2 - 一元函数微分学

文章目录

2 - 一元函数微分学
- 一、求微分的基本方法
- - 1. 函数连续与可导
  - 2. 求导的公式法和定义法
  - 3. 凑微分
  - 4. d2xdy2\frac{d^{2}x}{dy^{2}}dy2d2x 的处理方式
  - 5. 求函数在某点的 n 阶导
  - 6. 莱布尼茨公式的应用
  - 7. 连乘除形式 - 利用对数求导法
  - 8. 隐函数求导法
  - 9. 自变量代换创造第二个方程
- 二、几何应用
- - 1. 驻点与拐点
  - 2. 求极值、最值
  - 3. 求渐近线
  - 4. 确定曲率圆
  - 5. 弧微分
- 三、中值定理
- 四、求导法比大小

一、求微分的基本方法

1. 函数连续与可导

连续 ↔lim⁡x→x0−f(x)=lim⁡x→x0+f(x)=f(x0)\leftrightarrow \lim_{x\rightarrow x_{0}^{-}} f(x) = \lim_{x\rightarrow x_{0}^{+}} f(x)=f(x_{0})↔limx→x0−f(x)=limx→x0+f(x)=f(x0)
函数在某点可导↔该点处左导数=右导数函数在某点可导 \leftrightarrow 该点处 \ 左导数=右导数函数在某点可导↔该点处左导数=右导数

左导数： f−′(x0)=lim⁡Δx→0−f(x0+Δx)−f(x0)Δx=lim⁡x→x0−f(x)−f(x0)x−x0f_{-}^{\prime}(x_{0})=\lim _{\Delta x\rightarrow 0^{-}}\frac{f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})}{\Delta x} = \lim _{x\rightarrow x_{0}^{-}} \frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}f−′(x0)=limΔx→0−Δxf(x0+Δx)−f(x0)=limx→x0−x−x0f(x)−f(x0)

右导数： f+′(x0)=lim⁡Δx→0+f(x0+Δx)−f(x0)Δx=lim⁡x→x0+f(x)−f(x0)x−x0f_{+}^{\prime}(x_{0})=\lim _{\Delta x\rightarrow 0^{+}}\frac{f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})}{\Delta x} = \lim _{x\rightarrow x_{0}^{+}} \frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}f+′(x0)=limΔx→0+Δxf(x0+Δx)−f(x0)=limx→x0+x−x0f(x)−f(x0)

【注】 导数定义： f′(x0)=lim⁡Δx→0f(x0+Δx)−f(x0)Δx=lim⁡x→x0f(x)−f(x0)x−x0f^{\prime}(x_{0})=\lim _{\Delta x\rightarrow 0}\frac{f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})}{\Delta x} = \lim _{x\rightarrow x_{0}} \frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}f′(x0)=limΔx→0Δxf(x0+Δx)−f(x0)=limx→x0x−x0f(x)−f(x0)

2. 求导的公式法和定义法

多个式子求导时可以看各式子的特点分别选择公式法和定义法
即 f(x)=A(x)+B(x)f(x)=A(x)+B(x)f(x)=A(x)+B(x) ，可以 A(x)A(x)A(x) 用公式法求解导数值，而 B(x)B(x)B(x) 用定义法求

3. 凑微分

一些题目中给出的式子并不好直接求导，但是看结构通常跟微分的定义式长得有几分相似，所以可以补充一些特殊值如
lim⁡x→0f(x)x⇒lim⁡x→0f(x)−0x−0\lim_{x\rightarrow0}\frac{f(x)}x \Rightarrow \lim_{x\rightarrow0}\frac{f(x)-0}{x-0} x→0limxf(x)⇒x→0limx−0f(x)−0
去凑微分的定义式来求微分

4. d2xdy2\frac{d^{2}x}{dy^{2}}dy2d2x 的处理方式

1.d2xdy2=ddy(dxdy)=ddx(dxdy)dxdy=ddx(1f′(x))dxdy=−f′′(x)[f′(x)]32.d2xdy2=ddy(dxdy)=ddt(dxdy)dtdy其中 dxdy=dxdt⋅dtdy注:dxdy=1f′(x)是反函数求导法则\begin{aligned} &1. \qquad \frac{d^{2}x}{dy^{2}}= \frac{d}{dy}(\frac{dx}{dy})=\frac{d}{dx}(\frac{dx}{dy})\frac{dx}{dy}=\frac{d}{dx}(\frac{1}{f^{\prime}(x)})\frac{dx}{dy}=-\frac{f^{\prime\prime}(x)}{[f^{\prime}(x)]^{3}} \\ &2. \qquad \frac{d^{2}x}{dy^{2}}= \frac{d}{dy}(\frac{dx}{dy})=\frac{d}{dt}(\frac{dx}{dy})\frac{dt}{dy} \qquad \text{其中 }\frac{dx}{dy}=\frac{dx}{dt}\cdot \frac{dt}{dy} \\ &注: \frac{dx}{dy}=\frac{1}{f^{\prime}(x)} \ \text{ 是反函数求导法则} \end{aligned} 1.dy2d2x=dyd(dydx)=dxd(dydx)dydx=dxd(f′(x)1)dydx=−[f′(x)]3f′′(x)2.dy2d2x=dyd(dydx)=dtd(dydx)dydt其中 dydx=dtdx⋅dydt注:dydx=f′(x)1 是反函数求导法则

5. 求函数在某点的 n 阶导

考虑到泰勒展开后得到的多项式容易求导

所以可以在该点处做 泰勒展开 ，然后改为求泰勒公式的 n 阶导。通常低于 n 次方或高于 n 次方的项都归 0 了

6. 莱布尼茨公式的应用

莱布尼茨公式（长得有点像二项式定理）：
(uv)n=Cn0u(n)v+Cn−11u(n−1)v(1)+⋯+Cnn−1u(1)v(n−1)+Cnnuv(n)(uv)^{n}=C_{n}^{0}u^{(n)}v+C_{n-1}^{1}u^{(n-1)}v^{(1)}+\cdots+C_{n}^{n-1}u^{(1)}v^{(n-1)}+C_{n}^{n}uv^{(n)} (uv)n=Cn0u(n)v+Cn−11u(n−1)v(1)+⋯+Cnn−1u(1)v(n−1)+Cnnuv(n)
对于高次方程，可以把方程适当化成两部分相乘，然后应用莱布尼茨公式求解导数

例如：
设 f(x)=(x2−3x+2)ncosπx216f(x)=(x^{2}-3x+2)^n cos\frac{\pi x^{2}}{16}f(x)=(x2−3x+2)ncos16πx2 ，求 f(n)(2)f^{(n)}(2)f(n)(2)
f(x)=(x−1)(n)(x−2)(n)cosπx216=∑k=0n{Cnk[(x−2)n](k)⋅[(x−1)ncosπx216](n−k)}⋯⋯\begin{aligned} f(x)&=(x-1)^{(n)}(x-2)^{(n)}cos\frac{\pi x^{2}}{16} \\ &= \sum_{k=0}^{n} \{ C_{n}^{k}[(x-2)^n]^{(k)} \cdot[(x-1)^{n}cos\frac{\pi x^{2}}{16}]^{(n-k)} \} \\ &\cdots \cdots \end{aligned} f(x)=(x−1)(n)(x−2)(n)cos16πx2=k=0∑n{Cnk[(x−2)n](k)⋅[(x−1)ncos16πx2](n−k)}⋯⋯
因为是求 f(n)(2)f^{(n)}(2)f(n)(2) ，所以只要含有 (x−2)k(x-2)^{k}(x−2)k 项， x=2x=2x=2 代入之后都为 0
所以想到把 (x−2)k(x-2)^{k}(x−2)k 项因式分解出来
故只有 (x−2)(n)(x-2)^{(n)}(x−2)(n) 这一项需要计算
可以大大简化计算

7. 连乘除形式 - 利用对数求导法

例如：
y=x21−x2+x(2−x)23两端同取对数ln⁡∣y∣=2ln⁡∣x∣−ln⁡∣1−x∣+13ln⁡∣2+x∣−23ln⁡∣2−x∣两端同事对x求导1yy′=1x+11−x+13(2+x)+23(2−x)y′=⋯\begin{aligned} y&=\frac{x^{2}}{1-x}\sqrt[3]{\frac{2+x}{(2-x)^{2}}} \\ 两端同取对数 \qquad \ln \lvert y \rvert&=2\ln|x| - \ln|1-x| +\frac{1}{3}\ln|2+x|-\frac23 \ln |2-x| \\ 两端同事对x求导 \qquad \frac 1yy^{\prime}&=\frac1x+\frac1{1-x}+\frac1{3(2+x)}+\frac2{3(2-x)} \\ y^{\prime}&= \cdots \end{aligned} y两端同取对数ln∣y∣两端同事对x求导y1y′y′=1−xx23(2−x)22+x=2ln∣x∣−ln∣1−x∣+31ln∣2+x∣−32ln∣2−x∣=x1+1−x1+3(2+x)1+3(2−x)2=⋯

8. 隐函数求导法

隐函数求导
隐函数的方程 F(y,x)=0F(y,x)=0F(y,x)=0 ，两边同时对 x 求导，得到 y′=φ(y,x)y^\prime=\varphi(y,x)y′=φ(y,x)
此时求导结果中同时含有 y 和 x
隐函数找驻点
原方程 F(y,x)=0F(y,x)=0F(y,x)=0 记为 A

方成两端同时对 x 求导，得到 y′=φ(y,x)y^\prime=\varphi(y,x)y′=φ(y,x) ，记为 B

将 y′=0y^\prime=0y′=0 代入 B 式，得到 C 式 0=φ(y,x)0=\varphi(y,x)0=φ(y,x)

联立 A、C，求出 y、x

9. 自变量代换创造第二个方程

例如：

设函数 f(x)f(x)f(x) 满足 f(x)+2f(1x)=3x(x≠0)f(x)+2f(\frac1x)=\frac3x(x\neq0)f(x)+2f(x1)=x3(x=0) ，求 f′(x)(x≠0)f^\prime(x)(x\neq0)f′(x)(x=0)
用 1x\frac1xx1 代换 xxx ，联立等式消去 f(1x)f(\frac1x)f(x1) ，得到 f(x)f(x)f(x) 的表达式，然后求导得 f′(x)f^\prime(x)f′(x)

二、几何应用

1. 驻点与拐点

驻点： f′(x)=0f^\prime(x)=0f′(x)=0 的点
拐点： f′′(x)f^{\prime\prime}(x)f′′(x) 正负性改变的点

2. 求极值、最值

除了统计所有 导数为 0 的点(驻点) 以外，还要考虑 间断点
因为极值是该点在其某个去心邻域内，函数值最大，所以诸如可去间断点也符合极值的定义

3. 求渐近线

求解渐近线的标准过程：

确定定义域，找可疑点如分母为0的点、函数值趋于无穷的点、间断点
找铅直渐近线，即 x 趋近于某点时，函数值趋近于无穷
找水平渐近线，即 x 趋近于正无穷或负无穷时，函数值为一个常数
找斜渐近线： lim⁡x→∞yx=a\lim_{x\rightarrow\infty}\frac yx = alimx→∞xy=a ， lim⁡x→∞(y−ax)=b\lim_{x\rightarrow\infty}(y-ax)=blimx→∞(y−ax)=b ，y=ax+b 即为函数斜渐近线

一般 x 趋近于正无穷和负无穷是两个不同的斜渐近线，需要分别计算

4. 确定曲率圆

曲线与曲率圆用于构建方程的 5 个关系：

有一个公共点
有一条公共切线（在切点上导数相同）
由曲率可以换算出曲率圆的半径
曲率圆的圆心在切线过切点的垂线上，联立曲率圆的半径可以找到圆心坐标
由曲线的凹凸性（二阶导数）确定曲率圆在切线的哪一侧

【注】 曲率的计算公式

对一般函数：
K=∣y′′∣[1+(y′)2]32K=\frac{|y^{\prime\prime}|}{[1+(y^\prime)^2]^{\frac32}} K=[1+(y′)2]23∣y′′∣
对参数方程：

K=∣x′(t)y′′(t)−y′(t)x′′(t)∣{[x′(t)]2−[y′(t)]2}32K=\frac{|x^\prime(t)y^{\prime\prime}(t)-y^\prime(t) x^{\prime\prime}(t)|}{\{[x^\prime(t)]^2-[y^\prime(t)]^2 \}^{\frac32}} K={[x′(t)]2−[y′(t)]2}23∣x′(t)y′′(t)−y′(t)x′′(t)∣

曲率半径
R=1KR=\frac1K R=K1

5. 弧微分

1.S=∫ab1+[y′(x)]2dx2.S=∫ab[x′(t)]2+[y′(t)]2dt3.S=∫ab[r(θ)]2+[r′(θ)]2dθ\begin{aligned} 1.\ \ &S=\int_{a}^{b} \sqrt{1+[y^\prime(x)]^2}dx \\ 2.\ \ &S=\int_{a}^{b} \sqrt{[x^\prime(t)]^2+[y^\prime(t)]^2}dt \\ 3.\ \ &S=\int_{a}^{b} \sqrt{[r(\theta)]^2+[r^\prime(\theta)]^2}d\theta \end{aligned} 1. 2. 3. S=∫ab1+[y′(x)]2dxS=∫ab[x′(t)]2+[y′(t)]2dtS=∫ab[r(θ)]2+[r′(θ)]2dθ

【注】 极坐标与直角坐标系的转换
{x=rcosθy=rsinθr2=x2+y2\begin{cases} \ x &= rcos\theta \\ \ y&=rsin\theta \\ \ r^2&=x^2+y^2 \end{cases} ⎩⎨⎧ x y r2=rcosθ=rsinθ=x2+y2
隐函数找驻点

三、中值定理

罗尔定理

设 f(x)f(x)f(x) 在闭区间 [a,b][a,b][a,b] 上连续，在开区间 (a,b)(a,b)(a,b) 内可导，若 f(a)=f(b)f(a)=f(b)f(a)=f(b) ，则在 (a,b)(a,b)(a,b) 内至少存在一点 ξ∈(a.b)\xi \in(a.b)ξ∈(a.b) ，使得
f′(ξ)=0f^\prime(\xi)=0 f′(ξ)=0
拉格朗日中值定理

设 f(x)f(x)f(x) 在闭区间 [a,b][a,b][a,b] 上连续，在开区间 (a,b)(a,b)(a,b) 内可导，则在 (a,b)(a,b)(a,b) 内至少存在一点 ξ∈(a.b)\xi \in(a.b)ξ∈(a.b) ，使得
f(b)−f(a)=f′(ξ)(b−a)f(b)-f(a)=f^\prime(\xi)(b-a) f(b)−f(a)=f′(ξ)(b−a)
柯西中值定理

设 f(x),g(x)f(x),g(x)f(x),g(x) 在闭区间 [a,b][a,b][a,b] 上连续，在开区间 (a,b)(a,b)(a,b) 内可导，且 g′(x)≠0,x∈(a,b)g^\prime(x)\neq0,x\in(a,b)g′(x)=0,x∈(a,b) 则至少存在一点 ξ∈(a.b)\xi \in(a.b)ξ∈(a.b) ，使得
f(b)−f(a)g(b)−g(a)=f′(ξ)g′(ξ)\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f^\prime(\xi)}{g^\prime(\xi)} g(b)−g(a)f(b)−f(a)=g′(ξ)f′(ξ)

【注】 零点定理：如果 f(x)f(x)f(x) 在闭区间 [a,b][a,b][a,b] 上连续，且满足 f(a)⋅f(b)<0f(a)\cdot f(b)<0f(a)⋅f(b)<0 ，则在开区间 (a,b)(a,b)(a,b) 内至少存在一点 ξ\xiξ ，使得 f(ξ)=0f(\xi)=0f(ξ)=0 。进一步地，如果 f(x)f(x)f(x) 在 (a,b)(a,b)(a,b) 内单调，则此零点唯一

一般处理步骤:

处理或化简原式，构造辅助函数
利用中值定理构建关系式
利用基本的函数分析得到题目答案

构造辅助函数的一般方法：

简单函数可以直接积分构造

例如： f′(x)=x−1f^\prime(x)=x-1f′(x)=x−1 ，构造辅助函数为 F(x)=f(x)−12x2+x+CF(x)=f(x)-\frac12x^2+x+CF(x)=f(x)−21x2+x+C ，依题目取便于计算的 C 值，比如 0
改写原式，使其便于计算，并构造辅助函数
例如：原式 sinxx>cosx3\frac{sinx}{x}>\sqrt[3]{cosx}xsinx>3cosx ，将原式改写为(cosx)−13sinx−x>0(cosx)^{-\frac13}sinx-x>0(cosx)−31sinx−x>0 ，作辅助函数 F(x)=(cosx)−13sinx−xF(x)=(cosx)^{-\frac13}sinx-xF(x)=(cosx)−31sinx−x

这样三角函数分立于两项之中，便于求导和化简
辅助函数构造模板：
f(x)f′(x)⟶F(x)=f2(x)f′(x)+g(x)f(x)+h(x)⟶F(x)=f(x)e∫g(x)dx+∫h(x)e∫g(x)dxdxf(x)+f′′(x)⟶F(x)=f2(x)+[f′(x)]2[f′(x)]2+f(x)f′′(x)⟶F(x)=f(x)f′(x)2[f′(x)]2+f(x)f′′(x)⟶F(x)=f2(x)f′(x)\begin{aligned} f(x)f^\prime(x) &\longrightarrow F(x)=f^2(x) \\ f^\prime(x)+g(x)f(x)+h(x) &\longrightarrow F(x)=f(x)e^{\int g(x)dx}+\int h(x)e^{\int g(x)dx}dx \\ \\ f(x)+f^{\prime\prime}(x) &\longrightarrow F(x)=f^2(x)+[f^\prime(x)]^2 \\ \\ [f^\prime(x)]^2 + f(x)f^{\prime\prime}(x) &\longrightarrow F(x)=f(x)f^\prime(x) \\ 2[f^\prime(x)]^2 + f(x)f^{\prime\prime}(x) &\longrightarrow F(x)=f^2(x)f^\prime(x) \end{aligned} f(x)f′(x)f′(x)+g(x)f(x)+h(x)f(x)+f′′(x)[f′(x)]2+f(x)f′′(x)2[f′(x)]2+f(x)f′′(x)⟶F(x)=f2(x)⟶F(x)=f(x)e∫g(x)dx+∫h(x)e∫g(x)dxdx⟶F(x)=f2(x)+[f′(x)]2⟶F(x)=f(x)f′(x)⟶F(x)=f2(x)f′(x)

四、求导法比大小

例如：证明:当 0<a<b<10<a<b<10<a<b<1 或 1<a<b1<a<b1<a<b 时，baab<ba\frac{b^a}{a^b}<\frac baabba<ab
baab<baaln⁡b−bln⁡a<ln⁡b−ln⁡a(a−1)ln⁡b<(b−1)ln⁡a\begin{aligned} \frac{b^a}{a^b}&<\frac ba \\ a\ln b -b\ln a &< \ln b-\ln a \\ (a-1)\ln b&<(b-1)\ln a \\ \end{aligned} abbaalnb−blna(a−1)lnb<ab<lnb−lna<(b−1)lna
∵(a−1)(b−1)>0∴ln⁡aa−1>ln⁡bb−1∴令 f(x)=ln⁡xx−1⋯⋯求导分析增减性来比大小\begin{aligned} &\because (a-1)(b-1)>0 \\ &\therefore \frac{\ln a}{a-1}>\frac{\ln b}{b-1} \\ &\therefore 令\ f(x)=\frac{\ln x}{x-1} \\ &\cdots\cdots \ \text{求导分析增减性来比大小} \end{aligned} ∵(a−1)(b−1)>0∴a−1lna>b−1lnb∴令 f(x)=x−1lnx⋯⋯ 求导分析增减性来比大小