高等数学：第十章曲线积分与曲面积分（3）高斯共识、通量、散度、斯托克斯共识、环流量、旋度

§10.6 高斯公式通量与散度

一、高斯公式

格林公式表达了平面闭区域上的二重积分与其边界曲线上的曲线积分之间的关系,而高斯公式表达了空间闭区域上的三重积分与其边界曲面上的曲面积分之间的关系，这个关系可陈述如下：

【定理】设空间闭区域是由分片光滑的闭曲面所围成，函数、、在上具有一阶连续偏导数，则有

(1)

或 ()

这里是的整个边界曲面的外侧，是上点处的法向量的方向余弦,公式(１)或()叫做高斯公式。

证：由两类曲面积分的关系，公式(1)与()的右端是相等的，因此这里只要证明公式(1)就可以了。

设闭区域在面上的投影区域为，假定穿过内部且平行轴的直线与的边界曲面的交点恰好是两个。这样，可设由，和三部分组成，其中和分别由方程和给定，这里，取下侧，取上侧；是以的边界曲线为准线而母线平行于轴的柱面上的一部分，取外侧。

根据三重积分的计算法，有

(2)

因为上任意一块曲面在面上的投影为零，所以直接根据对坐标的曲面积分的定义可知

把以上三式相加，得

(3)

比较(2)、(3)两式，得

如果穿过内部且平行于轴的直线以及平行于轴的直线与的边界曲面的交点恰好有两点，那么类似地可得

把以上三式两端分别相加，即得高斯公式(1)。

在上述证明中，我们对闭区域作了这样的限制，即穿过内部且平行于坐标轴的直线与的边界曲面的交点恰好是两点。如果不满足这样的条件，可以引进几张辅助曲面把分为有限个闭区域，使得每个闭区域满足这样的条件，并注意到沿辅助曲面相反两侧的两个曲面积分的绝对值相等而符号相反，相加时正好抵消，因此公式(1)对于这样的闭区域仍然是正确的。

【例1】利用高斯公式计算曲面积分

其中为柱面及，所围成的空间区域的整个边界曲线的外侧。

解：这里，，

，，，

利用高斯公式把所给曲面积化为三重积分，再利用柱面坐标计算三重积分：

【例2】利用高斯公式计算曲面积分

其中为锥面介于平面及之间的部分的下侧，、、是在点处的法向量的方向余弦。

解：曲面不是封闭曲面，不能直接利用高斯公式，补充曲面

则与一起构成一个封闭曲面，记它们所围成的空间闭区域为，利用高斯公式，便有

其中，注意到

即得

而

因此

【例3】设函数和在闭区域上具有一阶及二阶连续偏导数，试证明

其中是闭区间的整个边界曲面，为函数沿的外法线方向的方向导数，这个公式叫做格林第一公式。

证：在高斯公式

中，令，，，并分别代入上式的左右两边，便得到

上述两式结合便是所要证明的格林第一公式。

*二、沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件

设是起点为、终点为的光滑曲线，对于曲线积分

若被积函数满足，上述曲线积分与无关而只与、坐标有关。

很自然地，我们会想到这样的一个问题，在怎样的条件下，曲面积分

与曲面无关而只与的边界曲线有关？这问题相当于在怎样条件下，沿任意封闭曲面的曲面积分为零？这个问题可用高斯公式来解决。

先介绍空间二维单连通及一维单连通区域的概念。

对空间区域，如果内任一闭曲面所围成的区域全属于，则称是空间二维单连通区域；如果内任一闭曲线总可以张一片完全属于的曲面，则称为空间一维单连通区域。

对于沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件，我们有以下结论：

【定理】设是空间二维单连通区域，函数、、在内具有一阶连续偏导数，则曲面积分

在内与所取曲面无关而只取决于的边界曲线(或沿内任一闭曲面的曲面积分为零)的充分必要条件是等式

(4)

在内恒在成立。

证：若等式(4)在内恒成立，则由高斯公式(1)立即可看出沿内的任意曲面的曲面积分为零，因此条件(４)是充分的。

反之，设内的任一闭曲面的曲面积分为零，若等式(4)在内不恒成立，就是说在内至少有一点使得

仿照第10.3节第二目中所用的方法，就可得出内存在着闭曲面使得沿该闭曲面的曲面积分不等于零，这与假设相矛盾。因此条件(4)是必要的。

三、通量与散度

下面来解释高斯公式

(1)

的物理意义。

设稳定流动的不可压缩液体(假定密度为1)的速度场由

给出，其中、、假定具有一阶连续偏导数，是速度场中一片有向曲面，又是在点处的单位法向量，由第10.5节的讨论知道，单位时间内流体经过流向指定侧的流体总质量可用曲面积分来表示：

如果是高斯公式(1)中闭区域的边界曲面的外侧，那么公式(1)的右端可解释为单位时间内离开闭区域的流体的总质量。

由于我们假定流体是不可压缩的，且流体是稳定的，故当流体离开时，内部必须有产生流体的“源头”产生出同样多的流体来进行补充。因此，高斯公式左端可解释为分布在内的源头在单位时间内产生的流体的总质量。

为了简便起见，把高斯公式(1)改写成

以闭区域的体积除上式两端，得

上式左端表示内的源头在单位时间单位体积内所产生的流体质量的平均值。应用积分中值定理于上式左端，得

这里是内的某个点。

令缩向一点，对上式取极限，得

上式左端称为在点的散度，记作，即

在这里可看作稳定流动的不可压缩流体在点的源头强度 — 单位时间单位体积内所产生的流体质量。如果为负，表示点处流体在消失。

一般地，设某向量场由

给出，其中、、具有一阶连续偏导，是场内的一片有向曲面，是上点处的单位法向量，则叫做向量场通过曲面向着指定侧的通量(或流量)，而叫做向量场的散度，记作，即

高斯公式现在可写成

其中是空间闭区域的边界曲面，而

是向量在曲面的外侧法向量上的投影。

§10.7 斯托克斯公式环流量与旋度

一、斯托克斯公式

斯托克斯公式是格林公式的推广。格林公式表达了平面闭区域上的二重积分与其边界曲线上的曲线积分之间的关系，而斯托克斯公式则把曲面上的曲面积与沿着的边界曲线的曲线积分联系起来。

我们首先介绍有向曲面的边界曲线的正向的规定，然后陈述并证明斯托克斯公式。

【定理】设为分段光滑的空间有向闭曲线，是以为边界的分片光滑的有向曲面，的正向与的侧符合右手规则，函数、、在包含曲面在内的一个空间区域具有一阶连续偏导数，则有

(1)

公式(1)叫做斯托克斯公式。

证：先假定与平行于轴的直线相不多于一点，并设为曲面的上侧，的正向边界曲线在面上的投影为平面有向曲线，所围成的闭区域为。

我们设法把曲面积分

化为闭区域上的二重积分，然后通过格林公式使它与曲线积分联系。

根据对面积的和对坐标的曲面积分间的关系，有

(2)

由第8.6节知道，有向曲面的法向量的方向余弦为

，，

因此，把它代入(2)式得

即

(3)

上式右端的曲面积分化为二重积分时，应把中的用来代替，因为由复合函数的微分法，有

所以，(3)式可写成

根据格林公式，上式右端的二重积分可化为沿闭区域的边界的曲线积分

于是

因为函数在曲线上点处的值与函数在曲线上对应点处的值是一样的，并且两曲线上的对应小弧段在轴上的投影也是一样，根据曲线积分的定义，上式右端的曲线积分等于曲线上的曲线积分,因此，我们证得

(4)

如果取下侧，也相应地改成相反的方向，那末(4)式两端同时改变符号，因此(4)式仍成立。

其次，如果曲面与平行于轴的直线的交点多于一个，则可作辅助曲线把曲面分成几部分，然后应用公式(4)并相加。因为沿辅助曲线而方向相反的两个曲线积分相加时正好抵消，所以对于这一类曲面公式(4)也成立。

同样可证

把它们与公式(4)相加即得公式(1)。

为了便于记忆，利用行列式记号把斯托克斯公式(1)写成

把其中的行列式按第一行展开，把与的“积”理解为，与的“积”理解为等等，于是这个行列式就“等于”

这恰好是公式(1)左端的被积表达式。

利用两类曲面积分间的联系，可得斯托克斯公式的另一形式：

其中为有向曲面的单位法向量。

如果是面上的一块平面闭区域，斯托克斯公式就变成格林公式。因此，格林公式是斯托克斯公式的一个特殊情形。

【例1】利用斯托克斯公式计算曲线积分

图10-28

(b)

(a)

其中是用平面截立方体：，，的表面所得截痕，若从轴的正向看去，取逆时针方向。

解：取为平面的上侧被所围成的部分，的单位法向量，即，按斯托克斯公式，有

因为在上，，故

其中为在平面上的投影区域，为的面积，因此

故

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^*二、空间曲线积分与路径无关的条件

在第10.3节，利用格林公式推得了平面曲线积分与路径无关的条件。完全关似地，利用斯托克斯公式，可推得空间曲线积分与路径无关的条件。

首先我们指出，空间曲线积分与路径无关相当于沿任意闭曲线的曲线积分为零。关于空间曲线积分在什么条件下与路径无关的问题，有以下结论：

【定理】设空间开区域是一维单连通域，函数、、在内具有一阶连续偏导数，则空间曲线积分在内与路径无关(或沿任意闭曲线的曲线积分为零)的充分条件是等式

，， (5)

在内恒成立。

证：如果等式(5)在内恒成立，则由斯托克斯公式(1)立即可看出，沿闭曲线的曲线积分为零，因此条件是充分的。反之，设沿内任意闭曲线的曲线积分为零，若内有一点使(5)式中的三个等式不完全成立，例如。不妨假定

过点作，并在这个平面上取一个以为圆心，半径足够小的圆形区域，使得在上恒有

因为在上而，于是由(1)式有

设是的正向边界曲线，是的面积，因为，，从而

这结果与所设不合，从而(5)式在内恒成立。

应用上述定理并仿照第10.3节定理3的证法，便可以得到

【定理】设区域是空间一维单连通区域，函数、、在内具有一阶连续偏导数，则表达式在内成为某一函数的全微分的充分必要条件是等式(5)在内恒成立；当条件(5)满足时，这函数(不计－常数之差)可用下式求出:

图10-29

(6)

或用定积分表示为(依下图所取积分路径)

其中为内某一定点，点。

三、环流量与旋度

设斯托克斯公式中的有向曲面上点处的单位法向量为

而的正向边界曲线上点处的单位切向量为

则斯托克斯公式可用对面积的曲面积分及对弧长的曲线积分表示为

(7)

设有向量场

在坐标轴上的投影为

，，

的向量叫做向量场的旋度，记作，即

(8)

现在，斯托克斯公式可写成向量的形式

其中

为在的法向量上的投影，而

为向量在的切向量上的投影。

沿有向闭曲线的曲线积分

叫做向量场沿有向闭曲线的环流量。

斯托克斯公式(9)现在可叙述为：向量场沿有向闭曲线的环流量等于向量场的旋度场通过所张的曲面的通量，这里的正向与的侧应符合右手规则。

为了便于记忆，的表达式(8)可利用行列式记号形式地表示为

最后，我们从力学角度来对的含义作些解释。

设有刚体绕定轴转动，角速度为，为刚体内任意一点。在定轴上任取一点为坐标原点，作空间直角坐标系，使轴与定轴重合，则，而点可用向量来确定。由力学知道，点的线速度可表示为

。

由此有

，

而

。

从速度场的旋度与旋转角速度的这个关系，可见“旋度”这一名词的由来。

^*四、向量微分算子

引进一些特有的微分算子运算，可以使复杂的高斯公式和斯托克斯公式被表示得更简明。

向量微分算子定义为

，

它称为哈密顿算子，运用向量微分算子，我们有

(1)、设，则

其中，称为拉普拉斯算子。

(2)、设，则

现在，高斯公式和斯托克斯公式可分别写成

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