场的概念 | 方向导数与梯度 | 通量与散度 | 环量与旋度 | 典型矢量场 | 哈密顿算子

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• 场的概念

1.场：如果在全部空间或部分空间里的每一点，都对应着某个物理量的一个确定的值，即在这个空间里确定了该物理量的一个场。（数量场/矢量场 、稳定场/不稳定场）

2.数量场的等值面：数量场u=u(M)（即u=u(x,y,z)），由场中使函数u取相同数值的点所组成的曲面（假设这个函数单值连续且具有连续一阶偏导数，由隐函数存在定理，各连续偏导数不全为零时，这种等值面一定存在）同理可定义等值线

3.矢量场的矢量线：每一点都与对应于该点的矢量相切的曲线（在流体力学中，此为流线定义） 矢量线需满足的微分方程

4.矢量场矢量面：对于场中任意一条曲线C（非矢量线），在其上每一点处，有且仅有一条矢量线经过，这些矢量线构成矢量面，特别地，当曲线C为封闭曲线时，通过C的矢量面构成管型曲面（矢量管）

5.平行平面场：常见的、具有一定几何特点的场

平行平面矢量场：场内所有矢量均平行于某一平面q；在垂直于平面q的任一直线的所有点上，矢量的大小和方向都相同

平行平面数量场：垂直于场中某一直线l的所有平行平面上，数量u的分布情况都是相同的， 或者说，在场中与直线l平行的任意一条直线的所有点上，数量u都相同

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• 方向导数与梯度（数量场）

1.方向导数：设

（方向导数即为在某一个点

2.在直角坐标系中，若函数u=u(x,y,z)在点M0(x0,y0,z0)处可微，则函数u在点M0处沿l方向的偏导数必存在且其数值由如下公式给出

3.若在有向曲线C上取定一点

4.梯度：若在数量场u(M)中的一点处，存在这样一个矢量G，其方向为函数u(M)在M点处变化率最大的方向，其模也正好是这个最大变化率的数值，则称G为函数u(M)在点M处的梯度，记作

G （梯度的定义与坐标系无关，仅有分布决定）

5.梯度性质：函数u沿l方向的方向导数等于梯度在该方向上的投影；数量场u(M)中每一点M处的梯度垂直于过该点的等值面，且指向函数u(M)增大的一方，即等值面上任意一点处的单位法矢量n可定义为

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• 通量与散度（矢量场）

1. 简单曲线：没有重点的连续曲线；简单曲面：没有重点的连续曲面。

2. 有向曲面：取定外侧为正侧的曲面

3. 通量：设有矢量场A(M)，沿其中有向曲面S某一侧的曲面积分

A向积分所沿一侧穿过曲面S的通量）

若封闭曲面s通量大于零，则s内存在源，反之则说明s内有汇。

4. 散度：设有矢量场A(M)，于场中一点M的某个邻域内作一包含M点的任意闭曲面

A在点M处的散度，记作 div A，即

散度div A为纯量，表示场中一点处通量对体积的变化率，即该点处对一个单位体积来说所穿出之通量，即该处源的强度；div A=0时，矢量场A为无源场

在直角坐标系中，

5. 散度运算基本法则

6. 通量与散度关系：

7. 平面矢量场法向矢量：规定其沿逆时针旋转 90度与切向矢量重合

8. 平面矢量场的通量：平面矢量场

9.平面矢量场的散度：设有平面矢量场

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• 环量与旋度（矢量场）

1. 环量：沿矢量场A中某一封闭的有向曲线l的曲线积分

2. 环量面密度：设M为矢量场A中一点，在点M处取定一个方向n，再过点M作任一微小曲面

在直角坐标系下

3. 旋度：若在矢量场A中的一点M处存在这样一个矢量

在直角坐标系中

4. 旋度运算法则：

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• 三种重要的矢量场（有势场、管形场、调和场）

1. 有势场：设有矢量场A(M)，若存在单值函数u(M)，满足
   ，则称这个矢量场为有势场，令v=-u，则v为这个场的势函数。

1）有势场是一个梯度场；有势场的势函数有无穷个，它们之间只差一个常数

2）在线单连域内矢量场A为有势场的充要条件时A为无旋场

3）“场有势”“场无旋（rot A=0）”“场保守（场内曲线积分与路径无关）”彼此等价

2.管形场：设有矢量场A(M)，若其散度div A=0，则称这个矢量场为管形场（即为无源场）。

1） 在面单连域内矢量场A为管形场的充要条件：A为另一个矢量场B的旋度场，即

2） 设管形场A所在的空间区域为一面单连域，在场中任取一个矢量管。假定

3. 调和场：如果在矢量场A中恒有

1）势函数u为调和函数，满足拉普拉斯方程

为方便表述，我们引入微分算子

2）平面调和场：定义u为平面调和场A的力函数，则u与v构成共轭调和函数

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• 哈密顿算子

1.引入哈密顿算子

引入数性微分算子

2. 运算规则

即

3. 奥斯特罗格拉茨基公式

4.格林公式

（格林公式推广至三维即为斯托克斯公式）

5. 斯托克斯公式

4. 一些常见的公式（c为常数，

5. 若

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