KM算法（汇总+模板）

KM算法是通过给每个顶点一个标号（叫做顶标）来把求最大权匹配的问题转化为求完备匹配的问题的。设顶点Xi的顶标为A[i]，顶点Yi的顶标为B [i]，顶点Xi与Yj之间的边权为w[i,j]。在算法执行过程中的任一时刻，对于任一条边(i,j)，A[i]+B[j]>=w[i,j]始终成立。KM算法的正确性基于以下定理：
　　若由二分图中所有满足A[i]+B[j]=w[i,j]的边(i,j)构成的子图（称做相等子图）有完备匹配，那么这个完备匹配就是二分图的最大权匹配。
　　这个定理是显然的。因为对于二分图的任意一个匹配，如果它包含于相等子图，那么它的边权和等于所有顶点的顶标和；如果它有的边不包含于相等子图，那么它的边权和小于所有顶点的顶标和。所以相等子图的完备匹配一定是二分图的最大权匹配。
　　初始时为了使A[i]+B[j]>=w[i,j]恒成立，令A[i]为所有与顶点Xi关联的边的最大权，B[j]=0。如果当前的相等子图没有完备匹配，就按下面的方法修改顶标以使扩大相等子图，直到相等子图具有完备匹配为止。
　　我们求当前相等子图的完备匹配失败了，是因为对于某个X顶点，我们找不到一条从它出发的交错路。这时我们获得了一棵交错树，它的叶子结点全部是X顶点。现在我们把交错树中X顶点的顶标全都减小某个值d，Y顶点的顶标全都增加同一个值d，那么我们会发现：
两端都在交错树中的边(i,j)，A[i]+B[j]的值没有变化。也就是说，它原来属于相等子图，现在仍属于相等子图。
两端都不在交错树中的边(i,j)，A[i]和B[j]都没有变化。也就是说，它原来属于（或不属于）相等子图，现在仍属于（或不属于）相等子图。
X端不在交错树中，Y端在交错树中的边(i,j)，它的A[i]+B[j]的值有所增大。它原来不属于相等子图，现在仍不属于相等子图。
X端在交错树中，Y端不在交错树中的边(i,j)，它的A[i]+B[j]的值有所减小。也就说，它原来不属于相等子图，现在可能进入了相等子图，因而使相等子图得到了扩大。
　　现在的问题就是求d值了。为了使A[i]+B[j]>=w[i,j]始终成立，且至少有一条边进入相等子图，d应该等于min{A[i]+B[j]-w[i,j]|Xi在交错树中，Yi不在交错树中}。
　　以上就是KM算法的基本思路。但是朴素的实现方法，时间复杂度为O(n4)——需要找O(n)次增广路，每次增广最多需要修改O(n)次顶标，每次修改顶标时由于要枚举边来求d值，复杂度为O(n2)。实际上KM算法的复杂度是可以做到O(n3)的。我们给每个Y顶点一个“松弛量”函数 slack，每次开始找增广路时初始化为无穷大。在寻找增广路的过程中，检查边(i,j)时，如果它不在相等子图中，则让slack[j]变成原值与A [i]+B[j]-w[i,j]的较小值。这样，在修改顶标时，取所有不在交错树中的Y顶点的slack值中的最小值作为d值即可。但还要注意一点：修改顶标后，要把所有的slack值都减去d。

/*问题概述: 有n个人，n个房子，每个人对每个房子出价都不同，你是村长，你如何分配房子才能获得最高收益（HDU2255）输入样例:                         对应输出:5                                  293 4 6 4 96 4 5 3 87 5 3 4 26 3 2 2 58 4 5 4 7
*/
/*  http://philoscience.iteye.com/blog/1754498完备匹配：对于一个二分图，最大匹配数为其点数少的那一边的点数顶标：每个点的权值，恒满足lx[i]+ly[j]==val[i][j]（val[i][j]表示第i个人对第j个房子的出价）→若由二分图中所有满足lx[i]+ly[j]==val[i][j]的边(i,j)构成的子图有完备匹配，那么这个完备匹配就是二分图的最大权匹配（可能有多个，但总权值大小相同）KM算法流程：①：初始化可行顶标的值，默认lx[i] = val[i][j], ly[j] = 0②：用匈牙利算法尽可能寻找完备匹配，当然满足lx[i]+ly[j]==val[i][j]才匹配③：若未找到完备匹配则修改可行顶标的值，例如在满足lx[i]+ly[j]==val[i][j]条件下降低lx[i]，增加对应的ly[j]④：重复②③直到找到相等子图的完备匹配为止
*/
#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<algorithm>
using namespace std;
int n, link[305], lx[305], ly[305], slack[305], visx[305], visy[305], val[305][305];
int Sech(int x);            /*lx、ly为顶标，slack为松弛函数，对应Y集合*/
int main(void)
{int i, j, ans, d, k;while(scanf("%d", &n)!=EOF){n;for(i=1;i<=n;i++){for(j=1;j<=n;j++)scanf("%d", &val[i][j]);}memset(link, -1, sizeof(link));memset(ly, 0, sizeof(ly));for(i=1;i<=n;i++){                                        /* lx初始化为与它关联边中最大的 */lx[i] = 0;for(j=1;j<=n;j++)lx[i] = max(val[i][j], lx[i]);}for(k=1;k<=n;k++){for(i=1;i<=n;i++)slack[i] = 10000000;while(1){memset(visx, 0, sizeof(visx));memset(visy, 0, sizeof(visy));if(Sech(k))                          /*若成功找到增广路，则该点匹配完成*/break;                               /*若失败，则需要改变一些点的顶标，使得图中可行边的数量增加*/d = 10000000;for(i=1;i<=n;i++)                        /*所有在增广过程中遍历到的X方点的顶标全部减去一个常数d，Y放点的顶标全部加一个d（d尽可能小）*/{if(visy[i]==0)d = min(d, slack[i]);}for(i=1;i<=n;i++){if(visx[i])lx[i] -= d;if(visy[i])ly[i] += d;elseslack[i] -= d;     /*修改顶标后，要把所有不在交错树中的Y顶点的slack值都减去d*/}}}ans = 0;for(i=1;i<=n;i++){//if(link[i]!=-1)ans += val[link[i]][i];}printf("%d\n", ans);}return 0;
}int Sech(int x)                /*匈牙利算法*/
{int i, temp;visx[x] = 1;          /*深搜寻找从x点开始的增广路*/for(i=1;i<=n;i++){if(visy[i])continue;temp = lx[x]+ly[i]-val[x][i];if(temp==0){visy[i] = 1;if(link[i]==-1 || Sech(link[i])){link[i] = x;return 1;}}else                             /*如果lx[x]+ly[i]>val[x][i]*/slack[i] = min(slack[i], temp);}return 0;
}
/*
5
3 4 6 4 9
6 4 5 3 8
7 5 3 4 2
6 3 2 2 5
8 4 5 4 7
29
*/

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