值。
4.实现
#include<iostream>
using namespace std;
int Extended_GCD(int a,int b,int &x,int &y){if(b==0){x=1;y=0;return a;}int gcd=Extended_GCD(b,a%b,y,x);y=y-a/b*x;return gcd;
}
int China(int W[],int B[],int k){//W除数，B余数int mod=1;for(int i=0;i<k;i++)//计算mod的大小mod*=W[i];int res=0;int x,y,m;for(int i=0;i<k;i++){m=mod/W[i];Extended_GCD(W[i],m,x,y);//求出每一组W[i]与m的解res=(res+y*B[i]*mod/W[i]+mod)%mod;//累加所有解}return (res+mod)%mod;
}【不互素的中国剩余定理】
对于不互素的中国剩余定理， 即：a[1]，a[2]，.....，a[n]，不互素的情况，只能每两个一组的求解，有：
设：k1、k2 ，易得：
即：
对整个式子进行 a2 取余，得：
此时式子只有一个未知量 k1，使用扩展欧几里得定理可求出 k1，从而计算出：
这个 x 仅是满足 的一个特解，不一定是
的解，因此要想求出式子真正的解，需要取 x 对 a1、a2 最小公倍数的模
即：
由于只有 ans 是未知数，因此就将两个式子转换为一个式子，通过这样不断的合并，可以求出最终的结果。
判断是否有解，在扩展欧几里得中求 k1 时判断即可。
int Extended_GCD(int a,int b,int &x,int &y){if(b==0){x=1;y=0;return a;}LL gcd=Extended_GCD(b,a%b,y,x);y=y-a/b*x;return gcd;
}
int GCD(int a,int b){return b==0?a:GCD(b,a%b);
}
int CRT(int W[],int B[],int n)//w为除数，b为余数，n为有多少式子
{int res=B[0],Wi=W[0];for(int i=1;i<n;i++){int bi=B[i],wi=W[i];int x,y;int gcd=Extended_GCD(Wi,wi,x,y);int c=bi-res;if(c%gcd!=0)//表示没有结果return -1;int M=wi/gcd;res+=Wi*( ((c/gcd*x)%M+M) % M);Wi*=M;}if(res==0)//除数全为0{res=1;for(int i=0;i<n;i++)res=res*W[i]/GCD(res,(LL)W[i]);}return res;
}
int a[N],b[N];
int main(){int k;while(scanf("%d",&k)!=EOF&&k){for(LL i=0;i<k;i++)scanf("%d%d",&a[i],&b[i]);//先除数后余数printf("%d\n",CRT(a,b,k));}return 0;
}【例题】
- Biorhythms（POJ-1006）(中国剩余定理)：点击这里
- Monkey Tradition（LightOJ-1319）(中国剩余定理)：点击这里
- Strange Way to Express Integers（POJ-2891）(不互素的中国剩余定理)：点击这里
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