算子法二阶线性非齐次微分方程的通解

对于一般的二阶线性非齐次微分方程

$a{y}''+b{y}'+cy=f\left ( t \right )$

我们先利用格林函数的思想来求解

$ay''+by'+cy=\int_{-\infty }^{t}f(\tau )\delta (t-\tau)d\tau$

固定每一个 $\tau$ 时刻，假定我们能求解

$aG'+bG'+cG=\delta (t-\tau)$

那么可以证明原方程的解就是

$y(t)=\int_{-\infty}^{t}f(\tau)G(t-\tau)d\tau$

我们引入阶跃函数将上面等式上限变为正无穷

$y(t)=\int_{-\infty}^{\infty}f(\tau)G(t-\tau)\epsilon(t-\tau) d\tau$

我们将上式改写为卷积形式

$y(t)=f(t)* G(t)\epsilon (t)$

到这里我们已经形式上解决了这个一般的问题。我们只需要求解G(t)，通过一个积分计算，即解决了这个一般性问题。当然这样计算未必很好算。

求解G(t)最直接的方法是拉普拉斯变换法，这样即可以解出G(t)。这样对所有f(t), 我们都可以通过相同的方法找到通解，这就是信号与系统中核心思想。

直接运用拉普拉斯变换也可以导出相同的结论，很容易的得到

Y(s)=F(s)(1/as^2 + bs + c)

我们将上式反变换写成卷积的形式，并注意到阶跃函数的存在，可以发现积分范围这里是o到t。

实际上，当存在两个实根时，我们是可以快速写出其一般形式解的。

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