二阶边值问题的数值解matlab,二阶线性微分方程边值问题的MATLAB求解
2012 年 3 月第 26 卷 第 1 期 阴 山 学 刊 YINSHAN ACADEMIC JOURNAL Mar． 2012 Vo1． 26 No． 1 二阶线性微分方程边值问题的 MATLAB 求解* 云 文 在 ( 包头师范学院 数学科学学院，内蒙古 包头 014030) 摘 要: 本文给出二阶线性微分方程边值问题数值算法的 MATLAB 实现，并举例进行了求解仿真及与解 析解的精度比较。 关键词: 边值问题; 初值问题; MATLAB 中图分类号: O175 文献标识码: A 文章编号:1004 －1869( 2012) 01 －0023 －02 微分方程数值解中，侧重研究初值问题，即已知 x0 对其他时刻状态变量值进行求解的方法。在实际问题中，经常会遇到这样的问题: 已知部分状态在t = 0时刻的值，还知道部分状态在时刻t0 = tf 的值，这类问题即所谓边值问题。而在 MATLAB 语言中边值问题也是 ode45( ) 类函数无法直接求解的一类问题。本文采用将边值问题转化为初值问题的方法，给出二阶线性微分方程的边值问题的计算机求解。 1 边值问题的数学描述 二阶线性微分方程的边值问题的数学描述: ¨ y( x) + p( x) y( x) + q( x) y( x) = f( x) ( 1) 其中 p( x) 、q( x) 和 f( x) 均为给定函数。假设在区间［a，b］上研究该方程的解，且已知在这两个边界点 上满足边界条件 y( a) = γa，y( b) = γb ( 2) 2 数值求解方法 由于不能直接获得在初始时刻的各个变量的值，因此求解初值问题的通常算法在解边值问题时是不能直接使用的。边值问题数值解法的基本思想是找出能够满足式( 2) 边值的相应初值 y( 0) 和 y( 0) ，然后再利用初值问题算法来求解这一初值问题。该算法也称为打靶算法( shooting method) 。 算法步骤: 求出下面方程初值问题的数值解 y1( b) ¨ y1( x) + p( x) y1( x) + q( x) y1( x) = 0， y1( a) = 1， y1( a) = 0 求出下面方程初值问题的数值解 y2( b) ¨ y2( x) + p( x) y2( x) + q( x) y2( x) = 0， y2( a) = 0， y2( a) = 1 求出下面方程初值问题的数值解 yp( b) ¨ yp( x) + p( x) yp( x) + q( x) yp( x) = 0， yp( a) = 0， yp( a) = 1 若 y2( b) ≠ 0，则计算 m = γb － γay1( b) － yp( b) y2( b) 求出下面方程初值问题的数值解，则 y( x) 即为原边值问题的数值解 ¨ y( x) + p( x) y( x) + q( x) y( x) = f( x) ， y( a) = γa， y( a) = m 3 上面算法的 MATLAB 实现 求解时应该首先得出对应的一阶微分方程组模型，即设x1 = y，x2 = y，则得出式( 1) 对应的方程组为: x1 = x2 x2 = － q( x) x1 － p( x) x2 + f( x{ ) 则上面算法的 MATLAB 实现为 Function ［t，y］ = shooting( f1，f2，tspan，x0f，varargin) 32 * 收稿日期:2011 －11 －04 基金项目: 内蒙古自治区自然科学基金项
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