matlab中欠定方程组超定方程组_《数值天气预报》：球坐标系中的基本方程组

人们是如何预报天气的？目前的预报方法主要有两种：一种是基于由各种探测资料绘制的天气图，结合历史资料进行分析预测；另一种是基于大气方程组，利用数值解法对其进行求解，从而得到未来时刻的大气状态。

后者就是我们《数值天气预报》所要研究的内容了。

先来看一个最基本的大气运动方程组：

它适用于干空气或未饱和湿空气（即不发生水汽凝结过程的大气）。其中第一个式子是根据牛顿第二定律得到的运动方程。第二个式子是根据质量守恒定律得到的连续方程。第三个式子是根据能量守恒定律得到的热力学方程。第四个式子就是我们高中就学过的理想气体状态方程。

这是一个有6个因变量（

）的闭合方程组。为什么有6个变量，只有四个方程，就是一个闭合方程组了呢？根本原因在于，第一个方程（运动方程）是一个

矢量方程，将矢量沿三个方向展开后，可以得到三个方向的运动方程。这样一来，上面的方程组实质上就由六个方程组成。

我们都知道矢量的展开结果，与选取的基向量（或选取的坐标系）有关。在这篇文章中，我们要介绍的是基本方程组在球坐标系中的形式。

所谓球坐标系，有点像三维的极坐标系。它的基本原理是用经度

、纬度

和向径

描述某点P在坐标系中的位置。与之相对应的，我们选取的标架

分别是与纬圈相切指向东、与经圈相切指向北、垂直于地表指向天顶的单位向量。

球坐标系示意图

这样，速度矢量

可以被我们分解到

三个方向：

于是运动方程等号左端的加速度项可以被写成：

如果是在笛卡尔坐标系中，结果的后三项是等于0的，也就是我们之前经常见过的形式：

。因为在笛卡尔坐标系中，标架

是始终固定不动的，有

。而在球坐标系中，很明显，

会随着点P位置的变化而变化，因而后三项不能被省略。

那么现在我们需要考虑一个新的问题：

怎么表示？

以

为例，根据个别变化与局地变化的关系有：

在某个确定的位置，

是不随时间变化的，而且

只存在于x方向，因此有

。

于是有

。这样，我们就把

与

在x方向上的局地导数联系起来了，问题的关键变成了求

。我们知道，矢量的导数还是矢量。因此我们不妨分别求

的大小和方向。

先来看它的大小:

让

变化一个很小的角度

，当转过的弧线足够短时，可以近似把等腰三角形的底边长度等价于弧线长度

。设此时

的变化量是

。其中

。

沿纬圈平面剖面图

那么

。可以发现，图中的红色三角形和蓝色三角形都是等腰三角形，而且他们的顶角是相等的。因此这两个三角形相似，有两底边长之比等于两腰长之比，即

。考虑到

是单位向量，有

这样一来，我们就求出了

的大小。下面来看一下它的方向：

从上面的示意图难看出，

的方向是平行于纬圈平面，且指向地轴的。如果再做一个沿经圈平面的剖面图，可以发现

的方向可以用向量

来表示，而这个向量恰好又是一个单位向量。

沿经圈平面剖面图

在求出

的大小和方向后，我们就可以完整表示

了：

同理，我们可以得到

：

有了这些,方程等号左端在球坐标系中的展开就完成了：

方程右端大部分项的展开都是容易的。如重力

；摩擦力

；地转偏向力=

。其中

。

但唯独气压梯度力项

比较特殊。我们之前了解过，哈密顿算子

在直角坐标系中的形式是

。但是在球坐标系中，我们希望用

来代替式中的

。下面我们来推导一下球坐标系中的哈密顿算子。

先来思考一下直角坐标系中哈密顿算子每一项的物理意义。

中，

表示的是“物理量

在

方向上的变化率”。基于这个原理，回到球坐标系中，用

分别表示沿

方向的一段微小位移，那么有

下一步就是找

与

的关系了。观察一开始的球坐标系示意图不难发现：

于是

这样，我们就得到了球坐标系下的哈密顿算子。从而气压梯度力项可以被展开为

。

至此，我们就已经完成了文章开头提到的“第一个方程（运动方程）是一个矢量方程，将矢量沿三个方向展开后，可以得到三个方向的运动方程”，即

三个方向各一个方程：

我罢工！！！这个公式手动完怕是我人都没了

当然，大气运动方程组里的其他方程也可以转化成球坐标系中的形式，这里就不说了。

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