中国剩余定理即孙子定理的五种解法

—— 学习初等数论心得笔记

2013-10-04

博文2015-12修改

“中国剩余定理”是公元5-6世纪、我国南北朝时期的一部著名算术著作《孙子算经》中的一个“物不知数”的解法问题：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二。问物几何？答曰：二十三。

《孙子算经》中虽然也有计算方法的叙述，如术曰：「三三数之剩二，置一百四十，五五数之剩三，置六十三，七七数之剩二，置三十，并之，得二百三十三，以二百一十减之，即得。凡三三数之剩一，则置七十，五五数之剩一，则置二十一，七七数之剩一，则置十五，即得。」但也仅仅知道140+63+30=233、233-210=23，得物数23。至于接着说的剩一、置70、置21、置15，应该是说140=70*2、63=21*3、30=15*2的来源，而2、3、2又正是剩余数、210又正是除数3、5、7的最小公倍数的2倍。综合之，解的算式为70*2+21*3+15*2－2*3*5*7=23。虽然如此，但仍不知为什么要这么算，还有，

70、21、15是怎样来的？等等，如读天书。如果换一个题目你能算吗？连照搬都没法搬。

这个问题，过了八、九百年，到了宋代，才有秦九韶在《算书九章》中给以解答。但现代人读古代数书，正如读古代医书一样，绝大多数是丈二和尚模不着头了。

“中国剩余定理”的现代数学提法是，解一元一次同余式方程组：

X≡2 (mod

3)

X≡3 (mod

5)

X≡2 (mod

7)

初等数论中有解法，得X最小值为23，通解为X=23 +

105K。但因为原理很难理解，所以也只能按公式规定的步骤与方法，依样画葫芦的计算罢了。时间一长也就忘光了。由此可见，“中国剩余定理”的理论及计算方法，还达不到普知的地步，不像一元二次方程的公式，初中生都知道公式怎样来的，怎样应用的。

若要问我：你对“中国剩余定理”的态度是怎样的呢？回答只有两个字：“敬畏”。

其实“中国剩余定理”，就是解一组带余除法的不定方程：

X÷3=A…2

X÷5=B…3

X÷7=C…2，

若避开难点，换个角度看，那么解这组方程，不一定非用“同余式方程组”的解法。就我所知，有五个方法：

一、枚举法

二、解不定方程法

三、逐级满足法

四、化为相同除数的同余式法、

五、才用到典经的、不同除数的同余式组解法

现将陈景润所著《初等数论Ⅰ》中的一个习题为例，用五种方法解算，可以对比。

试解下列同余方程

X≡2 (mod 7 )

X≡5 (mod 9 )

X≡1 (mod 5

)

求X

一 枚举法

X≡2 (mod 7

) X÷7=A…2 X=7A+2

X≡5 (mod 9 ) 相当于 X÷9=B…5 → X=9B+5

X≡1 (mod 5

) X÷5=C…1 X=5C+1

枚举法就是按A=0、1、2、3、4… B=0、1、2、3、4… C=0、1、2、3、4…

代入各式，计算各式的X，当三个X相同时，就是一个解。

A、B、C 0

1 2 3 4 …

9 10 11 12

… 16 17

18…

XA 2

9 16 23 30… 65 72 79 86…

XB5

14 23  32

41

… 86 …

XC1 6 11

16 21 … 46 51 56 61

… 81 86 …

即，当A=12、B=9、C=17时，X 都等于86。所以最小

X=86。由于7、9、5的最小公倍数是315，所以，通解 X=86+315K (K=0、1、2、3、…)

枚举法就是凑，很‘笨’，但也最直观。适合小学生学习。也可用电子表格计算，那太快捷了。

二  解不定方程法

X=7A+2

X=9B+5 →9B+5=7A+2 →9B=7A+2-5=7A-3 →B=(7A-3)/9

X=5C+1 →5C+1=7A+2 →5C=7A+2-1=7A+1 →C=(7A+1)/5

由B=(7A-3)/9，算得：当A=3时，B=2，但A=3时，C=(7A+)/5=4.4。由于A、B、C只能是整数。所以

3、2、4.4这一组，不符合要求，要重算A。又由于B=(7A-3)/9的分母是9，所以下一个A，只能在3的基础上，增加一个9的倍数，所以A只能取12、21、30、39…有了A，再算B、C，当A、B、C全是整数时，才合格。结果如下：

A B C

3 2 4.4

12 9 17

21 16

29.6

…

可见，只能取A=12 、B=9 、C=17 ， 代入原式：

X=7A+2=7*12+2=86

X=9B+5=9*9+5=86

X=5C+1=5*17+1=86

得 X=86、通解为X=86+315K得X=86、通解为X=86+315K。实际上，这仍然是枚举法，只是枚举个数减少一些而已。

三 逐级满足法

这个方法的基本思路是：先解算出合符第一个方程的X1。再解算出合符第一、第二个方程的X2，令X2=X1+P1。关键是P1要保持第一个方程中的倍数要求，又要合符第二个方程中的剩余要求。再解算出合符第一、第二、第三个方程的X3，令X3=X2+P2，关键是P2要保持第一第二两个方程中的倍数要求，又要合符第三个方程中的剩余要求。这样逐级解算，满足全部条件。

P要同时考虑两个方程的倍数关系如7A、9B，又要考虑两个余数关系，如余2、余5，方程数一多，处理时要拐几个弯，方法不易理解。

最近，我在作《数论—余数习题集》时，对“逐级满足法”作了改进。把第一个方程的通解，直接作为第二个方程的初值，不作任何转弯，就同时解决了两个方程之间的相关关系及余数关系，变得容易理解，容易操作、便于列式。这可以说是我的又一个心得罢。

仍按原例：

X除以7余2、除以9余5、除以5余1，求最小X。

答：最小X=86

通解

X =86 ＋315 N (

N=1、2、3

…

)

已知：

X≡2 (mod 7

) X÷7=A…2 X=7A＋2

X≡5 (mod 9

) 相当于X÷9=B…5

→X=9B＋5

X≡1 (mod 5

) X÷5=C…1 X=5C＋1

A、B、C都是整数，可用K统一表示，且不论其具体数值。

解算步骤：

1、 先解第一个方程X÷7余2的通解X1。一般都很容易，即：

通解X1＝余数＋除数的倍数，例中X1=2＋7A

。其中余数就是最小解X0=2，加上7的最小公倍数的A倍，就是通解X1=2＋7A

。

X1是一个数列，其中总有一个数能满足所有方程，关键在于A是多少，又怎样定？A怎样定呢？现在不能定。因为要考虑到它能满足第二个方程，所以到那时才能定下来。

2、第二个方程。X÷9余5，此时的X首先应满足本方程要求：

(X－5)÷9

= K (K是整数)。但同时又要满足第一个方程，既然X1可以满足所有方程，所以就干脆用第一方程的通解X1代替第二方程的未知数X

，即用(X1)取代X。即应满足

(X1－5)÷9

= K，才顾及了两式。

注意，(X1－5)÷9

=K这种形式的方程，是有规律的，即：

(第一方程的通解X1(=2＋7A

)

减

第二方程的余数5

)÷第二方程的除数9＝整数K，

且以下各方程也都是这样的规律，亦即：

(

上一个方程的通解

减

本方程的余数

)÷本方程的除数

应

＝

整数K

现在有了

(2＋7A－5)÷9

=K ，就整理为(7A－3)÷9

= K。这时两个余数就自动合并了。

解此

(7A－3)÷9

= K方程，便得A=3

、

K＝2。

于是

X1=2＋7A=2＋7×3=23。此时，就把X1＝23作为第二个方程的最小解，转为X2，即X2＝23。再加上7与9的最小公倍数7×9=63的倍数，得通解X2＝23＋63M。这个X2，既满足第一个方程又满足第二个方程。

X2也是一个数列，其中总有一个数，能满足所有方程，所以就是下一个方程的未知数初值了。关键在于M是多少。M怎样定呢？现在不能定。要考虑到它能满足第三个方程。到那时才能定下来。

至此，得到一个同余式X2≡23 (mod 63 )，实际上它是

X≡2 (mod 7

)

X≡5 (mod 9

) 二个同余式的共同解。

至于用什么方法来解(7A－3)÷9

= K 这个二元一次不定方程呢？(7A－3)÷9

= K也就是7A－9K

= 3，在陈景润所著《初等数论Ⅰ》中，有一个手算方法，先用“辗转相除法”得到各次余数，直到余数为“

1 ”，再反求出满足余数“

1 ”时的X、K的新系数，再通过“同余式”的转换，转换成己知余数(如本例的3)，才得到最终的X的系数A。整个过程步骤多。反求X、K的新系数时、转换成己知余数时，都颇费工夫，我见了生畏。还不如老老实实的试算、凑数。

(7A－3)÷9

= K 求A与K的整数解，

列表凑罢：

A 7A (7A－3) K＝

(7A－3)÷9

0 0

－3

－

0.33

1 7 4 0.44

3 21 18 2

好了，K是整数了

4

…

…

不必算了。

得A＝3、K＝2

。其实K仅起检验作用，是整数就行了，没有其他用处。

解二元一次不定方程最好的方法，当然是编个电脑程序。我已经编就了，请用吧

3、第三个方程。X÷5余1，此时X首先应满足本方程要求：

(X－1)÷5

= K，又要满足第一、第二个方程。既然X2可以满足所有方程，所以就干脆用第二方程的通解X2代替第三方程的未知数X

，即用(X2)取代X。即应满足：

(X2－1)÷5

= (23＋63M

－1)÷5=K，→

(63M＋22)÷5

= K。才顾及了三个方程。

解此二元不定方程

M=1 、

K＝17。把M代入X2，

于是

X2=23＋63M=23＋63×1=86，就把X2＝86作为第三个方程的最小解，转为X3

即X3＝86。再加上63与5的最小公倍数63×5=315的倍数，得通解

X3＝86＋315P。(P=1、2、3 … )

验算86÷7

=12 …

2

86÷9 =

9 …

5

86÷5=17

…

1

* * * * *

“逐级满足法”解法有规律了，容易操作了。但也有两点麻烦：

1、组成形如 (AX±B)÷C＝K的不定方程，要一个个顺序进行，虽有规律，但还是比较麻烦。

2、解算(AX±B)÷C＝K方程，求待定量X、K，无论用手算，或是电子表格算，要解(N－1)次。也很烦人，特别是大数相除更麻烦。

为了加快计算，我编了一个VB程序，不用烦心，输入完数据，↙，就出结果了。

上述算题：

输入方程个数N =

3

输入各方程的除数与余数7 2 9 5 5 1

↙

结果为：

通解 X

=86＋ 315 N (

N=1、2、3

…

)

还有一例：我曾靠电子表格算了一天，才得结果的，现在包括输入在内，仅15秒就搞定。

输入方程个数N =

6

输入各方程的除数与余数3 2 5 3 7 2 11 9 13 7 4 3

↙

结果为：

通解 X

=20183＋ 60060N (

N=1、2、3

…

)

中国剩余定理即孙子定理

“逐级满足法”VB程序

Private Sub

Form_Click()

说

明

Form1.Width =

11520视窗宽

Form1.Height =

15360

视窗高

Dim

W(20) W 放除数(模)

如7、9、5，又用单变量C表示

Dim

R(20) R放余数如2、

5、

1

Dim

G(20) G 放各级最小公倍数、又用单变量A表示

Dim

F(20) F放上下余数之差，F(I) =

Y(I－1)－R(I)、又用单变量B表示

Dim

Y(20) Y放各级最小解，如2、23、86

N = InputBox

("输入方程个数 N

=")

For I = 1 To

N

W(I) = InputBox ("输入模W(I)=")

R(I) = InputBox

("输入余R(I)=")

Next

I

S=1

For I = 1 To

N

S =

S*

W(I)

计算各级最小公倍数

G(I)=S

Next I

F(1) =

R(1)

安置第一个方程的最小解

Y(1) =

R(1)

For I = 2  To

N

计算各级A、B、C

A=G(I－1)

组成

(AX＋B)÷C=

K不定方程

F(I) =

Y(I－1)－R(I)

B=F(I)

C= W(I)

Print Spc(4); "

ABC= "; A;B;C

For X = 1 To

1000000

M = (A * X +

B)

解(AX＋B)÷C=

K 得X

P = M

Mod

C

If P = 0 Then GoTo

SS P=0

表示得到整数解了，便跳出循环

Next X

SS:

Print Spc(4); " X =";

X

Y(I)=

Y(I－1)+X*

G(I－1)

算得各级方程的最小解。如23、86

Print Spc(4); "

最小";

Y(I)

Print Spc(4); "

公倍

=";

G(I)

Next I

Print Spc(4); "

通解

X = "; Y(N); " ＋ "; G(N); " N

( N=1、2、3

…

)"

Print Spc(4); "

完"

Print

End Sub

四 化为相同除数

法

X≡2 (mod 7 )

X≡5 (mod 9 )

X≡1 (mod 5 )

这三个同余式，除数不同，分别为7、9、5，为了能利用同余式的和差特性，简化计算，先设法使它们的除数相同，为此：

X≡2 (mod 7 )两边都乘9*5，得X*45≡2*45 (mod 7*45 ) →45

X≡90 (mod 315 ) …(1)

X≡5 (mod 9 ) 两边都乘7*5，得X*35≡5*35 (mod 9*35 ) →35

X≡175 (mod 315 ) …(2)

X≡1 (mod 5 ) 两边都乘7*9，得X*63≡1*63 (mod 9*63 ) →63

X≡

63 (mod 315 ) …(3)

(1)＋(2)＋(3)＝

(4) →143 X≡328 (mod 315 )…4)

根据同余式的加减性质，(1)＋(2)＋(3)得：

143 X≡328 (mod 315 ) 即 143

X≡13 (mod 315 )，化为带余除式为：

143 X÷315=K

…13

亦即143X－13=315

K ，有(143X－13)÷315＝K(整数)

(143X－13)÷315＝K(整数)用通式表示为(AX－B)÷S＝K

解得X=86、K=38 (实际上不用它，在此仅确认它是整数就行了)，

通解为X＝86+315

N ( N＝1、2、3

…

)

或X≡86 (mod 315 )

这一种算法，在所有五种算法中，我认为是最简洁、工作量最小的算法。因为不管方程有多少个，它解算形如(AX－B)÷S=K这种不定方程，仅解一次而已。而其他方法要解多次。同时，这种算法也容易理解，算法单纯。

我编了一个程序。这个程序，非但可以解算互质的同余方程组，还可以解算非互质的同余方程组。如果方程组不合解题条件，会显示“无解”。操作方法是：

输入方程个数N=3

再按方程顺序，输入每个方程的除数与余数

：7 2 9 5 5 1 ↙

就得结果：

通解

X = 86＋315

N ( N=1、2、3

…

)

K＝38

成功

广义同余方程组的“除数相同法”Visual

Basic程序。

Private

Sub Form_Click(): Form1.Width = 11520: Form1.Height =

15360

Dim W(20)

: Dim R(20) :  Dim Y(20) : Dim F(20) : Dim

V(20)

N =

InputBox("输入方程个数 N

=")

For I = 1

To N : W(I) = InputBox("输入模W(I)=") : R(I) =

InputBox("输入余R(I)=") :

Next I

For I = 1

To N: Print Spc(4); " x÷ "; W(I); "

余 "; R(I) :

Next I

Print

For I = 1

To N : V(I) = W(I) :  Next I

For I = 1

To N - 1

n1 = V(1)

m1 = V(2)

If m1 >

n1 Then

M = m1: G

= n1

Else

M = n1: G

= m1

End

If

Do

E = M Mod

G

If E = 0

Then Exit Do

M =

G

G =

E

Loop

S = m1 *

n1 / G

V(1) = S

V(2) = V(I + 2)

Next

I

Print

A = 0

:

For I = 1

To N : Y(I) = S / W(I) : A = A + Y(I) : Next I

B =

0

For I = 1

To N : F(I) = R(I) * Y(I) : B = B + F(I) : Next I

Print

Spc(4); " 同余式 "; A;

" X ≡ "; B; " ( MOD"; S;

" ) "

Print

SP =

1

For I = 1

To N : SP = SP * W(I) :  Next I

If (S =

SP) Then GoTo S1

If (S

<> SP) Then Print Spc(4); " 注意 非互质 ": Print: GoTo PP

Print

S1:

For k = 1

To 10000000

M = (S * k + B)

X = M / A

If (X -

Int(X)) = 0 Then GoTo S2

Next

k

S2:

If k =

10000001 Then Print Spc(4); " 无解 ": GoTo

ZZ

Print

Spc(4); " k = "; k; " 通解 X = "; X; "

＋ "; S; " N ":

GoTo ZZ

Print

PP:

For k = 1

To 10000

M = (S * k + B)

X = M / A

If (X -

Int(X)) <> 0 Then GoTo H1

For J = 1

To N

C = (X -

R(J)) / W(J)

If (C -

Int(C)) <> 0 Then GoTo H1

Next

J

Print

Spc(4); " k = "; k; " 通解 X = "; X; "

＋ "; S; " N ":

GoTo ZZ

H1:

Next

k

Print

Spc(4); "无解 "

ZZ:

Print

Print

Spc(4); " 完 "

End

Sub

操作方法及示例

例一2组数据：33 余 22 、39 余 31

程序运行后，显示“ 输入方程个数 N = ” 、“输入模W(I)=”、“输入余R(I)” 等，即顺次输入： 2、 33、22、39、31 。

电脑运算后显示：

X ÷33余22

X ÷39余31

同余式24 X ≡ 627 (MOD 429)

注意 非互质

K =

9

通解X= 187 + 429

n

例二 输入

4、5、2、7、3、13、9、31、17

电脑运算后显示：

X÷

5余2

X÷

7余3

X÷13余9

X÷31余17

同余式6376 X ≡

29187 (MOD 429)

k=1477

通解X≡3272+14105N

分析：上面4个同余式是互质的，所以没有显示 注意 非互质 ，直接算得结果。

例三 输入 2、7、2、21、16

电脑运算后显示：

X÷ 7余2

X÷

21余 16

同余式4 X ≡ 22 (MOD

21)

注意 非互质

K

=2

通解X= 16+21N

分析：2个同余式，不互质。又因7与21有公约7，余数差16-2=14，7｜14，所以有解。

例四： 输入3、11、10、5、2、35、27

电脑运算后显示：

X÷

11余10

X÷

5余2

X÷35余27

同余式123 X ≡ 801 (MOD 385)

注意 非互质

K =

96

通解X=307+385N

分析：后两个同余式不互质但有解。又与第一个同余式互质，应有解。

例五 输入2、7、2、21、15

电脑运算后显示：

X÷ 7余2

X÷

21余15

同余式4 X ≡ 21 (

MOD 21)

注意 非互质

无解

五典经的、“大衍求一术”解法

X≡R1 (mod m1 )

X≡2 (mod 7 )

X≡R2 (mod m2)

X≡5 (mod 9 )

X≡R3 (mod m3)

X≡1 (mod 5 )

名词注释及计算步骤：

1

余数R：、R1=2、R2=5、R3=1

2

模，亦即除数m：例中m1=7、m2=9、m3=5

3

模的最小公倍数G：G=m1*m2*m3，例中M=7*9*5=315

4

衍数(局部公倍数)y：Y1=m2m3、Y2=m1m3，Y3=m1m2，例中Y1=9*5=45、Y2=7*5=35、Y3=7*9=63

5

乘率C：这是解算中国剩余定理的关键，而计算“乘率”的方法，是秦九韶在《数书九章》一书中首次提出的，称之为“大衍求一术”。“求一”就是使(衍数*乘率)除以模(除数)，而余数为1。即：

衍数Y*乘率C≡1 (mod m)，乘率C可以经过反算而得到。例中Y1C1≡1 (mod 7 )、

Y2C2≡1 (mod 9 ) 、Y3C3≡1 (mod 5 )。

计算C1方法。由Y1C1≡1 (mod 7 )， →45C1≡1 (mod 7 ) →(45C1－1) / 7=整数N

，得C1=5。因为45*5=225，225－1=224，224÷7=32，32是整数，合符要求。C2、C3之计算也相仿。乘率C之计算见下表：

同余式 i

衍数Y

乘率C

余1

模m

检验  (Y*C-1)/m  =

整数

1

45

5

1

7

(45*C-1)/7 =N (45*5-1)/7 = 32

2

35

8

1

9

(35*C-1)/9 =N (35*8-1)/9 = 31

3

63

2

1

5

(63*C-1)/5 =N

(63*2-1)/5 = 25

最终结果，X≡R1Y1C

1+R2Y2C2+R3Y3C3

(mod G)

即X≡Σ余数*衍数*乘率

(mod G)，见下表计算：

i

余数R

衍数Y

乘率C

R*Y*C

1

2

45

5

450

2

5

35

8

1400

3

1

63

2

126

Σ

1976

X≡1976

(mod 315)

1976 除去315的6倍后，剩下86，最终，X≡86

(mod 315)

“大衍求一术”的关键与难点，是如何解“衍数Y*乘率C≡1 (mod m)”，得乘率C。也就是解算方程(Y*C-1)/m =N 。如第三节所述，可以手算，也可以试算凑数，但都很烦琐。在现代计算中，就可以编个电脑程序来计算了。

2015-11-21补充：

X≡R1 (mod m1 ) →

X≡2 (mod 7 ) ×5×9

→45 X≡90 (mod 315 )

X≡R2 (mod m2)→X≡5 (mod 9 )×7×5

→35 X≡175 (mod 315)

X≡R3 (mod m3)→X≡1 (mod 5 )×7×9

→63 X≡63 (mod 315 )

→45 C1≡1 (mod 7 ) →(45 C1 －1 )

÷7

＝整数

→

C1 ＝5

→35 C2≡1 (mod 9)→(35 C2 －1 )

÷9

＝整数

→

C2 ＝8

→63 C3≡1 (mod 5 )→(63 C3 －1 )

÷5

＝整数

→

C3 ＝2

我在2013年10月发表的博文《中国剩余定理即孙子定理的五种解法》，距今两年，阅读者6900多位。感到很欣慰。

今天编了一个解算中国剩余定理的Visual

Basic程序，供朋友们共享。解算太快了，真过瘾。例子仍用原博文的：

A≡2

(mod 7

)

A≡5 (mod 9

)

A≡1 (mod 5

)求A

操作。

输入方程个数N

= 3

输入模(除数B)与输入余数R。顺方程输：7、2 9、5 5、1↙

马上显示A＝86＋315K

(K= 0、1、2、3…)即A

≡

86  (mod 315)

又陈景润著《初等数论Ⅰ》“韩信点兵”一例：有兵一队，若列成5行纵队，则末行1人。成6行纵队，则末行5人，成7行纵队，则末行4人，成11行纵队，则末行10人。求兵数。

设：A是兵数，依题意有：

A≡1

(mod

5) A≡5

(mod

6) A≡4

(mod

7) A≡10 (mod

11)

操作。

输入方程个数N

= 4

输入模(除数B)与输入余数R。顺方程输：5、1 6、5 7、4 11、10↙

马上显示A＝2111＋2310

K (K= 0、1、2、3…)即A≡2111

( mod  2310 )

中国剩余定理“大衍求一术” Visual Basic程序

Private Sub

Form_Click()说明

Form1.Width =

11520

视窗宽

Form1.Height =

15360

视窗高

N =

InputBox("输入方程个数N

=")输入方程个数N

Dim B (20)数组声明及容量

Dim R

(20)

Dim Y

(20)

Dim C

(20)

For I = 1

To N

B(I)

= InputBox("输入模B(I)=")输入模(除数)

B

R(I) =

InputBox("输入余R(I)=")输入余数R

Next

I

M =

1

For I = 1 To

N

M

= M *

B(I)最小公倍数M

Next

I

For I = 1

To N

Y(I)

= M / B(I)

局部公倍数、衍数Y

Next I

For I = 1

To N

For

J = 1 To 1000

Z = (Y(I) *

J - 1) / B(I)

If (Z - Int(Z)) = 0 Then

C(I) = J: GoTo SS乘率C

Next J

SS:

Next I

A =

0

For I = 1 To

N

A

= A + R(I) * Y(I) *

C(I) R×Y×C及总和Σ(R×Y×C)

Next I

For I = 1

To 1000

A

= A –M最小值A 0

If A < M Then GoTo

PP

Next I

PP:

Print

Spc(4); "A = "; A; "+ "; M;

"K (K=0 1 2 3…)

"通解A=

A 0＋MN

Print

Spc(4); "成功"提示结束

End Sub

因为中国剩余定理的“大衍求一术”只适合模(除数)是两两互质的，所以这个程序也只适合模(除数)是两两互质的。如果不两两互质，则要转换成两两互质，那就很麻烦了。我一时还想不出如何编一个转换成两两互质的程序，只能到此为止。

去吧，与爱好算术的网友们共享去吧。

六

评

论

1

综合上述五种解法，归根到底，关键点，也是难点，就是都要解“(AX＋B)÷C=

K”这种类型不定方程。而解这种不定方程的方法，既没有公式又没有窍门，归根到底还是一个“凑”字了。其中“枚举法”是小学生都懂的凑数法。因此可以说，中国剩余定理其实并不神秘，就是一个如何凑数的问题。

2五种解法中我认为“化为相同除数法”最简易、工作量最小。因为：

第一，它要使除数相同，方法最简单、统一，初中二年级学生都会。

第二，它解算不定方程“(AX＋B)÷C=

K”

只解一次，也即只“凑”一次。而“逐级满足法”和“大衍求一术”，则要“凑”多次 (N次，即方程的个数)。方程个数越多，“化为相同除数法”就越显得省力。我认为应该宣传、普及一下通俗易懂的“化为相同除数”。

3至于说到“大衍求一术”的同余式“衍数Y*乘率C≡1 (mod m)”是怎样来的，又为什么成为解题的关键，在陈景润所著《初等数论Ⅰ》1978年版85页上有理论推证。这应该是一个现代数学的推证，而不是在论证秦九韶的理论就是这样的。也就是说，这是殊途同归。至于秦九韶到底是怎样想的，或许他有更容易为常人所理解的机理，那就不得而知了，于是我们钦佩古代数学家的智慧。我们钦佩古代数学家的智慧，但不一定非要走他的路，固守他的方法。有了更好的方法，应该学习推广。至于以后是不是有更好的解法，那谁又知道呢。

七

写后感

2013年的国庆过得很忙，甚至还起了一个早床来计算。感谢我的老伴，以她的勤劳与宽容，给了我闲暇与自由，使我能够静心地做做算术、写写文章，自得其乐，有时间消磨我的时光。

2015年11月，我在作《数论—余数习题集》时，对“逐级满足法”作了改进。对“大衍求一术”作了认真学习，进而对“化为相同除数法”作了规范化计算，还编了相应的三个Visual

Basic 程序。我高兴的把我的“发现”与神速的计算告诉我老伴。老伴点赞说，脑筋还没有老化呢。我报以－个开心的微笑，间接的感谢她为我洗衣做饭，使我安心计算、写作。

我仰望深邃的数学天空，深感自己的渺小。我浅尝一滴数学的清泉，来润湿一下我干枯的灵感。