数学分析笔记4：一元函数微分学

导数与微分

导数的定义与性质

定义4.1 f(x)f(x)f(x)在x0x_0x0的某个邻域上有定义，如果极限lim⁡x→x0f(x)−f(x0)x−x0\lim_{x\to x_0}{\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}}x→x0limx−x0f(x)−f(x0)存在，则称f(x)f(x)f(x)在x0x_0x0处可导，该极限称为f(x)f(x)f(x)在x0x_0x0处的导数，记为f′(x0)f^{\prime}(x_0)f′(x0)，进一步地，如果f(x)f(x)f(x)在区间III的每一个点都可导，那么f′(x)f^{\prime}(x)f′(x)就是区间III上的函数，称为f(x)f(x)f(x)在III上的导函数，简称导数

定理4.1 f(x)f(x)f(x)在x0x_0x0处可导，那么f(x)f(x)f(x)在x0x_0x0处连续

证：
f(x)f(x)f(x)在x0x_0x0处可导，那么极限lim⁡x→x0f(x)−f(x0)x−x0\lim_{x\to x_0}{\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}}x→x0limx−x0f(x)−f(x0)存在，而lim⁡x→x0(x−x0)=0\lim_{x\to x_0}{(x-x_0)}=0x→x0lim(x−x0)=0因此，就有lim⁡x→x0(f(x)−f(x0))=lim⁡x→x0f(x)−f(x0)x−x0(x−x0)=lim⁡x→x0f(x)−f(x0)x−x0.lim⁡x→x0(x−x0)=0\lim_{x\to x_0}{(f(x)-f(x_0))}=\lim_{x\to x_0}{\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}(x-x_0)}=\lim_{x\to x_0}{\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}}.\lim_{x\to x_0}{(x-x_0)}=0x→x0lim(f(x)−f(x0))=x→x0limx−x0f(x)−f(x0)(x−x0)=x→x0limx−x0f(x)−f(x0).x→x0lim(x−x0)=0因此，f(x)f(x)f(x)在x0x_0x0处连续

但连续函数不一定可导，甚至连续函数可能处处不可导。
定义4.2 f(x)f(x)f(x)在x0x_0x0的某个右(左)半邻域有定义，如果极限lim⁡x→x0+f(x)−f(x0)x−x0(lim⁡x→x0−f(x)−f(x0)x−x0)\lim_{x\to {x_0}^{+}}{\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}} (\lim_{x\to {x_0}^{-}}{\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}})x→x0+limx−x0f(x)−f(x0)(x→x0−limx−x0f(x)−f(x0))存在，f(x)f(x)f(x)在x0x_0x0处的右(左)导数存在，该极限值称为f(x)f(x)f(x)在x0x_0x0处的右(左)导数，记为f′+(x0)(f′−(x0))f^{\prime +}(x_0)(f^{\prime -}(x_0))f′+(x0)(f′−(x0))

根据左右极限和函数极限的关系，有
定理4.2 f(x)f(x)f(x)在x0x_0x0处可导的充分必要条件是f(x)f(x)f(x)在x0x_0x0处的左右导数存在且相等

下面，我们来证明导数的一些运算法则：
定理4.3
(1)f(x)f(x)f(x)和g(x)g(x)g(x)在x0x_0x0处可导，则f(x)+g(x)f(x)+g(x)f(x)+g(x)在x0x_0x0处可导，并且f(x)+g(x)f(x)+g(x)f(x)+g(x)在x0x_0x0处的导数为f′(x0)+g′(x0)f^{\prime}(x_0) +g^{\prime}(x_0)f′(x0)+g′(x0)
(2)f(x)f(x)f(x)在x0x_0x0处可导，则对任意的实数ccc，cf(x)cf(x)cf(x)在x0x_0x0处可导，并且cf(x)cf(x)cf(x)在x0x_0x0处的导数为cf′(x0)cf^{\prime}(x_0)cf′(x0)
(3)f(x)f(x)f(x)和g(x)g(x)g(x)在x0x_0x0处可导，则f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)在x0x_0x0处可导，并且f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)在x0x_0x0处的导数为f(x0)g′(x0)+f′(x0)g(x0)f(x_0)g^{\prime}(x_0)+f^{\prime}(x_0)g(x_0)f(x0)g′(x0)+f′(x0)g(x0)
(4)f(x)f(x)f(x)和g(x)g(x)g(x)在x0x_0x0处可导，并且g(x0)≠0g(x_0)\neq 0g(x0)=0，则f(x)g(x)\frac{f(x)}{g(x)}g(x)f(x)在x0x_0x0处可导，f(x)g(x)\frac{f(x)}{g(x)}g(x)f(x)在x0x_0x0处的导数为f′(x0)g(x0)−g′(x0)f(x0)g2(x0)\frac{f^{\prime}(x_0)g(x_0)-g^{\prime}(x_0)f(x_0)}{g^{2}(x_0)}g2(x0)f′(x0)g(x0)−g′(x0)f(x0)

证：
(1)(2)由极限的四则运算法则是显然的，仅证(3)(4)
(3)考察变化率f(x)g(x)−f(x0)g(x0)x−x0=f(x)g(x)−f(x0)g(x)+f(x0)g(x)−f(x0)g(x0)x−x0=g(x)f(x)−f(x0)x−x0+f(x0)g(x)−g(x0)x−x0\begin{aligned} \frac{ f(x)g(x) - f(x_0)g(x_0) }{ x-x_0 } =\frac{ f(x)g(x) - f(x_0)g(x) + f(x_0)g(x) - f(x_0)g(x_0) }{ x-x_0 }\\ =g(x)\frac{ f(x) - f(x_0) }{ x - x_0 } + f(x_0) \frac{ g(x)-g(x_0) }{x - x_0}\\ \end{aligned}x−x0f(x)g(x)−f(x0)g(x0)=x−x0f(x)g(x)−f(x0)g(x)+f(x0)g(x)−f(x0)g(x0)=g(x)x−x0f(x)−f(x0)+f(x0)x−x0g(x)−g(x0)再由g(x)g(x)g(x)在x0x_0x0处连续，令x→x0x\to x_0x→x0，即可证得结论
(4)先证明(1g(x))′(x0)=−g′(x0)g2(x0)(\frac{1}{g(x)})^{\prime}(x_0) =-\frac{ g^{\prime}(x_0) }{ g^{2}(x_0) } (g(x)1)′(x0)=−g2(x0)g′(x0)考察变化率函数1g(x)−1g(x0)x−x0=−g(x)−g(x0)g(x)g(x0)(x−x0)\begin{aligned} \frac{ \frac{1}{g(x)} - \frac{1}{g(x_0)} }{x-x_0} =-\frac{g(x)-g(x_0)}{ g(x)g(x_0)(x-x_0) } \end{aligned} x−x0g(x)1−g(x0)1=−g(x)g(x0)(x−x0)g(x)−g(x0)由g(x)g(x)g(x)的连续性及在x0x_0x0处的可导性，两边对x→x0x\to x_0x→x0取极限即可证得
在应用(3)的结论就可以证得(4)

复合函数也有相应的求导法则
定理4.4f(x)f(x)f(x)在x0x_0x0处可导，g(y)g(y)g(y)在y0=f(x0)y_0=f(x_0)y0=f(x0)处可导，则g(f(x))g(f(x))g(f(x))在x0x_0x0处可导，g(f(x))g(f(x))g(f(x))处导数为f′(x0)g′(f(x0))f^{\prime}(x_0)g^{\prime}(f(x_0))f′(x0)g′(f(x0))

证：
考察变化率函数g(f(x))−g(f(x0))x−x0\frac{ g(f(x))-g(f(x_0)) }{ x-x_0 } x−x0g(f(x))−g(f(x0))由于可能在每个x0x_0x0的去心邻域上，都可能存在xxx，f(x)=f(x0)f(x)=f(x_0)f(x)=f(x0)，
我们不能替换成：g(f(x))−g(f(x0))x−x0=g(f(x))−g(f(x0))f(x)−f(x0)f(x)−f(x0)x−x0\frac{ g(f(x))-g(f(x_0)) }{ x-x_0 } =\frac{ g(f(x))-g(f(x_0)) }{ f(x)-f(x_0) } \frac{ f(x)-f(x_0) }{ x-x_0 } x−x0g(f(x))−g(f(x0))=f(x)−f(x0)g(f(x))−g(f(x0))x−x0f(x)−f(x0)进行证明，实际上，对f(x)=f(x0)f(x)=f(x_0)f(x)=f(x0)的点，我们补充一个定义F(x)={g′(y0)f(x)=f(x0)g(f(x))−g(f(x0))f(x)−f(x0)f(x)≠f(x0)F(x)= \begin{cases} g^{\prime}(y_0)&f(x)=f(x_0)\\ \frac{ g(f(x))-g(f(x_0)) }{ f(x)-f(x_0) }& f(x)\neq f(x_0) \end{cases} F(x)={g′(y0)f(x)−f(x0)g(f(x))−g(f(x0))f(x)=f(x0)f(x)=f(x0)这样，g(f(x))−g(f(x0))=F(x)(f(x)−f(x0))g(f(x)) - g(f(x_0)) =F(x)(f(x)-f(x_0)) g(f(x))−g(f(x0))=F(x)(f(x)−f(x0))就有g(f(x))−g(f(x0))x−x0=F(x)f(x)−f(x0)x−x0\frac{ g(f(x)) - g(f(x_0)) }{x - x_0} =F(x) \frac{ f(x)-f(x_0) }{x-x_0} x−x0g(f(x))−g(f(x0))=F(x)x−x0f(x)−f(x0)而F(x)−F(x0)={0f(x)=f(x0)g(f(x))−g(y0)f(x)−y0−g′(y0)f(x)≠f(x0)F(x)-F(x_0)= \begin{cases} 0 & f(x)=f(x_0)\\ \frac{ g(f(x))-g(y_0) }{ f(x)-y_0} -g^{\prime}(y_0) & f(x)\neq f(x_0) \end{cases} F(x)−F(x0)={0f(x)−y0g(f(x))−g(y0)−g′(y0)f(x)=f(x0)f(x)=f(x0)∀ε>0\forall \varepsilon>0∀ε>0,∃δ1>0\exists \delta_1>0∃δ1>0，0<∣y−y0∣<δ10<|y-y_0|<\delta_10<∣y−y0∣<δ1时，∣g(y)−g(y0)y−y0−g′(y0)∣<ε|\frac{g(y)-g(y_0)}{y-y_0} - g^{\prime}(y_0)|<\varepsilon ∣y−y0g(y)−g(y0)−g′(y0)∣<ε∃δ2>0\exists \delta_2>0∃δ2>0,0<∣x−x0∣<δ20<|x-x_0|<\delta_20<∣x−x0∣<δ2时，∣f(x)−y0∣<δ1|f(x)-y_0|<\delta_1∣f(x)−y0∣<δ1
如果f(x)≠y0f(x)\neq y_0f(x)=y0∣g(f(x))−g(y0)f(x)−y0−g′(y0)∣<ε|\frac{g(f(x))-g(y_0)}{f(x)-y_0} - g^{\prime}(y_0)|<\varepsilon ∣f(x)−y0g(f(x))−g(y0)−g′(y0)∣<ε综上，0<∣x−x0∣<δ20<|x-x_0|<\delta_20<∣x−x0∣<δ2都有∣F(x)−F(x0)∣<ε|F(x)-F(x_0)|<\varepsilon∣F(x)−F(x0)∣<ε成立，F(x)F(x)F(x)在x0x_0x0处连续。对(\ref{eq6})两边取极限，就可以证得结论

定理4.5 f(x)f(x)f(x)在x0x_0x0附近上严格单调并在x0x_0x0可导，f′(x0)≠0f^{\prime}(x_0)\neq 0f′(x0)=0，则反函数f−1(y)f^{-1}(y)f−1(y)在y0=f(x0)y_0=f(x_0)y0=f(x0)也可导，并且f−1′(y0)=1f′(x0)f^{-1 \prime}(y_0) = \frac{1}{f^{\prime}(x_0)}f−1′(y0)=f′(x0)1

证：
考察变化率函数f−1(y)−f−1(y0)y−y0=1y−y0f−1(y)−f−1(y0)=1f(f−1(y))−f(f−1(y0))f−1(y)−f−1(y0)\frac{ f^{-1}(y)-f^{-1}(y_0) }{y-y_0} =\frac{1} { \frac{y-y_0}{ f^{-1}(y)-f^{-1}(y_0) } }\\ =\frac{1} { \frac{ f(f^{-1}(y))-f(f^{-1}(y_0)) }{ f^{-1}(y)-f^{-1}(y_0) } } y−y0f−1(y)−f−1(y0)=f−1(y)−f−1(y0)y−y01=f−1(y)−f−1(y0)f(f−1(y))−f(f−1(y0))1而lim⁡y→y0f(f−1(y))−f(f−1(y0))f−1(y)−f−1(y0)=f′(f−1(y0))\lim_{y\to y_0}{ \frac{ f(f^{-1}(y))-f(f^{-1}(y_0)) }{ f^{-1}(y)-f^{-1}(y_0) } } =f^{\prime}(f^{-1}(y_0)) y→y0limf−1(y)−f−1(y0)f(f−1(y))−f(f−1(y0))=f′(f−1(y0))两边取极限可以证得结论

初等函数的导数

例4.1 (sin⁡x)′=cos⁡x(\sin{x})^{\prime} = \cos{x}(sinx)′=cosx

证：
lim⁡Δx→0sin⁡(x+Δx)−sin⁡xΔx=lim⁡Δx→0sin⁡Δxcos⁡x+cos⁡Δxsin⁡x−sin⁡xΔx=lim⁡Δx→0sin⁡Δxcos⁡x+sin⁡x(cos⁡Δx−1)Δx=cos⁡xlim⁡Δx→0sin⁡ΔxΔx+sin⁡xlim⁡Δx→0cos⁡Δx−1Δx=cos⁡x\begin{aligned} \lim_{\Delta x \to 0} { \frac { \sin{(x+\Delta x)} - \sin{x} } {\Delta x} } =\lim_{\Delta x \to 0}{ \frac{ \sin{\Delta x}\cos{x} + \cos{\Delta x}\sin{x} - \sin{x} } {\Delta x} }\\ =\lim_{\Delta x \to 0}{ \frac{ \sin{\Delta x}\cos{x} +\sin{x}(\cos{\Delta x}-1) } {\Delta x} } =\cos{x}\lim_{\Delta x \to 0}{ \frac{\sin{\Delta x}} {\Delta x} }+\sin{x}\lim_{\Delta x \to 0}{ \frac{\cos{\Delta x}-1} {\Delta x} } =\cos{x} \end{aligned} Δx→0limΔxsin(x+Δx)−sinx=Δx→0limΔxsinΔxcosx+cosΔxsinx−sinx=Δx→0limΔxsinΔxcosx+sinx(cosΔx−1)=cosxΔx→0limΔxsinΔx+sinxΔx→0limΔxcosΔx−1=cosx

例4.2 (cos⁡x)′=−sin⁡x(\cos{x})^{\prime} = -\sin{x}(cosx)′=−sinx

证：
lim⁡Δx→0cos⁡x+Δx−cos⁡xΔx=cos⁡xlim⁡Δx→0cos⁡Δx−1Δx−sin⁡xlim⁡Δx→0sin⁡ΔxΔx=−sin⁡x\begin{aligned} \lim_{\Delta x\to 0}{ \frac{\cos{x+\Delta x}-\cos{x}} {\Delta x} } =\cos{x}\lim_{\Delta x\to 0}{ \frac{\cos{\Delta x}-1} {\Delta x} }-\sin{x}\lim_{\Delta x\to 0}{ \frac{\sin{\Delta x}} {\Delta x} } =-\sin{x} \end{aligned}Δx→0limΔxcosx+Δx−cosx=cosxΔx→0limΔxcosΔx−1−sinxΔx→0limΔxsinΔx=−sinx

这样，其他三角函数的导数也可以求出来：
例4.3
(tan⁡x)′=(sin⁡xcos⁡x)′=(sin⁡x)′cos⁡x−(cos⁡x)′sin⁡xcos⁡2x=1cos⁡2x(\tan{x})^{\prime}=( \frac{\sin{x}} {\cos{x}} )^{\prime}= \frac{ (\sin{x})^{\prime}\cos{x} -(\cos{x})^{\prime}\sin{x} } {\cos^{2}x}= \frac{1} {\cos^{2}x}(tanx)′=(cosxsinx)′=cos2x(sinx)′cosx−(cosx)′sinx=cos2x1
例4.4
(arcsin⁡x)′=1cos⁡arcsin⁡x=11−sin⁡2arcsin⁡x=11−x2(\arcsin{x})^{\prime}=\frac{1} {\cos{\arcsin{x}}} =\frac{1} {\sqrt{1-\sin^2{\arcsin{x}}}} =\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} (arcsinx)′=cosarcsinx1=1−sin2arcsinx1=1−x21同样地，有(arccos⁡x)′=−11−x2(\arccos{x})^{\prime} = -\frac{1} {\sqrt{1-x^2}} (arccosx)′=−1−x21

例4.5 由三角函数等式：1+tan⁡2x=sec⁡2x=1cos⁡2x1+\tan^2{x}=\sec^2{x}=\frac{1} {\cos^2{x}} 1+tan2x=sec2x=cos2x1(arctan⁡x)′=1tan⁡′(arctan⁡x)=cos⁡2(arctan⁡x)=11+tan⁡2arctan⁡x=11+x2(\arctan{x})^{\prime} = \frac{1} {\tan^{\prime}(\arctan{x})} =\cos^2(\arctan{x})= \frac{1} {1+\tan^2{\arctan{x}}} =\frac{1}{1+x^2}(arctanx)′=tan′(arctanx)1=cos2(arctanx)=1+tan2arctanx1=1+x21

这样，三角函数和反三角函数的导数都是有解析表达式的。
例4.6 指数函数的导数：(ax)′=axln⁡a(a^x)^\prime = a^x\ln{a} (ax)′=axlna对数函数的导数：(log⁡ax)′=1xln⁡a(\log_{a}{x})^{\prime} = \frac{1}{x\ln{a}} (logax)′=xlna1

证：
lim⁡Δx→0ax+Δx−axΔx=axlim⁡Δx→0aΔx−1Δx=axlim⁡Δx→0eΔxln⁡a−1Δx=axlim⁡Δx→0Δxln⁡aΔx=axln⁡a\lim_{\Delta x \to 0}{ \frac{a^{x+\Delta x}-a^x} {\Delta x} }=a^x\lim_{\Delta x \to 0}{ \frac{a^{\Delta x}-1} {\Delta x} } =a^x\lim_{\Delta x \to 0}{ \frac{e^{\Delta x\ln{a}}-1} {\Delta x} }=a^x\lim_{\Delta x \to 0}{ \frac{\Delta x\ln{a}} {\Delta x} }=a^x\ln{a} Δx→0limΔxax+Δx−ax=axΔx→0limΔxaΔx−1=axΔx→0limΔxeΔxlna−1=axΔx→0limΔxΔxlna=axlna从而对数的函数的导数为(log⁡ax)′=1alog⁡axln⁡a=1xln⁡a(\log_{a}{x})^{\prime} = \frac{1} {a^{\log_{a}{x}}\ln{a} } = \frac{1}{x\ln{a}} (logax)′=alogaxlna1=xlna1特别地，(ex)′=ex(e^x)^\prime = e^x (ex)′=ex(ln⁡x)′=1x(\ln{x})^{\prime} = \frac{1}{x} (lnx)′=x1

例4.6 幂函数的导数：x>0x>0x>0时，(xα)′=αxα−1(x^\alpha)^\prime = \alpha x^{\alpha -1}(xα)′=αxα−1

证：
lim⁡Δx→0(x+Δx)α−xαΔx=xαlim⁡Δx→0(1+Δxx)α−1Δx=xαlim⁡Δx→0αΔxxΔx=αxα−1\lim_{\Delta x\to 0}{ \frac{(x+\Delta x)^\alpha - x^\alpha} {\Delta x} }= x^{\alpha}\lim_{\Delta x \to 0}{ \frac{ (1+\frac{\Delta x}{x})^\alpha -1 } {\Delta x} }=x^\alpha \lim_{\Delta x\to 0}{ \frac{\alpha \frac{\Delta x}{x}} {\Delta x} }=\alpha x^{\alpha -1} Δx→0limΔx(x+Δx)α−xα=xαΔx→0limΔx(1+xΔx)α−1=xαΔx→0limΔxαxΔx=αxα−1

微分与导数的关系

导数有着明确的几何意义，有了导数，我们就可以在局部，把一个复杂的函数视为是线性函数。
定义4.2f(x)f(x)f(x)在x0x_0x0附近有定义，如果f(x)f(x)f(x)在x0x_0x0附近可表为f(x)=f(x0)+AΔx+o(Δx)f(x)=f(x_0)+A\Delta x + o(\Delta x)f(x)=f(x0)+AΔx+o(Δx)其中，Δx=x−x0\Delta x = x - x_0Δx=x−x0，AAA是与xxx无关的常数，则称f(x)f(x)f(x)在x0x_0x0处可微，线性函数df(x)=AΔxdf(x)=A\Delta xdf(x)=AΔx称为是f(x)f(x)f(x)在x0x_0x0处的微分

如果f(x)f(x)f(x)在x0x_0x0处可微，当Δx\Delta xΔx足够小时，就可以近似地认为f(x)≈f(x0)+AΔxf(x)\approx f(x_0)+A\Delta xf(x)≈f(x0)+AΔx
定理4.6 f(x)f(x)f(x)在x0x_0x0处可微的充要条件是f(x)f(x)f(x)在x0x_0x0处可导，并且df(x)=f′(x0)Δxdf(x) = f^{\prime}(x_0)\Delta xdf(x)=f′(x0)Δx

我们称y=f(x0)+f′(x0)(x−x0)y=f(x_0)+f^{\prime}(x_0)(x-x_0)y=f(x0)+f′(x0)(x−x0)是曲线y=f(x)y=f(x)y=f(x)在x0x_0x0处的切线，那么导数f′(x0)f^{\prime}(x_0)f′(x0)就是切线的斜率。

证：
必要性，如果f(x)f(x)f(x)在x0x_0x0处可微，有f(x)−f(x0)=A(x−x0)+o(x−x0)f(x)-f(x_0)=A(x-x_0)+o(x-x_0) f(x)−f(x0)=A(x−x0)+o(x−x0)两边除以x−x0x-x_0x−x0，再令x→x0x\to x_0x→x0，就有A=f′(x0)A=f^{\prime}(x_0)A=f′(x0)
充分性，如果f(x)f(x)f(x)在x0x_0x0处可导，则f(x)−f(x0)x−x0−f′(x0)\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} - f^{\prime}(x_0)x−x0f(x)−f(x0)−f′(x0)是x→x0x\to x_0x→x0过程的无穷小量，即f(x)−f(x0)x−x0−f′(x0)=α\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} - f^{\prime}(x_0) = \alpha x−x0f(x)−f(x0)−f′(x0)=α其中，α\alphaα是x→x0x\to x_0x→x0过程的无穷小量，就可以得到f(x)−f(x0)=f′(x0)(x−x0)+(x−x0)α=f′(x0)(x−x0)+o(x−x0)f(x)-f(x_0)=f^{\prime}(x_0)(x-x_0)+(x-x_0)\alpha =f^{\prime}(x_0)(x-x_0)+o(x-x_0)f(x)−f(x0)=f′(x0)(x−x0)+(x−x0)α=f′(x0)(x−x0)+o(x−x0)

高阶导数

同样地，我们可以定义导数的导数，导数的导数的导数，⋯\cdots⋯。记f(k)f^{(k)}f(k)为k阶导数，表示对f(x)f(x)f(x)求k次导数。高阶导数的计算常常要使用数学归纳法，下面我们给出若干例子。
例4.7 f(x),g(x)f(x),g(x)f(x),g(x)对x0x_0x0有直到nnn阶导数，则(fg)(n)=∑k=0nCnkf(k)g(n−k)(fg)^{(n)} = \sum_{k=0}^{n}{C_n^k f^{(k)}g^{(n-k)}}(fg)(n)=k=0∑nCnkf(k)g(n−k)

证：
用数学归纳法证明：首先n=1n=1n=1时结论是成立的。
假设n=mn=mn=m时结论是成立的。即如果f(x),g(x)f(x),g(x)f(x),g(x)对x0x_0x0有直到mmm阶导数，则(fg)(m)=∑k=0mCmkf(k)g(m−k)(fg)^{(m)} = \sum_{k=0}^{m}{C_m^k f^{(k)}g^{(m-k)}}(fg)(m)=k=0∑mCmkf(k)g(m−k)假设f(x),g(x)f(x),g(x)f(x),g(x)对x0x_0x0有直到m+1m+1m+1阶导数，那么(fg)(m)=∑k=0mCmkf(k)g(m−k)(fg)^{(m)} = \sum_{k=0}^{m}{C_m^k f^{(k)}g^{(m-k)}} (fg)(m)=k=0∑mCmkf(k)g(m−k)于是有(fg)(m+1)=((fg)(m))′=∑k=0mCmk(f(k+1)g(m−k)+f(k)g(m−k+1))=∑k=1m+1Cmk−1f(k)g(m−k+1)+∑k=0mCmkf(k)g(m−k+1)=Cm0f(0)g(m+1)+Cmmf(m+1)g(0)+∑k=1m(Cmk+Cmk−1)f(k)g(m−k+1)=Cm+10f(0)g(m+1)+Cm+1m+1f(m+1)g(0)+∑k=1mCm+1kf(k)g(m−k+1)(fg)^{(m+1)}=((fg)^{(m)})^{\prime} =\sum_{k=0}^{m}{C_m^k (f^{(k+1)}g^{(m-k)} + f^{(k)}g^{(m-k+1)})}\\ =\sum_{k=1}^{m+1}{C_m^{k-1} f^{(k)}g^{(m-k+1)}} +\sum_{k=0}^{m}{C_m^k f^{(k)}g^{(m-k+1)}}\\ =C_m^0 f^{(0)}g^{(m+1)}+C_m^m f^{(m+1)}g^{(0)} +\sum_{k=1}^{m}{(C_m^k+C_m^{k-1}) f^{(k)}g^{(m-k+1)}}\\ =C_{m+1}^0 f^{(0)}g^{(m+1)}+C_{m+1}^{m+1} f^{(m+1)}g^{(0)} +\sum_{k=1}^{m}{C_{m+1}^k f^{(k)}g^{(m-k+1)}} (fg)(m+1)=((fg)(m))′=k=0∑mCmk(f(k+1)g(m−k)+f(k)g(m−k+1))=k=1∑m+1Cmk−1f(k)g(m−k+1)+k=0∑mCmkf(k)g(m−k+1)=Cm0f(0)g(m+1)+Cmmf(m+1)g(0)+k=1∑m(Cmk+Cmk−1)f(k)g(m−k+1)=Cm+10f(0)g(m+1)+Cm+1m+1f(m+1)g(0)+k=1∑mCm+1kf(k)g(m−k+1)由数学归纳法，对任意的n≥1n\ge 1n≥1等式都成立。

例4.7的公式称为莱布尼兹公式。另外，由导数的线性性质，高阶导数也是线性运算。
例4.8 由归纳法同样可以证明：(cos⁡x)(k)=cos⁡(x+kπ2)(\cos{x})^{(k)}=\cos{(x+\frac{k\pi}{2})} (cosx)(k)=cos(x+2kπ)(sin⁡x)(k)=sin⁡(x+kπ2)(\sin{x})^{(k)}=\sin{(x+\frac{k\pi}{2})} (sinx)(k)=sin(x+2kπ)

例4.9 求arctan⁡x\arctan{x}arctanx的nnn阶导数

解：令y(x)=arctan⁡xy(x)=\arctan{x}y(x)=arctanx，由反函数的求导法则，有y(1)(x)=cos⁡2y(x)y^{(1)}(x)=\cos^2{y(x)}y(1)(x)=cos2y(x)由复合函数求导法则，再求二阶导：y(2)(x)=−2sin⁡y(x)cos⁡3y(x)=−cos⁡2y(x)sin⁡2y(x)y^{(2)}(x) =-2\sin{y(x)}\cos^3{y(x)}=-\cos^2{y(x)}\sin{2y(x)} y(2)(x)=−2siny(x)cos3y(x)=−cos2y(x)sin2y(x)再求三阶导y(3)(x)=−y′(x)[−2cos⁡y(x)sin⁡y(x)sin⁡2y(x)+2cos⁡2y(x)cos⁡2y(x)]=−2cos⁡y(x)y′(x)cos⁡3y(x)=−2cos⁡3y(x)cos⁡3y(x)y^{(3)}(x) =-y^{\prime}(x) [-2\cos{y(x)}\sin{y(x)}\sin{2y(x)}+2\cos^2{y(x)}\cos{2y(x)}]\\ =-2\cos{y(x)}y^{\prime}(x)\cos{3y(x)} =-2\cos^3{y(x)}\cos{3y(x)} y(3)(x)=−y′(x)[−2cosy(x)siny(x)sin2y(x)+2cos2y(x)cos2y(x)]=−2cosy(x)y′(x)cos3y(x)=−2cos3y(x)cos3y(x)再求多一阶导就可以发现规律y(4)(x)=−2y′(x)[−3cos⁡2y(x)sin⁡y(x)cos⁡3y(x)−3cos⁡3y(x)sin⁡3y(x)]=6cos⁡4y(x)sin⁡4y(x)y^{(4)}(x) =-2y^{\prime}(x) [-3\cos^2{y(x)}\sin{y(x)}\cos{3y(x)}-3\cos^3{y(x)}\sin{3y(x)}]\\ =6\cos^4{y(x)}\sin{4y(x)}y(4)(x)=−2y′(x)[−3cos2y(x)siny(x)cos3y(x)−3cos3y(x)sin3y(x)]=6cos4y(x)sin4y(x)
猜想：y(k)(x)=(k−1)!cos⁡ky(x)sin⁡(ky(x)+kπ2)y^{(k)}(x)=(k-1)!\cos^k{y(x)}\sin{(ky(x)+\frac{k\pi}{2})}y(k)(x)=(k−1)!cosky(x)sin(ky(x)+2kπ)再用数学归纳法证明即可。

微分中值定理

三大微分中值定理

接下来我们转为讨论闭区间上连续，开区间上可导的函数，首先，我们要给出一个引理。
引理4.1 f(x)f(x)f(x)在x0x_0x0处取得极大值(极小值)，并且在x0x_0x0处导数存在，则f′(x0)=0f^{\prime}(x_0)=0f′(x0)=0

证：
由f(x)f(x)f(x)在x0x_0x0处取得极大值，存在一个x0x_0x0的邻域B(x0,δ)B(x_0,\delta)B(x0,δ)，对任意的x∈B(x0,δ)x\in B(x_0,\delta)x∈B(x0,δ)，有f(x)−f(x0)≤0f(x)-f(x_0)\le 0f(x)−f(x0)≤0当x>x0x> x_0x>x0时，f(x)−f(x0)x−x0≤0\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} \le 0x−x0f(x)−f(x0)≤0从而lim⁡x→x0+f(x)−f(x0)x−x0=f′(x0)≤0\lim_{x\to x_0^+}{\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}} =f^{\prime}(x_0) \le 0x→x0+limx−x0f(x)−f(x0)=f′(x0)≤0同理，有lim⁡x→x0−f(x)−f(x0)x−x0=f′(x0)≥0\lim_{x\to x_0^-}{\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}} =f^{\prime}(x_0) \ge 0x→x0−limx−x0f(x)−f(x0)=f′(x0)≥0因此,f′(x0)=0f^{\prime}(x_0)=0f′(x0)=0

定理4.7（罗尔定理）f(x)f(x)f(x)在闭区间[a,b][a,b][a,b]上连续，开区间(a,b)(a,b)(a,b)上可导，如果f(a)=f(b)f(a)=f(b)f(a)=f(b)，则存在ξ∈(a,b)\xi \in (a,b)ξ∈(a,b),f′(ξ)=0f^{\prime}(\xi)=0f′(ξ)=0

证：
如果∀x∈(a,b)\forall x \in (a,b)∀x∈(a,b),f(x)=f(a)=f(b)f(x)=f(a)=f(b)f(x)=f(a)=f(b)，那么f(x)f(x)f(x)在(a,b)(a,b)(a,b)上是常数函数，那么结论显然是成立
设MMM是f(x)f(x)f(x)在[a,b][a,b][a,b]上的最大值，mmm是f(x)f(x)f(x)在[a,b][a,b][a,b]上的最小值，那么不妨设m<Mm<Mm<M，M=f(x1),m=f(x2)M=f(x_1),m=f(x_2)M=f(x1),m=f(x2)，同时，x1,x2x_1,x_2x1,x2至少有一个不为端点，设x1x_1x1不为端点，那么，x1x_1x1是f(x)f(x)f(x)的一个极值点，那么x1x_1x1就满足条件

我们可以从图中直观地感受罗尔定理：

由图示，如果[a,b][a,b][a,b]上的连续函数在两边是相等的，那么，最值一定在中间(a,b)(a,b)(a,b)取得，而最值点导数就为0，将罗尔定理“旋转”一下，就得到拉格朗日中值定理。

定理4.8 f(x)f(x)f(x)在[a,b][a,b][a,b]上连续，(a,b)(a,b)(a,b)上可导，则存在ξ∈(a,b)\xi \in (a,b)ξ∈(a,b)，f′(ξ)=f(b)−f(a)b−af^{\prime}(\xi) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}f′(ξ)=b−af(b)−f(a)
在证明之前，我们先直观地看拉格朗日中值定理的几何意义。

f(b)−f(a)b−a\frac{f(b)-f(a)}{b-a}b−af(b)−f(a)是过A(a,f(a)),B(b,f(b))A(a,f(a)),B(b,f(b))A(a,f(a)),B(b,f(b))两点直线的斜率，实际上，将坐标轴旋转，使得xxx轴与该直线平行，在这个角度看f(x)f(x)f(x)，f(a)=f(b)f(a)=f(b)f(a)=f(b)，因此，我们可以认为拉格朗日中值定理是在另一个坐标轴视角下的罗尔定理。

证：
令F(x)=f(x)−f(a)−f(b)−f(a)b−a(x−a)F(x)=f(x)-f(a)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a} (x-a)F(x)=f(x)−f(a)−b−af(b)−f(a)(x−a)，F(b)=F(a)=0F(b)=F(a)=0F(b)=F(a)=0，由罗尔定理，存在ξ∈(a,b)\xi \in (a,b)ξ∈(a,b)，F′(ξ)=f′(ξ)−f(b)−f(a)b−a=0F^{\prime}(\xi)=f^{\prime}(\xi)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=0F′(ξ)=f′(ξ)−b−af(b)−f(a)=0

为了介绍柯西中值定理，我们首先介绍函数的参数方程形式，实际上，对于一条曲线y=f(x)y=f(x)y=f(x)，除了以函数形式表示该曲线，还可以令{x=ty=f(t)\begin{cases} x=t\\ y=f(t) \end{cases} {x=ty=f(t)来表示该条曲线。更一般地，f(t),g(t)f(t),g(t)f(t),g(t)是[a,b][a,b][a,b]上的连续，(a,b)(a,b)(a,b)上可导的函数，{x=f(t)y=g(t)\begin{cases} x=f(t)\\ y=g(t) \end{cases} {x=f(t)y=g(t)就表示平面上的一条曲线，进一步地，我们要求f(t)f(t)f(t)的导数不为0，那么f(t)f(t)f(t)的导数只能恒为正或恒为负。这可由达布中值定理证明。
定理4.9 f(x)f(x)f(x)在[a,b][a,b][a,b]上连续，(a,b)(a,b)(a,b)上可导，如果存在两点x1,x2∈(a,b)x_1,x_2\in (a,b)x1,x2∈(a,b)，f′(x1)=A<f′(x2)=Bf^{\prime}(x_1)=A<f^{\prime}(x_2)=Bf′(x1)=A<f′(x2)=B，那么对任意的τ∈(A,B)\tau \in (A,B)τ∈(A,B)，存在介于x1x_1x1和x2x_2x2之间的ξ\xiξ，f′(ξ)=τf^{\prime}(\xi)=\tauf′(ξ)=τ

证：
不妨设x1<x2x_1<x_2x1<x2，将f(x)f(x)f(x)限制在[x1,x2][x_1,x_2][x1,x2]之间，令
g(x)=f(x)−τxg(x)=f(x)-\tau xg(x)=f(x)−τx则g′(x1)<0,g′(x2)>0g^{\prime}(x_1)<0,g^{\prime}(x_2)>0g′(x1)<0,g′(x2)>0由极限的局部保号性，∃δ1>0\exists \delta_1>0∃δ1>0，x1<x<x1+δ1x_1<x<x_1+\delta_1x1<x<x1+δ1时g(x)−g(x1)x−x1<0\frac{g(x)-g(x_1)} {x-x_1}<0 x−x1g(x)−g(x1)<0从而，g(x)<g(x1)g(x)<g(x_1)g(x)<g(x1)，x1x_1x1不是g(x)g(x)g(x)在[x1,x2][x_1,x_2][x1,x2]上的最小值点。同样x2x_2x2也不是g(x)g(x)g(x)在[x1,x2][x_1,x_2][x1,x2]上的最小值点。设ξ\xiξ是g(x)g(x)g(x)在[x1,x2][x_1,x_2][x1,x2]上的最小值点，则x1<ξ<x2x_1<\xi<x_2x1<ξ<x2，则
g′(ξ)=f′(ξ)−τ=0g^{\prime}(\xi)=f^{\prime}(\xi)-\tau=0g′(ξ)=f′(ξ)−τ=0

不妨设f′(x)>0(x∈(a,b))f^{\prime}(x)>0(x\in(a,b))f′(x)>0(x∈(a,b))，由拉格朗日中值定理，f(x)f(x)f(x)在[a,b][a,b][a,b]上严格单调上升，这样f(t)f(t)f(t)就存在反函数，t=f−1(x)t=f^{-1}(x)t=f−1(x)，这样，就有y=g(f−1(x))y=g(f^{-1}(x))y=g(f−1(x))，就把参数方程化为函数形式，由复合函数求导法则：dydx=f−1′(x)g′(t)=1f′(t)g′(t)=g′(t)f′(t)\frac{dy}{dx}=f^{-1\prime}(x)g^{\prime}(t) =\frac{1}{f^{\prime}(t)}g^{\prime}(t) =\frac{g^{\prime}(t)}{f^{\prime}(t)} dxdy=f−1′(x)g′(t)=f′(t)1g′(t)=f′(t)g′(t)过参数方程曲线两端的直线斜率应当为g(b)−g(a)f(b)−f(a)\frac{g(b)-g(a)}{f(b)-f(a)} f(b)−f(a)g(b)−g(a)按拉格朗日中值定理的观点，应当存在ξ∈(a,b)\xi\in(a,b)ξ∈(a,b)，满足
g(b)−g(a)f(b)−f(a)=g′(ξ)f′(ξ)\frac{g(b)-g(a)}{f(b)-f(a)} = \frac{g^\prime(\xi)}{f^\prime(\xi)} f(b)−f(a)g(b)−g(a)=f′(ξ)g′(ξ)这就是柯西中值定理。
定理4.10 f(t),g(t)f(t),g(t)f(t),g(t)在[a,b][a,b][a,b]上连续，(a,b)(a,b)(a,b)上可导，并且f(t)f(t)f(t)导数不为0，则存在ξ∈(a,b)\xi\in(a,b)ξ∈(a,b)，满足g(b)−g(a)f(b)−f(a)=g′(ξ)f′(ξ)\frac{g(b)-g(a)}{f(b)-f(a)} = \frac{g^\prime(\xi)}{f^\prime(\xi)}f(b)−f(a)g(b)−g(a)=f′(ξ)g′(ξ)

证：
令F(x)=g(x)−g(a)−g(b)−g(a)f(b)−f(a)(f(x)−f(a))F(x) = g(x)-g(a)-\frac{g(b)-g(a)}{f(b)-f(a)}(f(x)-f(a))F(x)=g(x)−g(a)−f(b)−f(a)g(b)−g(a)(f(x)−f(a))，F(b)=F(a)=0F(b)=F(a)=0F(b)=F(a)=0，在应用罗尔定理即可证得结论

洛必达法则

柯西中值定理提供了一种计算极限的简化方式。
定理4.11（洛必达法则1） f(x),g(x)f(x),g(x)f(x),g(x)在x0x_0x0的某个右半去心邻域(左半去心邻域)上可导，并且满足：
(1)lim⁡x→x0+f(x)=lim⁡x→x0+g(x)=0\lim_{x\to x_0^+}{f(x)}=\lim_{x\to x_0^+}{g(x)} = 0limx→x0+f(x)=limx→x0+g(x)=0(lim⁡x→x0−f(x)=lim⁡x→x0−g(x)=0\lim_{x\to x_0^-}{f(x)}=\lim_{x\to x_0^-}{g(x)} = 0limx→x0−f(x)=limx→x0−g(x)=0)
(2)g(x)g(x)g(x)在该邻域内导数恒不为0
(3)lim⁡x→x0+f′(x)g′(x)=A\lim_{x\to x_0^+}{\frac{f^\prime(x)}{g^\prime(x)}}=Alimx→x0+g′(x)f′(x)=A(lim⁡x→x0−f′(x)g′(x)=A\lim_{x\to x_0^-}{\frac{f^\prime(x)}{g^\prime(x)}}=Alimx→x0−g′(x)f′(x)=A)
则lim⁡x→x0+f(x)g(x)=A\lim_{x\to x_0^+}{\frac{f(x)}{g(x)}}=Alimx→x0+g(x)f(x)=A(lim⁡x→x0−f(x)g(x)=A\lim_{x\to x_0^-}{\frac{f(x)}{g(x)}}=Alimx→x0−g(x)f(x)=A)

证：
仅证右极限情形，左极限是类似的，补充定义f(x0)=g(x0)=0f(x_0)=g(x_0)=0f(x0)=g(x0)=0，对该邻域内的一点xxx，有f(x)g(x)=f(x)−f(x0)g(x)−g(x0)=f′(ξ)g′(ξ)(ξ∈(x0,x))\frac{f(x)}{g(x)} =\frac{f(x)-f(x_0)}{g(x)-g(x_0)} =\frac{f^{\prime}(\xi)}{g^{\prime}(\xi)} (\xi \in (x_0,x)) g(x)f(x)=g(x)−g(x0)f(x)−f(x0)=g′(ξ)f′(ξ)(ξ∈(x0,x))令x0→xx_0\to xx0→x即可

对x→∞x\to\inftyx→∞，也有类似的结论。
定理4.12（洛必达法则2） f(x),g(x)f(x),g(x)f(x),g(x)在(a,+∞)((−∞,a))(a,+\infty)((-\infty,a))(a,+∞)((−∞,a))可导，并且满足：
(1)lim⁡x→+∞f(x)=lim⁡x→+∞g(x)=0(lim⁡x→−∞f(x)=lim⁡x→−∞g(x)=0)\lim_{x\to +\infty}{f(x)}=\lim_{x\to +\infty}{g(x)}=0(\lim_{x\to -\infty}{f(x)}=\lim_{x\to -\infty}{g(x)}=0)limx→+∞f(x)=limx→+∞g(x)=0(limx→−∞f(x)=limx→−∞g(x)=0)
(2)g(x)g(x)g(x)在(a,+∞)((−∞,a))(a,+\infty)((-\infty,a))(a,+∞)((−∞,a))上导数恒不为0
(3)lim⁡x→+∞f′(x)g′(x)=A\lim_{x\to +\infty}{\frac{f^\prime(x)}{g^\prime(x)}}=Alimx→+∞g′(x)f′(x)=A(lim⁡x→−∞f′(x)g′(x)=A\lim_{x\to -\infty}{\frac{f^\prime(x)}{g^\prime(x)}}=Alimx→−∞g′(x)f′(x)=A)
则lim⁡x→+∞f(x)g(x)=A\lim_{x\to +\infty}{\frac{f(x)}{g(x)}}=Alimx→+∞g(x)f(x)=A(lim⁡x→−∞f(x)g(x)=A\lim_{x\to-\infty}{\frac{f(x)}{g(x)}}=Alimx→−∞g(x)f(x)=A)

证：
令F(t)=f(1t),G(t)=g(1t)F(t)=f(\frac{1}{t}),G(t)=g(\frac{1}{t})F(t)=f(t1),G(t)=g(t1)，补充定义F(0)=G(0)=0F(0)=G(0)=0F(0)=G(0)=0，则lim⁡t→0+F(t)G(t)=lim⁡t→0+F′(t)G′(t)=lim⁡t→0+f′(1t)(−1t2)g′(1t)(−1t2)=lim⁡t→0+f′(1t)g′(1t)=A\lim_{t\to 0^+}{F(t)}{G(t)}= \lim_{t\to 0^+}{F^{\prime}(t)}{G^{\prime}(t)} =\lim_{t\to 0^+}{ \frac{ f^\prime(\frac{1}{t}) (-\frac{1}{t^2}) } { g^\prime(\frac{1}{t}) (-\frac{1}{t^2}) } } =\lim_{t\to 0^+}{ \frac{ f^\prime(\frac{1}{t}) } { g^\prime(\frac{1}{t}) } } =At→0+limF(t)G(t)=t→0+limF′(t)G′(t)=t→0+limg′(t1)(−t21)f′(t1)(−t21)=t→0+limg′(t1)f′(t1)=A

对∞/∞\infty/\infty∞/∞型极限，也有相应的洛必达法则
定理4.13（洛必达法则3） f(x),g(x)f(x),g(x)f(x),g(x)在x0x_0x0的某个右半去心邻域(左半去心邻域)上可导，并且满足：
(1)lim⁡x→x0+f(x)=lim⁡x→x0+g(x)=∞\lim_{x\to x_0^+}{f(x)}=\lim_{x\to x_0^+}{g(x)} = \inftylimx→x0+f(x)=limx→x0+g(x)=∞(lim⁡x→x0−f(x)=lim⁡x→x0−g(x)=∞\lim_{x\to x_0^-}{f(x)}=\lim_{x\to x_0^-}{g(x)} = \inftylimx→x0−f(x)=limx→x0−g(x)=∞)
(2)g(x)g(x)g(x)在该邻域内导数恒不为0
(3)lim⁡x→x0+f′(x)g′(x)=A\lim_{x\to x_0^+}{\frac{f^\prime(x)}{g^\prime(x)}}=Alimx→x0+g′(x)f′(x)=A(lim⁡x→x0−f′(x)g′(x)=A\lim_{x\to x_0^-}{\frac{f^\prime(x)}{g^\prime(x)}}=Alimx→x0−g′(x)f′(x)=A)
则lim⁡x→x0+f(x)g(x)=A\lim_{x\to x_0^+}{\frac{f(x)}{g(x)}}=Alimx→x0+g(x)f(x)=A (lim⁡x→x0−f(x)g(x)=A\lim_{x\to x_0^-}{\frac{f(x)}{g(x)}}=Alimx→x0−g(x)f(x)=A)

定理4.14（洛必达法则4） f(x),g(x)f(x),g(x)f(x),g(x)在(a,+∞)((−∞,a))(a,+\infty)((-\infty,a))(a,+∞)((−∞,a))可导，并且满足：
(1)lim⁡x→+∞f(x)=lim⁡x→+∞g(x)=∞(lim⁡x→−∞f(x)=lim⁡x→−∞g(x)=∞)\lim_{x\to +\infty}{f(x)}=\lim_{x\to +\infty}{g(x)}=\infty(\lim_{x\to -\infty}{f(x)}=\lim_{x\to -\infty}{g(x)}=\infty)limx→+∞f(x)=limx→+∞g(x)=∞(limx→−∞f(x)=limx→−∞g(x)=∞)
(2)g(x)g(x)g(x)在(a,+∞)((−∞,a))(a,+\infty)((-\infty,a))(a,+∞)((−∞,a))上导数恒不为0
(3)lim⁡x→+∞f′(x)g′(x)=A\lim_{x\to +\infty}{\frac{f^\prime(x)}{g^\prime(x)}}=Alimx→+∞g′(x)f′(x)=A (lim⁡x→−∞f′(x)g′(x)=A\lim_{x\to -\infty}{\frac{f^\prime(x)}{g^\prime(x)}}=Alimx→−∞g′(x)f′(x)=A)
则lim⁡x→+∞f(x)g(x)=A\lim_{x\to +\infty}{\frac{f(x)}{g(x)}}=Alimx→+∞g(x)f(x)=A (lim⁡x→−∞f(x)g(x)=A\lim_{x\to-\infty}{\frac{f(x)}{g(x)}}=Alimx→−∞g(x)f(x)=A)

我们仅证明定理4.12，定理4.13的证明和定理4.12的证明是类似的。

证：
在这种情况下，我们不能以补充定义的形式来模仿定理4.11的证明。
为了应用柯西中值定理，我们先由条件lim⁡x→x0+f′(x)g′(x)=A\lim_{x\to x_0^+}{\frac{f^\prime(x)}{g^\prime(x)}}=Alimx→x0+g′(x)f′(x)=A，对任意的ε>0\varepsilon>0ε>0，存在δ1>0\delta_1>0δ1>0，对任意的x0<x<x0+δ1x_0<x<x_0+\delta_1x0<x<x0+δ1时，都有∣f′(x)g′(x)−A∣<ε2|\frac{ f^{\prime}(x) } { g^\prime(x) } - A| <\frac{\varepsilon}{2} ∣g′(x)f′(x)−A∣<2ε任取x0<a<x0+δ1x_0<a<x_0+\delta_1x0<a<x0+δ1，由柯西中值定理，就有∣f(x)−f(a)g(x)−g(a)−A∣<ε2|\frac { f(x) - f(a) } {g(x)-g(a)} - A|<\frac{\varepsilon}{2} ∣g(x)−g(a)f(x)−f(a)−A∣<2ε下面我们证明f(x)g(x)\frac{f(x)}{g(x)}g(x)f(x)局部有界：
实际上f(x)−f(a)g(x)−g(a)\frac { f(x) - f(a) }{g(x)-g(a)}g(x)−g(a)f(x)−f(a)是局部有界的。并且，有f(x)−f(a)g(x)−g(a)=f(x)g(x)−f(a)g(x)1−g(a)f(x)\frac { f(x) - f(a) } {g(x)-g(a)} = \frac { \frac{f(x)}{g(x)} - \frac{f(a)}{g(x)} } {1-\frac{g(a)}{f(x)}} g(x)−g(a)f(x)−f(a)=1−f(x)g(a)g(x)f(x)−g(x)f(a)如果f(x)g(x)\frac { f(x) } {g(x)}g(x)f(x)不是局部有界的，那么可以取得点列{xn}\{x_n\}{xn}，xn>x0x_n>x_0xn>x0,xn→x0x_n\to x_0xn→x0，f(xn)g(xn)→∞\frac { f(x_n) } {g(x_n)}\to\inftyg(xn)f(xn)→∞，但是，注意到：f(a)g(xn)→0\frac{f(a)}{g(x_n)}\to 0g(xn)f(a)→0g(a)g(xn)→0\frac{g(a)}{g(x_n)}\to 0g(xn)g(a)→0那么：
f(xn)g(xn)−f(a)g(xn)1−g(a)f(xn)→∞\frac { \frac{f(x_n)}{g(x_n)} - \frac{f(a)}{g(x_n)} } {1-\frac{g(a)}{f(x_n)}} \to \infty1−f(xn)g(a)g(xn)f(xn)−g(xn)f(a)→∞与f(x)−f(a)g(x)−g(a)\frac { f(x) - f(a) } {g(x)-g(a)}g(x)−g(a)f(x)−f(a)局部有界矛盾，因此，存在M>0M>0M>0，存在δ2>0\delta_2>0δ2>0，x0<x<x0+δ2x_0<x<x_0+\delta_2x0<x<x0+δ2时∣f(x)g(x)∣≤M|\frac{f(x)}{g(x)}|\le M∣g(x)f(x)∣≤M而f(x)g(x)−f(x)−f(a)g(x)−g(a)=f(x)g(x)[1−11−g(a)f(x)]\frac{f(x)}{g(x)} - \frac { f(x) - f(a) } {g(x)-g(a)}\\ =\frac{f(x)}{g(x)}[1-\frac{1}{1-\frac{g(a)}{f(x)}}] g(x)f(x)−g(x)−g(a)f(x)−f(a)=g(x)f(x)[1−1−f(x)g(a)1]而1−11−g(a)f(x)→0(x→x0+)1-\frac{1}{1-\frac{g(a)}{f(x)}} \to 0(x\to x_0^+)1−1−f(x)g(a)1→0(x→x0+)，因此f(x)g(x)−f(x)−f(a)g(x)−g(a)→0(x→x0+)\frac{f(x)}{g(x)} - \frac { f(x) - f(a) } {g(x)-g(a)} \to 0(x\to x_0^+) g(x)f(x)−g(x)−g(a)f(x)−f(a)→0(x→x0+)又存在δ3>0\delta_3>0δ3>0，x0<x<x0+δ3x_0<x<x_0+\delta_3x0<x<x0+δ3时，有∣f(x)g(x)−f(x)−f(a)g(x)−g(a)∣<ε2|\frac{f(x)}{g(x)} - \frac { f(x) - f(a) } {g(x)-g(a)}|<\frac{\varepsilon}{2} ∣g(x)f(x)−g(x)−g(a)f(x)−f(a)∣<2ε当x0<x<x0+min⁡(δ1,δ2,δ3)x_0<x<x_0+\min(\delta_1,\delta_2,\delta_3)x0<x<x0+min(δ1,δ2,δ3)时，有∣f(x)g(x)−A∣≤∣f(x)−f(a)g(x)−g(a)−A∣+∣f(x)g(x)−f(x)−f(a)g(x)−g(a)∣<ε|\frac{f(x)}{g(x)} - A| \le |\frac { f(x) - f(a) } {g(x)-g(a)} - A| + |\frac{f(x)}{g(x)} - \frac { f(x) - f(a) } {g(x)-g(a)}| < \varepsilon∣g(x)f(x)−A∣≤∣g(x)−g(a)f(x)−f(a)−A∣+∣g(x)f(x)−g(x)−g(a)f(x)−f(a)∣<ε