一般二阶线性非齐次微分方程的解与对应齐次方程的解的关系
一般二阶线性非齐次微分方程的解与对应齐次方程的解的关系
@(微积分)
设p(x),q(x),f(x),f(x)≠0p(x),q(x),f(x),f(x)\neq 0为连续函数，对于下面的二阶线性非齐次方程：
y″+p(x)y′+q(x)y=f(x)y''+p(x)y'+q(x)y = f(x) (1)
对应的二阶线性齐次方程：
y″+p(x)y′+q(x)y=0y''+p(x)y'+q(x)y = 0 (2)
有下面的论断：
- y1(x),y2(x),y3(x)y_1(x),y_2(x),y_3(x)是(1)的三个解，a,b,c是三个常数，并设：y=ay1(x)+by2(x)+cy3(x)y = ay_1(x)+by_2(x)+cy_3(x),
- 那么y是(1)的解的充要条件是：a+b+c = 1
- y是(2)的解的充要条件是a+b+c=0
- y1(x),y2(x),y3(x)y_1(x),y_2(x),y_3(x)是(1)的三个线性无关的解，a,b,c是**两个任意常数，并设：y=ay1(x)+by2(x)+cy3(x)y = ay_1(x)+by_2(x)+cy_3(x),
- 那么y是(1)的通解的充要条件是：a+b+c = 1
- y是(2)的通解的充要条件是a+b+c=0
思考一道题目：
设p(x),q(x),f(x)p(x),q(x),f(x)均是x的已知连续函数，y1(x),y2(x),y3(x)y_1(x),y_2(x),y_3(x)是y″+p(x)y′+q(x)y=f(x)y''+p(x)y'+q(x)y = f(x)的三个线性无关的解，C1,C2C_1,C_2是两个任意常数，则该非齐次线性微分方程的通解是：C
A.(C1+C2)y1+(C2−C1)y2+(1−C2)y3A. (C_1+C_2)y_1+(C_2-C_1)y_2+(1-C_2)y_3
B.(C1+C2)y1+(C2−C1)y2+(C1−C2)y3B. (C_1+C_2)y_1+(C_2-C_1)y_2+(C_1-C_2)y_3
C.C1y1+(C2−C1)y2+(1−C2)y3C. C_1y_1+(C_2-C_1)y_2+(1-C_2)y_3
D.C1y1+(C2−C1)y2+(C1−C2)y3D. C_1y_1+(C_2-C_1)y_2+(C_1-C_2)y_3
直接利用上面的定理可知：系数之和为1时，即为通解。那么检验可得C是满足的。
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