泰勒公式在一元函数微分学中的重要作用

一、泰勒公式的基本原理
- 1.泰勒公式
- - 1) 带有佩亚诺(Peano)余项的nnn阶泰勒公式（泰勒中值定理1）
  - 2) 带有拉格朗日(Lagrange)余项nnn阶泰勒公式（泰勒中值定理2）
- 2. 最初目的
- 3. 推导过程
- - 1) 使用多项式进行近似的尝试
  - 2) 多项式系数的确定
  - 3) 函数泰勒展开式最终确定
  - 4) 麦克劳林公式
- 4. 两种余项的泰勒公式之间的差别与联系
- - 1) 不同形式余项对误差的表示
  - 2) 函数导数阶数的要求不同
  - 3) 点还是邻域
二、泰勒公式与微分中值定理的关系
- 1. 泰勒公式与拉格朗日中值定理
- - 1) 拉格朗日中值定理
  - 2) 两者之间的联系
  - 3) 泰勒公式与三个中值定理之间的脉络
三、泰勒公式在求解函数极限时发挥的作用
- 1. 使用泰勒公式求极限
- 2. 泰勒公式与洛必达法则
- - 1) 洛必达法则
  - 2) 洛必达法则的使用
  - 3) 泰勒公式与洛必达法则
- 3. 泰勒公式与等价无穷小代换
- - 1) 等价无穷小定义
  - 2) 等价无穷小的充要条件
  - 3) 从等价代换的限制中理解两者之间的关系
四、泰勒公式与函数极值的关系
- 1. 函数极值
- 2. 泰勒公式与函数极值的判定
五、总结

一、泰勒公式的基本原理

1.泰勒公式

1) 带有佩亚诺(Peano)余项的nnn阶泰勒公式（泰勒中值定理1）

如果函数f(x)f(x)f(x)在x0x_0x0处具有nnn阶导数，那么存在x0x_0x0的一个邻域，对于该邻域中的任一xxx，有
f(x)=f(x0)+f′(x0)(x−x0)+f′′(x0)2!(x−x0)2+⋯+f(n)(x0)n!(x−x0)n+Rn(x),(1)f(x) = f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\cdots+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+R_n(x), \tag{1} f(x)=f(x0)+f′(x0)(x−x0)+2!f′′(x0)(x−x0)2+⋯+n!f(n)(x0)(x−x0)n+Rn(x),(1)
其中
Rn(x)=o((x−x0)n).(2)R_n(x)=o((x-x_0)^n).\tag{2} Rn(x)=o((x−x0)n).(2)

2) 带有拉格朗日(Lagrange)余项nnn阶泰勒公式（泰勒中值定理2）

如果函数f(x)f(x)f(x)在x0x_0x0的某个邻域U(x0)U(x_0)U(x0)内具有(n+1)(n+1)(n+1)阶导数，那么对任一x∈U(x0)x\in U(x_0)x∈U(x0)，有
f(x)=f(x0)+f′(x0)(x−x0)+f′′(x0)2!(x−x0)2+⋯+f(n)(x0)n!(x−x0)n+Rn(x),(3)f(x) = f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\cdots+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+R_n(x), \tag{3} f(x)=f(x0)+f′(x0)(x−x0)+2!f′′(x0)(x−x0)2+⋯+n!f(n)(x0)(x−x0)n+Rn(x),(3)
其中
Rn(x)=f(n+1)(ξ)(n+1)!(x−x0)(n+1)，(4)R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{(n+1)}，\tag{4} Rn(x)=(n+1)!f(n+1)(ξ)(x−x0)(n+1)，(4)
这里ξ\xiξ是x0x_0x0与xxx之间的某个值.

2. 最初目的

对于一些较复杂的函数，对其进行分析并不容易，人们希望使用一些简单函数之间的基本运算达到近似表示这些函数的效果，从而使其分析的难度得以降低。从这个角度来看，泰勒公式的出现着实是让人感到愉悦的，它告诉人们一个复杂的函数确实可以用多项式来近似表示（当然并不是所有的函数都可以这样的表示，它是有一定前提条件的），它也确实使函数的分析变得更加容易。

3. 推导过程

1) 使用多项式进行近似的尝试

上面讲述了研究泰勒公式的目的，但是在这个公式被证明确实成立之前，其实谁也不知道一个复杂函数到底能不能拆分成简单函数。实际上，推导泰勒公式的开始就体现出了尝试的意味，人们渴望通过自变量的加、减、乘三种运算就实现对原始函数的近似，于是提出这样一个问题：
设f(x)f(x)f(x)在x0x_0x0处具有nnn阶导数，试（！！！）找出一个关于(x−x0)(x-x_0)(x−x0)的nnn次多项式
pn(x)=a0+a1(x−x0)+a2(x−x0)2+⋯+an(x−x0)n(5)p_n(x)=a_0+a_1(x-x_0)+a_2(x-x_0)^2+\cdots+a_n(x-x_0)^n\tag{5} pn(x)=a0+a1(x−x0)+a2(x−x0)2+⋯+an(x−x0)n(5)来近似表达f(x)f(x)f(x)，要求使得pn(x)p_n(x)pn(x)与f(x)f(x)f(x)之差是当x→x0x\to x_0x→x0时比(x−x0)n(x-x_0)^n(x−x0)n高阶的无穷小.
在这个问题中，存在一个值得思考之处，为什么满足上述要求时才能将多项式pn(x)p_n(x)pn(x)视作近似函数f(x)f(x)f(x)表达？？？或许可以用下面的说法进行简单的解释。
关于无穷小与函数极限关系的分析中，存在如下定理：
定理1~~~~ 在自变量的统一变化过程x→x0x\to x_0x→x0（或x→∞x\to \inftyx→∞）中，函数f(x)f(x)f(x)具有极限AAA的充分必要条件是f(x)=A+αf(x)=A+\alphaf(x)=A+α，其中α\alphaα是无穷小.
在自变量x→x0x\to x_0x→x0的变化过程中，如果多项式pn(x)p_n(x)pn(x)与函数f(x)f(x)f(x)之差（实际上就是泰勒中值定理中的余项）是多项式pn(x)p_n(x)pn(x)中最高阶项的高阶无穷小，那么这个无穷小量其实也是整个多项式的高阶无穷小量，即为定理1中的α\alphaα，同时多项式pn(x)p_n(x)pn(x)在x→x0x\to x_0x→x0时的极限就是多项式pn(x)p_n(x)pn(x)在x=x0x=x_0x=x0时的值，即为定理1中的AAA（因为多项式函数都是连续的，某点的极限值就是多项式函数的值），下面以符号表示更清晰：
α=lim⁡x→x0[f(x)−pn(x)],\alpha = \lim\limits_{x\to x_0}[f(x)-p_n(x)],α=x→x0lim[f(x)−pn(x)], 由于f(x)f(x)f(x)在x0x_0x0处连续（因为泰勒公式的前提就是在该点具有nnn或(n+1)(n+1)(n+1)阶导数，所以连续），α=lim⁡x→x0f(x)−lim⁡x→x0pn(x),\alpha = \lim\limits_{x\to x_0}f(x)-\lim\limits_{x\to x_0}p_n(x),α=x→x0limf(x)−x→x0limpn(x), α=lim⁡x→x0f(x)−pn(x0),\alpha = \lim\limits_{x\to x_0}f(x)-p_n(x_0),α=x→x0limf(x)−pn(x0), A=pn(x0),A = p_n(x_0),A=pn(x0),如果α\alphaα为无穷小量，则
lim⁡x→x0f(x)=A,\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=A,x→x0limf(x)=A, 即 f(x0)=A,f(x_0)=A,f(x0)=A, f(x0)=pn(x0),f(x_0)=p_n(x_0),f(x0)=pn(x0),所以说，满足要求的多项式与函数在x0x_0x0邻域上的点处的差别可以忽略，在x0x_0x0邻域内可以近似表示函数。

2) 多项式系数的确定

这里又存在一个假设：假设上述多项式pn(x)p_n(x)pn(x)在x0x_0x0处的各阶导数值（实际上还有该点的函数值）都与原始函数在x0x_0x0处的相应阶导数值都相等。
这样的假设使我们求得了pn(x)p_n(x)pn(x)中各项的系数（这个过程并不困难，只需逐步求导，带入x0x_0x0的值，便可求得，所以不再展开），然而至此，我们只是能够保证pn(x)p_n(x)pn(x)与函数f(x)f(x)f(x)在x0x_0x0处的函数值和各阶导数值都相等，并不能确定多项式是不是函数的近似，因为x→x0x\to x_0x→x0时pn(x)p_n(x)pn(x)与f(x)f(x)f(x)之差是不是比(x−x0)n(x-x_0)^n(x−x0)n高阶的无穷小尚不能确定。

3) 函数泰勒展开式最终确定

根据前两条的论述，当证明x→x0x\to x_0x→x0时pn(x)p_n(x)pn(x)与f(x)f(x)f(x)之差是比(x−x0)n(x-x_0)^n(x−x0)n高阶的无穷小后，即可以说明这个多项式可以近似，这证明过程在《高等数学》（同济大学数学系编）中有完整的过程。至此，可以知道，多项式pn(x)p_n(x)pn(x)与函数f(x)f(x)f(x)在x0x_0x0的一个邻域上具有相同的性质，且差别（余项）在数值上可以忽略，于是这个多项式可以近似表示函数，如果要使等号成立，那么多项式需要加上余项（当然你可以把多项式写出无穷项，但是那需要超乎常人的毅力和无穷无尽的时间）。

4) 麦克劳林公式

当x0x_0x0的值取0时，泰勒公式退化为麦克劳林公式，这么说来，麦克劳林公式和泰勒公式就没什么理论上的区别了，也就不展开了。它大多数在求极限情况下使用，下面的的论述中就不把麦克劳林公式和泰勒公式作严格区分了。

4. 两种余项的泰勒公式之间的差别与联系

两种泰勒展开式中多项式部分完全一样，两者之间的最根本区别体现在余项上，余项的表现形式是不一样的，但是两个余项又必然是相等的（因为最终的函数值相等），那么两种余项之间在本质上有什么不同的呢？？？

1) 不同形式余项对误差的表示

从佩亚诺余项即式(2)(2)(2)可以看出，这一余项只能表达出余项是多项式的高阶无穷小，不能具体估算出误差的大小；而在拉格朗日余项即式(1)(1)(1)中ξ\xiξ是x0x_0x0与xxx之间的某个值，虽然不能完全确定这个值得大小，但是它是实际存在的，它是一个确定的值，所以说拉格朗日余项是精确的误差大小。

2) 函数导数阶数的要求不同

从定理的前提条件中可以明显看到：
使用带有佩亚诺余项的泰勒公式要求，函数f(x)f(x)f(x)在x0x_0x0处要具有nnn阶导数，这是因为展开式中最高阶数是nnn，同时，具有nnn阶导数的函数具有nnn阶以下的所有导数，且nnn阶以下的所有导数都连续，这可以使得展开式中的每一项都有意义；
使用带有拉格朗日余项的泰勒公式要求，函数在x0x_0x0的某个邻域U(x0)U(x_0)U(x0)内具有(n+1)(n+1)(n+1)阶导数，这是因为，拉格朗日余项的导数阶数是(n+1)(n+1)(n+1)，为了保证其有意义，导数的要求比佩亚诺余项的泰勒公式高了一阶。

3) 点还是邻域

如果仔细一点儿就会发现，佩亚诺余项的泰勒公式对导数的要求只是在x0x_0x0一点处的，只要在这一点处具有nnn阶导数即可；而拉格朗日余项的泰勒公式对导数的要求是x0x_0x0的某个邻域U(x0)U(x_0)U(x0)，这并不难理解，因为ξ\xiξ是x0x_0x0与xxx之间的某个值，这使导数的要求不能只针对x0x_0x0一点处的了，又因为ξ\xiξ不是一个确定的值，但是它存在于x0x_0x0的邻域U(x0)U(x_0)U(x0)内，这使导数要求的范围也不一样。

二、泰勒公式与微分中值定理的关系

1. 泰勒公式与拉格朗日中值定理

1) 拉格朗日中值定理

定理2~~~~ 如果函数f(x)f(x)f(x)满足
（1）在闭区间[a,b]\begin{bmatrix} a,b\end{bmatrix}[a,b]上连续；
（2）在开区间(a,b)\begin{pmatrix} a,b\end{pmatrix}(a,b)上可导；
那么在(a,b)\begin{pmatrix} a,b\end{pmatrix}(a,b)内至少有一点ξ（a<ξ<b）\xi（a<\xi <b）ξ（a<ξ<b），使等式f(b)−f(a)=f′(ξ)(b−a)(6)f(b)-f(a)=f'(\xi)(b-a)\tag{6}f(b)−f(a)=f′(ξ)(b−a)(6)成立.

2) 两者之间的联系

如果将泰勒公式中的x0x_0x0换为aaa，求bbb处的函数值：
f(b)=f(a)+f′(a)(b−a)+f′′(a)2!(b−a)2+⋯+f(n)(a)n!(b−a)n+f(n+1)(ξ)(n+1)!(b−a)(n+1),f(b) = f(a)+f'(a)(b-a)+\frac{f''(a)}{2!}(b-a)^2+\cdots+\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(b-a)^n+\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(b-a)^{(n+1)}, f(b)=f(a)+f′(a)(b−a)+2!f′′(a)(b−a)2+⋯+n!f(n)(a)(b−a)n+(n+1)!f(n+1)(ξ)(b−a)(n+1),将以导数为系数的项全部写入拉格朗日余项后：
f(b)=f(a)+f′(ξ)(b−a),f(b) = f(a)+f'(\xi)(b-a), f(b)=f(a)+f′(ξ)(b−a),很明显，它和(6)式是一样的，不用多说，拉格朗日中值定理和泰勒公式在本质上原理也是相同的。

3) 泰勒公式与三个中值定理之间的脉络

如果让拉格朗日中值定理中的f(b)f(b)f(b)和f(a)f(a)f(a)的值相等，易得f′(ξ)f'(\xi)f′(ξ)的为零，此时拉格朗日中值定理退化为罗尔定理；
如果引入中间变量ttt，将因变量和自变量写作参数方程形式，即：
{x=ψ(t)y=Ψ(t),（a≤t≤b）(7)\begin{cases} x=\psi(t) \\ y=\Psi (t) \end{cases},（a\leq t \leq b）\tag{7}{x=ψ(t)y=Ψ(t),（a≤t≤b）(7) 此时，dydx=Ψ′(t)ψ′(t),\frac{dy}{dx}=\frac{\Psi'(t)}{\psi'(t)},dxdy=ψ′(t)Ψ′(t),
带入拉格朗日中值定理可得：
Ψ(b)−Ψ(a)=Ψ′(ξ)ψ′(ξ)[ψ(b)−ψ(a)],(8)\Psi(b)-\Psi(a)=\frac{\Psi'(\xi)}{\psi'(\xi)}[\psi(b)-\psi(a)],\tag{8} Ψ(b)−Ψ(a)=ψ′(ξ)Ψ′(ξ)[ψ(b)−ψ(a)],(8)如果[ψ(b)−ψ(a)][\psi(b)-\psi(a)][ψ(b)−ψ(a)]不为零，则为柯西中值定理；
这样，泰勒公式和中值定理之间就建立起了关系，它们之间似乎并没有很大的区别。

三、泰勒公式在求解函数极限时发挥的作用

有很多方法可以求解函数极限，如夹逼定理、中值定理、泰勒公式、洛必达法则、等价无穷小代换、幂指函数法，这些方法貌似已经足以解决一些常规的题目（除了一些花哨点儿的题目，如果还有其他方法可以补充），在这些基本方法中，很多都与泰勒公式有不小的关联。

1. 使用泰勒公式求极限

一般来说，在求极限时用到泰勒公式，都是使用带有佩亚诺余项的泰勒公式，因为拉格朗日余项并没有让所求的函数极限简单多少，但是这并不能说拉格朗日余项的泰勒公式没有发挥作用，在接下来的中值定理方法中你会看到，拉格朗日余项也可以说发挥了一定作用。接下来主要介绍直接使用泰勒公式的方法：
事实上，在所有的函数极限问题中，只要函数满足前提条件，都可以将函数进行泰勒展开之后求解，因为带有余项的泰勒展开式和原来的函数是一样的，只不过，很多函数展开之后并不会使问题简化，这样做就会得不偿失。
下面以一个例题来探讨什么时候进行泰勒展开会发挥巨大作用（当然还有其他求解方法）：
求解：lim⁡x→0+ex−1−x1−x−cosx\lim\limits_{x\to 0^+}\frac{e^x-1-x}{\sqrt{1-x}-cos\sqrt{x}}x→0+lim1−x−cosxex−1−x 解：使用泰勒公式，
ex=1+x+12!x2+o(x2),e^x=1+x+{\frac{1}{2!}}x^2+o(x^2),ex=1+x+2!1x2+o(x2), (1+x)a=1+ax+a(a−1)2x2+o(x2),(1+x)^a=1+ax+\frac{a(a-1)}{2}x^2+o(x^2),(1+x)a=1+ax+2a(a−1)x2+o(x2), cosx=1−12!x2+14!x4+o(x4),cosx = 1-\frac{1}{2!}x^2+\frac{1}{4!}x^4+o(x^4),cosx=1−2!1x2+4!1x4+o(x4), 代入后会发现，原式成为lim⁡x→0+1+x+12!x2+o(x2)−1−x1−12x−18x2+o(x2)−[1−12!x+14!x2+o(x2)]，\lim\limits_{x\to 0^+}\frac{1+x+{\frac{1}{2!}}x^2+o(x^2)-1-x}{1-\frac{1}{2}x-\frac{1}{8}x^2+o(x^2)-[1-\frac{1}{2!}x+\frac{1}{4!}x^2+o(x^2)]}，x→0+lim1−21x−81x2+o(x2)−[1−2!1x+4!1x2+o(x2)]1+x+2!1x2+o(x2)−1−x，进而，lim⁡x→0+12x2+o(x2)−18x2−124x2+o(x2)=−3，\lim\limits_{x\to 0^+}\frac{{\frac{1}{2}}x^2+o(x^2)}{-\frac{1}{8}x^2-\frac{1}{24}x^2+o(x^2)}=-3，x→0+lim−81x2−241x2+o(x2)21x2+o(x2)=−3，求解这个极限并不难，但是泰勒公式的作用很明显。
观察后可以发现，原式中的分子、分母将其中的某一项展开后，恰好可以将低阶的多项式消去，而且分子和分母剩余多项式的最低阶数相同（如果不相同，在自变量的变化过程中分母或分子会有一个更快趋近于零，那么答案就是∞\infty∞或者0了）。在之前的分析中可以知道，相对于低阶的项，高阶的项可以根据需求写进余项，在自变量的变化过程中，分子的余项相对于分母的主项可以忽略，同样分母的余项相对于分子的主项可以忽略。所以影响最终值的只有最低阶的系数。
下面简单总结一下，使用泰勒公式的要点大致如下：
1. 展开后写出的项数多少并不重要，重点是最低阶项的系数，因为即使将高阶项写出来，也会在自变量变化过程中更快的趋近于零，其值可忽略。所以避免为了不必要的麻烦，视情况写到需要的项（一般来说写到消去低阶项后剩余的最低阶项）即可。
2. 使用泰勒公式是为了将函数变得更加简单，这一点体现在展开后的几项能够消掉，分子分母的值受到最低阶项系数的影响最大，其余可忽略，从而进行进一步分析。

2. 泰勒公式与洛必达法则

1) 洛必达法则

定理3~~~~ 设
(1) 当x→ax\to ax→a时，函数f(x)f(x)f(x)及F(x)F(x)F(x)都趋于零；
(2) 在点aaa的某去心邻域内，f′(x)f'(x)f′(x)及F′(x)F'(x)F′(x)都存在且F′(x)≠0；F'(x)\neq 0；F′(x)=0；
(3) lim⁡x→af′(x)F′(x)\lim\limits_{x\to a}\frac{f'(x)}{F'(x)}x→alimF′(x)f′(x)存在（或为无穷大）
则lim⁡x→af(x)F(x)=lim⁡x→af′(x)F′(x).(9)\lim\limits_{x\to a}\frac{f(x)}{F(x)}=\lim\limits_{x\to a}\frac{f'(x)}{F'(x)}.\tag{9}x→alimF(x)f(x)=x→alimF′(x)f′(x).(9)

定理4~~~~ 设
(1) 当x→∞x\to \inftyx→∞时，函数f(x)f(x)f(x)及F(x)F(x)F(x)都趋于零；
(2) 在∣x∣>N\mid x\mid>N∣x∣>N时f′(x)f'(x)f′(x)及F′(x)F'(x)F′(x)都存在且F′(x)≠0；F'(x)\neq 0；F′(x)=0；
(3) lim⁡x→af′(x)F′(x)\lim\limits_{x\to a}\frac{f'(x)}{F'(x)}x→alimF′(x)f′(x)存在（或为无穷大）
则lim⁡x→af(x)F(x)=lim⁡x→af′(x)F′(x).(10)\lim\limits_{x\to a}\frac{f(x)}{F(x)}=\lim\limits_{x\to a}\frac{f'(x)}{F'(x)}.\tag{10}x→alimF(x)f(x)=x→alimF′(x)f′(x).(10)

2) 洛必达法则的使用

洛必达法则是用来解决未定式的极限问题，即00\frac{0}{0}00型或∞∞\frac{\infty}{\infty}∞∞型式子的极限问题。实际上00\frac{0}{0}00型和∞∞\frac{\infty}{\infty}∞∞型是一样的，例如如果分子是000不就是分母是10\frac{1}{0}01，也就是分母是∞\infty∞，同理两者其实是相同的，只是分开来记更容易0。

3) 泰勒公式与洛必达法则

在《高等数学》课本中使用中值定理对洛必达法则进行了证明，在之前也讲述过泰勒公式和中值定理的关系，很容易想到洛必达法则与泰勒公式必然有着联系。掌握使用泰勒公式求极限的方法后，两者之间的关系就很容易理解了，下面只在定理1的条件下介绍（定理2条件下是类似的）：
首先我们在x=ax=ax=a的邻域上对f(x)f(x)f(x)和F(x)F(x)F(x)进行泰勒展开：
f(x)=f(a)+f′(a)(x−a)+f′′(a)2!(x−a)2+⋯+f(n)(a)n!(x−a)n+o((x−a)n),f(x) = f(a)+f'(a)(x-a)+\frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2+\cdots+\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n+o((x-a)^n), f(x)=f(a)+f′(a)(x−a)+2!f′′(a)(x−a)2+⋯+n!f(n)(a)(x−a)n+o((x−a)n),F(x)=F(a)+F′(a)(x−a)+F′′(a)2!(x−a)2+⋯+F(n)(a)n!(x−a)n+o((x−a)n),F(x) = F(a)+F'(a)(x-a)+\frac{F''(a)}{2!}(x-a)^2+\cdots+\frac{F^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n+o((x-a)^n), F(x)=F(a)+F′(a)(x−a)+2!F′′(a)(x−a)2+⋯+n!F(n)(a)(x−a)n+o((x−a)n),求lim⁡x→af(x)F(x)\lim\limits_{x\to a}\frac{f(x)}{F(x)}x→alimF(x)f(x)就是在求下面式子的值：
lim⁡x→af(a)+f′(a)(x−a)+f′′(a)2!(x−a)2+⋯+f(n)(a)n!(x−a)n+o((x−a)n)F(a)+F′(a)(x−a)+F′′(a)2!(x−a)2+⋯+F(n)(a)n!(x−a)n+o((x−a)n),\lim\limits_{x\to a}\frac{f(a)+f'(a)(x-a)+\frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2+\cdots+\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n+o((x-a)^n)}{F(a)+F'(a)(x-a)+\frac{F''(a)}{2!}(x-a)^2+\cdots+\frac{F^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n+o((x-a)^n)},x→alimF(a)+F′(a)(x−a)+2!F′′(a)(x−a)2+⋯+n!F(n)(a)(x−a)n+o((x−a)n)f(a)+f′(a)(x−a)+2!f′′(a)(x−a)2+⋯+n!f(n)(a)(x−a)n+o((x−a)n),
就和使用泰勒公式求极限时的过程一样，只用看最低阶项的系数也就是最低阶导数比值即可，因此只要较低阶导数的值为零就可以看高一阶多项式的系数之比，也就是下一阶导数之比，这也是在满足要求时可以分子分母不断求导来使用洛必达法则的原因。

3. 泰勒公式与等价无穷小代换

1) 等价无穷小定义

如果lim⁡βα=1\lim \frac{\beta}{\alpha}=1limαβ=1，那么就说β\betaβ是α\alphaα的等价无穷小，记作α∼β.\alpha \sim \beta.α∼β.

2) 等价无穷小的充要条件

定理一~~~~ β\betaβ与α\alphaα是等价无穷小的充分必要条件为
β=α+o(α)(11)\beta =\alpha +o(\alpha)\tag{11}β=α+o(α)(11) 此处的高阶无穷小同样可以理解为两者的差相对于主要项来说可以忽略，因此两者在一定条件下可以代换。

3) 从等价代换的限制中理解两者之间的关系

很容易发现，等价代换就是将泰勒公式中的前一项或前两项代换掉原函数，相当于是简化后的泰勒展开，所以两者在本质上是一样的。如果有一定的基础就应该知道，等价无穷小的代换一般不能在加减运算的某一项中进行，只能在乘除运算的某项中进行，这涉及到泰勒展开的误差问题，也就是余项。
以1中的例题为例，如果直接将分子上的ex−1e^x-1ex−1带换成xxx，那么分子就成为000，显然是不对的，这是因为余项并不是零，它是有值的，同时，它相对于分母存在不可忽略的项，分母相对于分子也存在不可忽略的项（也就是最低阶数相等），所以结果是一个常数。正是因为加减运算中并不能保证余项代表的误差一直可以忽略，所以一般不能代换（这样看来加减运算中最好多展开几项更容易分析）。
而在乘除运算中，余项中都是高阶的多项式，如果乘以（或除以）和他们同阶、低阶或高阶的多项式，结果依然是一个相对于主项是高阶的多项式（因为主项也得相应地乘以或除以同阶、低阶或高阶的多项式），依然可以忽略。
举一个简单的例子，求解：
lim⁡x→0[ln(x+1)x]1x\lim\limits_{x\to 0}[\frac{ln(x+1)}{x}]^{\frac{1}{x}}x→0lim[xln(x+1)]x1
这是一道乘方运算的例子，但是道理相同，这里分子上的ln(x+1)ln(x+1)ln(x+1)不能直接代换为xxx，因为剩下的余项会因趋近于无穷的指数被放大，所以答案必不可能是1（具体计算不列出了，答案应该是e−12e^{-\frac{1}{2}}e−21）。

四、泰勒公式与函数极值的关系

1. 函数极值

定义~~~~ 设函数f(x)f(x)f(x)在点x0x_0x0的某邻域U(x0)U(x_0)U(x0)内有定义，如果对于去心邻域U˚(x0)\mathring{U}(x_0)U˚(x0)内的任一xxx，有f(x)<f(x0)（或f(x)>f(x0)）,f(x)<f(x_0)（或f(x)>f(x_0)）,f(x)<f(x0)（或f(x)>f(x0)）,那么就称f(x0)f(x_0)f(x0)是函数f(x)f(x)f(x)的一个极大值（或极小值）.
由此可知，对函数极值的通俗解释就是，函数在某点的邻域内有定义，如果在该点的函数值大于（或小于）两侧的函数值，则函数在该点取得最大值（或最小值）。

2. 泰勒公式与函数极值的判定

首先写出函数在某点（设为x0x_0x0）邻域内的泰勒展开式：
f(x)=f(x0)+f′(x0)(x−x0)+f′′(x0)2!(x−x0)2+⋯+f(n)(x0)n!(x−x0)n+Rn(x)f(x) = f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\cdots+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+R_n(x) f(x)=f(x0)+f′(x0)(x−x0)+2!f′′(x0)(x−x0)2+⋯+n!f(n)(x0)(x−x0)n+Rn(x) 根据之前的分析可以知道，在自变量x→x0x\to x_0x→x0的变化过程中，高阶项的值相对于低阶项的值影响不大，可以忽略，这样分析领域内的函数值是否大于x0x_0x0处函数值时，需从最低阶项开始（下面的分析中默认函数具有高阶导数，实际上，就算不存在高阶导数，极值的判断也不会受到影响）：
a. 如果f′(x)f'(x)f′(x)的在x0x_0x0两侧的值是异号，则函数在x0x_0x0两侧先增后减或先减后增，该点为极值点，如果同号则不是极值，这对应于《高等数学》中判断极值的第一充分条件；
b. 如果f′(x0)=0f'(x_0)=0f′(x0)=0，那么泰勒公式退化为：
f(x)=f(x0)+f′′(x0)2!(x−x0)2+⋯+f(n)(x0)n!(x−x0)n+Rn(x)f(x) = f(x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\cdots+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+R_n(x) f(x)=f(x0)+2!f′′(x0)(x−x0)2+⋯+n!f(n)(x0)(x−x0)n+Rn(x)由于(x−x0)2(x-x_0)^2(x−x0)2肯定大于零，只需看f′′(x0)f''(x_0)f′′(x0)。如果f′′(x0)>0f''(x_0)>0f′′(x0)>0那么x0x_0x0两侧的值f(x)>f(x0)f(x)>f(x_0)f(x)>f(x0)，则x0x_0x0为极小值；反之，则为极大值，这对应于《高等数学》中判断极值的第二充分条件；
c. 如果f′(x0)=0f'(x_0)=0f′(x0)=0且f′′(x0)=0f''(x_0)=0f′′(x0)=0，那么泰勒公式退化为：
f(x)=f(x0)+f′′′(x0)3!(x−x0)3+⋯+f(n)(x0)n!(x−x0)n+Rn(x)f(x) = f(x_0)+\frac{f'''(x_0)}{3!}(x-x_0)^3+\cdots+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+R_n(x) f(x)=f(x0)+3!f′′′(x0)(x−x0)3+⋯+n!f(n)(x0)(x−x0)n+Rn(x)由于(x−x0)3(x-x_0)^3(x−x0)3在x>x0x>x_0x>x0时为正数，在x<x0x<x_0x<x0时为负数，则需看f′′′(x0)f'''(x_0)f′′′(x0)，如果f′(x)f'(x)f′(x)的在x0x_0x0两侧的值是异号，该点为极值点，否则不是极值点；
d. 依次类推，在低阶导数为零时，根据剩余项中最低阶的导数情况则可以判断某点是否为极值点。

五、总结

从实质上说，如果一个函数具有各阶导数，那么它的泰勒展开式和它本身必然是等价的，泰勒公式的巧妙在与，它确实将函数写成了简单的以导数为系数的多项式之和，逐项分析的方法比直接分析原函数要简单的多，但是性质和效果上并没有变化，所以在解决问题时，泰勒公式给我们提供了一个很好的思路。

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