如何理解三维直角坐标系中的旋度表达式

原创： 善欢喜王 唯心识学 2019-02-25

上一篇说到，三维直角坐标系下的旋度定义简单、直接、粗暴、摄人心魄，拥有一种异样的美。这里就要给大家讲讲为什么它简单、直接、粗暴？以及它摄人心魄的美究竟体现在哪里？

我们先看三维直角坐标系的样子，大家记住三个坐标轴 x、y、z 所指的方位，它们的方位顺序不能乱。

在三维直角坐标系中，三个坐标轴的顺序是这样的：

当我们用对待二维坐标系的方式去看 xy 平面时，z 轴的方向是从坐标原点指向我们自己的方向。(约定 x 轴的正方向朝右，y 轴的正方向朝上)

明确了三维直角坐标系的三个坐标轴的方位顺序之后，我们还要约定三个单位矢量。

设 i、j、k 是三个单位矢量，其中：

1、i 的方向是 x 轴的正方向

2、j 的方向是 y 轴的正方向

3、k 的方向是 z 轴的正方向

再为数学水平较差的读者扫除一些障碍：

1、矢量场 F 沿 x 轴、y 轴、z 轴方向可以通过矢量分解划分出三个分量，将这三个分量分别记做：Fx、Fy、Fz 。有些书上将这三个分量记做O、P、Q ，意思都是一样的。

2、偏微分符号 ∂

符号 ∂ 表示被描述对象的变化是在三维空间中的微小变化，比如 ∂F 就是 F 在三维空间中的一个微小改变量。它本身并不包含任何特殊的数学算法。在明确了方位之后，∂ 的含义与 Δ 的含义大致一样(∂ 有表示对象本身是无穷小量的意思，Δ 若不特殊说明，就表示一个改变量，并不涉及无穷小)，只不过 Δ 是中学时就能接触到的表示变化的符号，而 ∂ 是学微积分时被引入的微分符号。若实在不喜欢 ∂ ，那就当它是 Δ 好了，反正只要明确了方向、规定了无穷小之后，它们的含义是完全一样的。

三维对象的旋转可以有三个自由度，即绕 x 轴的旋转自由度、绕 y 轴的旋转自由度、绕 z 轴的旋转自由度，任何三维对象的旋转都可以是其自身三个自由度的旋转叠加之后的结果。

既然一个三维对象的旋转是三自由度的，那么从另一个角度去想，无论这个三维对象在展现何种难以描述的旋转造型，我们都可以将其分解为绕 x 轴的旋转、绕 y 轴的旋转、绕 z 轴的旋转三个分量。

因为任何三维对象的旋转都可以分为绕 x 轴的旋转、绕 y 轴的旋转、绕 z 轴的旋转三个分量，所以对于旋转对象 F ，我们可以通过分别描述 Fx 、Fy、Fz 三个方向的分量各自旋转状况的方式进而描述 F 整体的旋转状况。

我们先看绕 x 轴旋转的状况。

既然是绕 x 轴旋转，x 轴方向的变化就暂时不用考虑，可以设想自己的视角正沿着 x 轴去看 yz 平面。

当 y 轴方向产生一个微小的变化 Δy 时，若 F 沿 z 轴方向的分量 Fz 也产生了一个微小的变化，记做 ΔFz ，那么从 x 轴向 yz 平面看去，对象 F 就会表现出一个从 y 轴方向朝 z 轴方向偏转的趋势，这个趋势就是 ΔFz/Δy 。

当 z 轴方向产生一个微小的变化 Δz 时，若 F 沿 y 轴方向的分量 Fy 也产生了一个微小的变化，记做 ΔFy ，那么从 x 轴向 yz 平面看去，对象 F 就会表现出一个从 z 轴方向朝 y 轴方向偏转的趋势，这个趋势就是 ΔFy/Δz 。

因为这两个趋势方向恰好是相反的，所以只要让 y 轴偏向 z 轴的旋转趋势与 z 轴偏向 y 轴的旋转趋势相减，就能得到绕 x 轴的总旋转趋势。

比如我们可以这样，让

ΔFz/Δy - ΔFy/Δz

减号左右两边内容的顺序不能乱，这样才能正确反映右手定则。

可以这样约定：

当我们沿 x 轴的负方向去看坐标原点的时候，将 y 轴与 z 轴整体转向，使得一个坐标轴的正方向朝右，另一个坐标轴的正方向朝上(在这种情况下只能是 y 轴朝右，z 轴朝上)。

从右向上的旋转趋势放在减号左边(逆时针)

从上向右的旋转趋势放在减号右边(顺时针)

当选择 y 轴或 z 轴指向我们自己时，因为三维直角坐标系的坐标轴方向是确定的，所以我们可以参照 x 轴以此类推。

于是绕 x 轴的总的旋转趋势就是

ΔFz/Δy - ΔFy/Δz

即 y 轴向 z 轴的旋转趋势减去 z 轴向 y 轴的旋转趋势。

那么绕 x 轴涡旋的旋度方向应该是哪个方向呢？当然应该是通过右手定则决定的方向。

怎样用数学符号确立绕 x 轴涡旋的旋度呢？

因为 x 方向的单位矢量是 i ，所以进行如下操作就可以了：

(ΔFz/Δy - ΔFy/Δz)i

为了照顾一下数学家们的习惯(其实那是一个非常好的习惯，叫做严谨)，我们还是用偏微分符号 ∂ 替换掉符号 Δ 吧。于是得到

(∂Fz/∂y - ∂Fy/∂z)i

大家看，这不就是三维直角坐标系中旋度定义式的第一项吗？

大家现在能够想象出(∂Fz/∂y - ∂Fy/∂z)i 的几何图像了吗？

很简单对吧？它就是将 x 轴视为旋转轴时，yz 平面顺时针方向的旋转趋势与逆时针方向的旋转趋势在打架，谁打赢了就朝谁的方向转，最后告诉赢家，你的旋度矢量方向必须满足右手定则，这是比赛规则。

现在让大家再看一个三维直角坐标系中旋度定义式的马甲，大家看还认得不？

它是不是很简单呢？

其实就是将任意一个涡旋都拆分为绕 x、y、z 轴的三个自由度的涡旋，让所有的旋转趋势分为三个小组去打架，小组比赛胜出的那个获得一个右手定则奖杯，最后将三个小组的旋转趋势冠军进行矢量合成，这就是旋度的几何图像。

这种以斗殴的方式获得的旋度是不是既直接又粗暴呢？在数学形式上它也足够优美吧？

当我们看到单位矢量 i 的时候，想象眼前展现出一个 yz 平面，其中逆时针偏转的趋势与顺时针偏转的趋势在搏斗，附在自转轴上的单位矢量 i 作为裁判在主持比赛。右手定则规定，若逆时针趋势赢了，这个旋度分量的方向就是 i 的正方向；若顺时针趋势赢了，这个旋度分量的方向就是 i 的负方向；若它们打了个平手，这个旋度分量就是零。j 方向与 k 方向也是如此处理，这样，旋度的数学意义就鲜活了起来。

反倒是那个写成行列式的助记符号，它对理解旋度的数学含义真的有用吗？为什么我怎么看都觉得它有些鸡肋呢？

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昨天的文章发出后，一些网友给我发消息说了自己的看法。

本来想在这里回应，但是今天的正文内容写着写着几个小时就过去了。太晚了，只好明天再说了。