二阶常系数线性微分方程

二阶常系数线性微分方程一般形式

y'' +p y' + qy = f(x) ①

(下面用到r1、r2、y1、y2、C1、C2)

一、二阶常系数齐次线性方程

其一般形式

y'' + py' + qy = 0 ②

即①式中的f(x) = 0，求该式通解，直接运用定理得知②的通解

y = C1y1(x) + C2y2(x)

接着只需求解出y1(x)和y2(x)的解就ok了。

可以将②式写成 (也可理解将y的n次导看成r的n次方)

（r^2 + p*r + q）e^rx = 0

=> （r^2 + p*r + q） = 0 ③

接着就是求解方程③(称为特征方程)的根r1、r2，

该特征方程求根可以分成三种情况去讨论：

1.p^2 - 4q > 0 ，③式有两个不相等的根r1、r2,即

y = C1*e^r1x + C2*e^r2x

2.p^2 - 4q = 0 ，③式有两个相等的根r,即

y = C1*e^rx + C2*xe^rx

3.p^2 - 4q < 0 ，③式有一对共轭复根(无实数根),即

y=e^αx (C1*cosβx + C2*sinβx)

其中α = -(b/2a) ,β = (√-△) / 2a . (注: a,b为特征方程项系数 ,△为p^2 - 4q)

二、二阶常系数非齐次线性方程

其一般形式

y'' +p y' + qy = f(x) 即f(x) ≠0

该方程的通解为

y = Y(x) + y* (Y(x) 为②式,即齐次方程的通解;y*为 ①式的特解)

第一步，求②式(齐次方程)通解，(参照上面一的方法)

第二步，求①式特解。

-----------------------------------------------------------------------------------==>

根据①式根据f(x)类型分成两种求解方式 :

1.f(x) = P(x) * e^(λx)

特解: y* = x^k * Pm(x) * e^λx ④

(Pm(x) 为与P(x)同次的多项式，k是根据λ 不是③式的根(特征根)、单根、重复根依次取值为0,1,2)

2.f(x) = e^λx * [ Pl(x)cosωx + Qn(x)sinωx]

特解: y* = x^k * eλx [Pl(x)cosωx + Ql(x)sinωx] ⑤

( l=max(l,n),k是根据λ+iω不是③式的根(特征根)、单根依次取值为0,1 ; i是虚数)

-----------------------------------------------------------------------------------

最后将特解带入原方程式①中，即可解得Pm(x)的具体方程式。

y = Y(x) + y* 就求出来了

另开一篇文章我简单写一下二阶常系数线性微分方程的另一种通用解法(不分齐次非齐次)的思想，降阶求解

https://blog.csdn.net/while_1_/article/details/104158864

二阶常系数线性微分方程相关推荐

二阶常系数线性微分方程的解法
二阶常系数线性微分方程的解法可以使用特征方程和特征根的方法.首先求出特征方程的根,然后用这些根来构造通解.对于特殊情况,如根重合或根为复数,需要使用不同的方法来解决.
考研二战日记-第36天——高数6.4二阶常系数线性微分方程
二阶常系数线性微分方程是形如y''+py'+qy=f(x)的微分方程,其中p,q是实常数.自由项f(x)为定义在区间I上的连续函数,即y''+py'+qy=0时,称为二阶常系数齐次线性微分方程.若函数 ...
（10/300）二阶线性微分方程的解的性质和结构（二）
先占个坑,明天来填....明天能有时间吗????但是我把写博客这个事情必须坚持下去,等闲下来的时候一定要留几篇存稿. +++++++++++++++++++2020年3月20日08点27分++++++ ...
常系数线性微分方程的直接解法-利用特征方程
线性系统的最重要的特征是:系统对激励的反应是线性的,而且系统本身是线性的,牢记叠加组合性. 例如:二阶线性微分方程 X"+2Xˊ+5X=0 , X︱t=0 =0 ,Xˊ︱t=0 =0 这是个 ...
二阶边值问题的数值解matlab,二阶线性微分方程边值问题的MATLAB求解
2012 年 3 月第 26 卷第 1 期阴山学刊 YINSHAN ACADEMIC JOURNAL Mar． 2012 Vo1． 26 No． 1 二阶线性微分方程边值问题的 MATLAB ...
三阶齐次线性方程求通解_三阶常系数线性微分方程特解的简单求法
三阶常系数线性微分方程特解的简单求法周坚 ; 赵士银 [摘要] 针对自由项为几类常见类型的三阶常系数非齐次线性微分方程 , 得到了求此类微分方程的特解公式 , 使求三阶常系数非齐次线性微分方程的 ...
算子法二阶线性非齐次微分方程的通解
对于一般的二阶线性非齐次微分方程我们先利用格林函数的思想来求解固定每一个时刻,假定我们能求解那么可以证明原方程的解就是我们引入阶跃函数将上面等式上限变为正无穷我们将上式改写为卷积形式到这里 ...
特征值法解常系数线性微分方程解法总结
1. 引言 2. 准备知识 3. 常系数齐次线性微分方程和欧拉方程 3.1 常系数齐次线性微分方程的解 3.2 Euler方程 4. 非齐次线性微分方程(比较系数法) 4.1 形式 I 4.2 形式 ...
二阶线性齐次微分方程的解与对应的二阶线性非齐次微分方程的解的关系
以下简称二阶线性齐次微分方程为齐二阶线性非齐次微分方程为非齐重要的性质.定理(共6条): 证明1:若y1.y2.y3是非齐的解,a.b.c为常数且a+b+c=0,y=a y1+by2+c ...

二阶常系数线性微分方程

二阶常系数线性微分方程相关推荐

最新文章

热门文章