r矢量球坐标系旋度_三个常用坐标系的认识及矢量旋度表达式的证明
三个常用坐标系的认识及矢量旋度表达式的证明
【摘要】
本文通过分析一个悖论的产生原因,叙述了在学习中对三个常用坐标系的单位矢量的一点认识;然后由旋度的定义出发,给出了一种不同于教材的矢量旋度表达式推演方法证明。
【关键词】
坐标系 单位矢量 悖论 旋度表达式
一、对三个常用坐标系的认识
题目:
将位于球坐标下的P 点(1,30,90)??处的矢量A e θ=u r u r
,先在直角坐标系下表示出其表达式,然后再将所得到的表达式重新表达成球坐标系下表出。则将得到如下悖论:
r A e e θ==u r u r u r
请在分析产生此悖论原因的基础上,撰写一篇关于对三个常用坐标系单位坐标矢量认识的学习报告,并另外设计一个类似的悖论。
1、悖论r A e e θ==u r u r u r
的产生:
A u r 在直角坐标系下的表达式为:
101222
x y z A e e e =+-u r u r u r u r g g g g
所以A u r 为点11(0,)22
P -处的矢量。然后再将A u r 在球坐标下表出
1r ===
1
arccos(/arccos()1202
z θ==-=? arctan(/)90y x φ==?
所以,此时的A u r
是点2(1,120,90)P ??处的矢量
此时,r A e e θ==u r u r u r ,即在2P 点处e θu r 与r e u r
大小相等,方向相同。
产生悖论的原因:将在球坐标系中的最初的矢量A e θ=u r u r
经过球坐标表出变换为直角坐标表出,再变换为球坐标表出这一变换过程之后,P 点在球坐标系下的位置已经改变,由此产生了r e e θ=u r u r ;但是,2P 点处的e θu r 已经不等于P 点处的e θu r
,因为它们的方向不相同。
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