高等数学：第十二章微分方程（2）一阶线性非齐次微分方程、全微分方程、可降阶的微分方程

§12.4 一阶线性非齐次微分方程

一、线性方程

方程

叫做一阶线性微分方程(因为它对于未知函数及其导数均为一次的)。

如果，则方程称为齐次的；

如果不恒等于零，则方程称为非齐次的。

首先，我们讨论Œ式所对应的齐次方程

的通解问题。

分离变量得

两边积分得

或

其次，我们使用所谓的常数变易法来求非齐次线性方程Œ的通解。

将Œ的通解中的常数换成的未知函数，即作变换

两边乘以得

两边求导得

代入方程Œ得

，

于是得到非齐次线性方程Œ的通解

将它写成两项之和

不难发现：

第一项是对应的齐次线性方程的通解；

第二项是非齐次线性方程Œ的一个特解。

由此得到一阶线性非齐次方程的通解之结构。

【例1】求方程

的通解。

解：

由此例的求解可知，若能确定一个方程为一阶线性非齐次方程，求解它只需套用公式。

二、贝努利方程

方程

叫做贝努利方程。

当时，它是一阶线性非齐次微分方程

当时，它是一阶线性齐次微分方程

当时，它是一阶非线性的微分方程，通过变量代换可化归为一阶线性微分方程。

具体解法如下：

令，方程化为关于的一阶线性非齐次微分方程

【例2】求贝努利的通解。

解：，

§12.5 全微分方程

一、定义

一阶微分方程写成

形式后，如果它的左端恰好是某一函数的全微分，即

则方程Œ就叫做全微分方程。

二、全微分方程的求解

设方程Œ是一个全微分方程，则存在二元函数，使得

则

方程Œ可写成

如果是Œ的解，那么这个解也满足方程，故

因此

这表明，Œ的解是由方程所确定的隐函数。

反过来，若方程确定了一个可微分的隐函数，

则

两端对求导得

或

即

这表明，由方程所确定的隐函数是方程Œ的解。

综合上述两点，我们有结论

全微分方程Œ的解是由所确定的隐函数，而由所确定的隐函数一定是方程Œ的解。

因此，若方程Œ的左端是函数的全微分，那么它的通解为

其中是任意常数。

三、方程Œ是全微分方程的条件

若，在单连通域内具有一阶连续偏导数，则方程Œ成为全微分方程的充要条件为

在内恒成立。

四、全微分函数的求法

当条件Ž满足时，全微分函数可以通过对坐标的曲线积分获得

或

【例1】求解

解：这里

所以这是全微分方程，有

于是，方程的通解为

五、积分因子

当条件不能满足时，方程Œ

就不是全微分方程。

如果找得到一个函数，使方程

成为全微分方程，则称函数称为方程Œ的积分因子。

例如方程，有

故该方程不是全微分方程。

但方程两端乘上因子以后，方程

变成为全微分方程。事实上

因此，是上述方程的一个积分因子。

一般说来，积分因子的确定并不简单，而且积分因子往往不唯一的。不难验证和也是上述方程的积分因子。

如果对函数的微分运算十分熟练，往往可以通过观察得到积分因子。

【例2】用观察法求下列方程的积分因子，并求其通解

1、

2、

解1：是一个积分因子，乘上该因子之后，方程成为

，

故通解为

解2：是一个积分因子

故通解为

§12.7 可降阶的高阶微分方程

前面，我们主要讨论了一阶微分方程的求解问题，对于二阶及二阶以上的微分方程(即高阶微分方程)，原则上讲，可以通过适当的变量替换化成低阶的方程来求解。自然地，选择适合的变量替换往往是一件困难的事情。

下面，我们仅究三类较简单的高阶方程的求解展开讨论。

一、型的微分方程

微分方程

的右端仅含有自变量，只要把作为新的未知函数，那么就是新未知函数的一阶微分方程，两边积分，就得到一个阶的微分方程

同理

依此类推，连续积分次，便得到了方程的含有个任意常数的通解。

【例1】求的通解。

解：

其中是任意常数。

二、型的微分方程

微分方程

的右端不显含有未知函数。

如果作变量替换，则

方程可化为

这是一个关于变量的一阶微分方程，设其通解为

由，又得以一个一阶微分方程

因此，方程的通解为

其中是任意常数。

【例2】求微分方程

满足初始条件

的特解。

解：设，将之代入方程，得

分离变量有

两边积分，得

由条件，得

从而

再积分，得

又由条件，得

故所求特解为

注记：

求高阶方程满足初始条件的特解时，对任意常数应尽可能及时定出来，而不要待求出通解之后再逐一确定，这样处理会使运算大大简化。

三、型微分方程

微分方程

的右端不显含自变量。

作变量替换，利用复合函数求导法则，可将写成如下形式

方程可化成

这是一个关于变量的一阶微分方程，设求出它的通解为

从而有

分离变量，

再积分，便可得到方程的通解。

【例3】求的通解。

解：设，则

分离变量，得

两边积分

有，

分离变量，再积分，得

其中是任意常数。

【例4】一个离地面很高的物体，受地球引力的作用由静止开始落向地面，求它落到地面时的速度和所需时间( 不计空气阻力 )。

解：取连结地球中心与该物体的直线为轴，其方向铅直向上，取地球中心在原点。设物体的质量为，物体下落时与地球中心的距离为，地球半径为，在时刻物体所在位置为。

于是，速度，据万有引力定律，有以下微分方程

其中：为地球质量，为引力常数，因

，且当时，(这里置负号是由于物体运动加速度的方向与轴的正向相反)，故

，

于是方程可写成

初始条件是，

先求物体到达地面的速度，由，则

代入原方程，得

分离变量，得

再求积分，得

将初始条件，代入得

于是

在式中令，得到物体到达地面时的速度为

这里取负号是由于物体运动方向与轴的正向相反。

下面再求物体落到地面所需时间

分离变量，得

两端积分，得

由条件，得

于是上式成为

在上式中令，便得到物体到达地面所需的时间为

_{from: http://sxyd.sdut.edu.cn/gaoshu2/}

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