【NOI2015模拟YYT】传送

Description:

你在一个有n 个点的环上，环上点按逆时针顺序标号为0 到n - 1。你一
开始在0 号点。你在每一回合可以使用k 种传送中的一种，第i 种传送会将你
按逆时针方向移动ai 个点。有m 个限制条件，对于每个限制条件(xi; yi)，要
求不能在第xi 步之后在yi 号点上。你要求出经过l 步之后在0 号点的方案数
模998244353。

题解：

直接NTT？

O(mnlog2n)O(mnlog^2n)成功拿到60分。

考虑优化一下.

现在把转移数组看作c.

要求ckc^k。

正常做法：快速幂NTT

一次复杂度：O(nlog2n)O(n log^2 n )

在这道题中，n是二的整次幂，所以模n刚好回到原位，其实有：
DFT(c∗c)=DFT(c)∗DFT(c)DFT(c*c)=DFT(c)*DFT(c)

因此可以先对c进行DFT点值运算，搞个k次幂，再插值回来。

这为什么是对的？

还记得为什么FFT要开两倍。

因为它实际上是一个循环卷积。

c=a∗bc=a*b
c(i+j) mod n=∑n−1i=0∑n−1j=0a[i]∗b[j]c_{(i+j)~mod ~n}=\sum_{i=0}^{n-1}\sum_{j=0}^{n-1}a[i]*b[j]

随便你用点积自我乘个无数遍，它都会刚好溢出，溢出就是mo个次数界，这里的次数界=n*2,刚好符合我们的需求。

因此复杂度降为O(mnlogn)O(mnlogn)

Code:

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#define ll long long
#define fo(i, x, y) for(int i = x; i <= y; i ++)
#define ff(i, x, y) for(int i = x; i < y; i ++)
using namespace std;const int N = 2e5 + 5;const ll mo = 998244353;int n, l, m, k, x;ll s[N], b[N], c[N];struct node {int x, y;
} a[N];ll w[N], tx;ll ksm(ll x, ll y) {ll s = 1;for(; y; y /= 2, x = x * x % mo)if(y & 1) s = s * x % mo;return s;
}
void dft(ll *a, int n) {ff(i, 0, n) {int p = i, q = 0;fo(j, 1, tx) q = q * 2 + p % 2, p /= 2;if(q > i) swap(a[q], a[i]);}for(int m = 2; m <= n; m *= 2) {int h = m / 2;ff(i, 0, h) {ll W = w[i * (n / m)];for(int j = i; j < n; j += m) {int k = j + h;ll u = a[j], v = a[k] * W % mo;a[j] = (u + v) % mo; a[k] = (u - v + mo) % mo;}}}
}
ll ni;
void fft(ll *a, ll *b, int n) {dft(a, n); dft(b, n); ff(i, 0, n) a[i] = a[i] * b[i] % mo;fo(i, 0, n / 2) swap(w[i], w[n - i]);dft(a, n); ff(i, 0, n) a[i] = a[i] * ni % mo;fo(i, 0, n / 2) swap(w[i], w[n - i]);
}int cmp(node a, node b) {return a.x < b.x;
}int main() {scanf("%d %d", &n, &l);scanf("%d", &m);fo(i, 1, m) scanf("%d %d", &a[i].x, &a[i].y);scanf("%d", &k);fo(i, 1, k) {scanf("%d", &x);b[x] ++;}while(1 << tx ++ < n) tx ++;sort(a + 1, a + m + 1, cmp);s[0] = 1; a[0].x = 0; a[m + 1].x = l;int n0 = n;n = 1 << tx; ll v = ksm(3, (mo - 1) / n);w[0] = 1; fo(i, 1, n) w[i] = w[i - 1] * v % mo;dft(b, n);ni = ksm(n, mo - 2);fo(i, 1, m + 1) if(i == 1 || a[i].x != a[i - 1].x) {ff(j, 0, n) c[j] = ksm(b[j], a[i].x - a[i - 1].x);dft(s, n);ff(j, 0, n) s[j] = s[j] * c[j] % mo;fo(j, 0, n / 2) swap(w[j], w[n - j]);dft(s, n);ff(j, 0, n) s[j] = s[j] * ni % mo;fo(j, 0, n / 2) swap(w[j], w[n - j]);ff(j, n0, n) s[j % n0] = (s[j % n0] + s[j]) % mo, s[j] = 0;int l = i;while(l <= m && a[l].x == a[i].x) {s[a[l].y] = 0;l ++;}}printf("%lld", s[0]);
}

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