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数学分析笔记-菲赫金哥尔茨-第一卷-极限论

1.整序变量及其极限

22.变量、整序变量。

整序变量的定义（序列，估计数列，级数…也行）。
整序变量的给定（给定通项公式，或者给定某种规则使得整个序列可以逐一算出）

23.整序变量的极限。

对于每一个正数 ϵ \epsilon，不论它怎样小，恒有序号 N N，使在n>Nn>N时，一切 xn x_n的值满足不等式 |xn−a|<ϵ |x_n-a|，则常数 a a称为整序变量x=xnx=x_n的极限。

24.无穷小量。极限为零的整序变量 xn x_n称为无穷小量，或简称无穷小。

事实上，无穷小数这样一个变量，它仅在自己变化过程中，可以变为小于（绝对值小于）任意选取的数 ϵ \epsilon。
整序变量 xn x_n以常数 a a为极限的必要而且充分的条件是：他们的差an=xn−aa_n=x_n-a是无穷小。
若常数 a a与整序变量xnx_n的差是无穷小量，则 a a称为整序变量xnx_n的极限。

25.例题。

通过例1），2），和3）看出：变量的值是否均在极限值的一方；变量是否每一步都向其极限接近，变量是否能达到极限，即是否具有等于极限的数值；这些都不重要。重要的仅仅是定义当中说的：变量在项数充分远时，与极限之差是要任意小的。
如果只是要证明极限的存在，则这种场合我们总不关心于 Nϵ N_\epsilon的最下可能的数值。只需保证给出“极限定义”的不等式成立即可。至于从哪一项开始，位置远些或近些，可以不去管它。
具有有限和的级数就是收敛的；否则，就是发散的。（这里的收敛于发散是关于“级数的定义”，本初关于收敛于发散的定义和哈工大工科数学分析中的定义不一致）。

25.关于有极限的整序变量的一些定理。

1°. 若整序变量 xn x_n趋于极限a，又a>p(a< q)，则一切变量的数值，从某项开始，亦将>p(< q).

2°. 若整序变量 xn x_n趋于极限a > 0(< 0)，则变量本身从某项开始亦必有 xn x_n>0 ( < 0)。

3°.若整序变量 xn x_n趋于异于零的极限a，则必有充分远的 xn x_n的值，其绝对值得超过某正数r: |xn|>r>0 |x_n|>r>0 (n>N).

4°.另一方面，若整序变量 xn x_n有极限a，则 xn x_n 必定是有界的，意即，它的一切值在绝对值上不超过某一有限的界： |xn|≤M |x_n| \leq M (M=常数；n=1,2, …).

5°. 整序变量 xn x_n不能同时趋于两个相异的极限。

附注 I. xn x_n 为有界变量的定义也（另一种定义通过绝对值）可以用不等式 k≤xn≤g k \leq x_n \leq g (n=1,2,…)来表示，式中k及g为两个有限的数。

附注 II. 命题4°不能逆述。

27. 无穷大量。

无穷大量，在某种意义上是与无穷销量相反的。
若整序变量 xn x_n，由某项开始，其绝对值变成且保持着大于与现制定的任意大数 E>0 E>0， |xn|>E |x_n|>E （当 n>NE n>N_E时）， xn x_n便称为无穷大。

如同在无穷小的情形下，这里亦需要着重指出，无穷大量的任一个别数值都不能当做“大量”看待。我们这里所讨论的是这样的变量，它仅在本身改变的过程中可以大于任意选取的数 E E。

若整序变量xnx_n成为无穷大，并且（至少在充分大的n时）保持着一定的符号（+或-），这时，按照符号的正或负，我们说 xn x_n有极限 +∞ +\infty或 −∞ -\infty，并写成：

limxn=+∞,xn→+∞

\lim x_n = +\infty, x_n \rightarrow +\infty 或

limxn=−∞,xn→−∞

\lim x_n = -\infty, x_n \rightarrow -\infty

若整序变量 xn x_n是无穷大，则它的倒数 αn=1xn \alpha_n=\frac{1}{x_n}将成无穷小；若整序变量 αv \alpha_v（不等于零）是无穷小，则其倒数 xn=1αn x_n=\frac{1}{\alpha_n}将成无穷大。

2. 极限的定理·若干容易求得的极限

28. 对等式及不等式取极限

当我们用等号或不等号联接两个整序变量 xn x_n及 yn y_n时，我们所知的总是他们的对应数值，及具有同一序号的数值。

1°. 若两个整序变量 xn x_n， yn y_n在它们的一切变化过程中总是相等： xn=yn x_n=y_n，并且各区域有限极限： limxn=a \lim x_n=a， limyn=b \lim y_n=b，则这些极限必相等： a=b a=b。

2°. 若两个整序变量 xn x_n， yn y_n恒满足不等式 xn≥yn x_n\geq y_n，并且各趋于有限极限： limxn=a \lim x_n=a， limyn=b \lim y_n=b，则必 a≥b a \geq b。

这定理使我们得以对不等式（连同着等号的）取极限：由 xn≥yn x_n \geq y_n得结论： limxn≥limyn \lim x_n \geq \lim y_n。当然，各处的 ≥ \geq号都可以换成 ≤ \leq号。

需要注意的是，由严格的不等式 xn>yn x_n>y_n，一般来说，不能推得严格的不等式 limxn>limyn \lim x_n> \lim y_n，而仅能推得： limxn≥limyn \lim x_n \geq \lim y_n。

3°. 若整序变量 xn x_n， yn y_n， zn z_n恒满足不等式 xn≤yn≤zn x_n\leq y_n \leq z_n，并且 xn x_n及 zn z_n趋向同一极限a: limxn=limzn=a \lim x_n = \lim z_n =a ，则 yn y_n亦必以a为极限： limyn=a \lim y_n=a。

由这定理，可以推得：若对于一切 n n，a≤yn≤zna\leq y_n \leq z_n，且已知 zn→a z_n\rightarrow a 则亦必有 yn→a y_n \rightarrow a。

29. 关于无穷小的引理

引理1. 任何有限个无穷小的和亦是无穷小。

引理2. 有界变量 xn x_n与无穷小 αn \alpha_n的乘积仍是无穷小。

30. 变量的算术运算

1°. 若整序变量 xn x_n， yn y_n趋于有限极限： limxn=a \lim x_n=a， limyn=b \lim y_n=b，则它们的和（差）仍趋于有限极限，并且 lim(xn±yn)=a±b \lim (x_n \pm y_n)=a \pm b。

2°. 若整序变量 xn x_n， yn y_n趋于有限极限： limxn=a \lim x_n=a， limyn=b \lim y_n=b，则它们的积仍趋于有限极限，并且 lim(xnyn)=ab \lim (x_n y_n)=a b。

3°. 若整序变量 xn x_n， yn y_n趋于有限极限： limxn=a \lim x_n=a， limyn=b \lim y_n=b，并且 b b异于0，则它们的比仍趋于有限极限，并且limxnyn=ab\lim \frac{x_n}{y_n}=\frac{a}{b}。

31. 不定式

首先我们来看商 xnyn \frac{x_n}{y_n}

1°. 设两个变量 xn x_n， yn y_n同时趋于零，在不知道这些整序变量本身是，我们不能作出任何一般的论断。

2°. 在同时 xn→±∞ x_n\rightarrow \pm \infty及 yn→±∞ y_n \rightarrow \pm \infty的情形，亦有类似的情况。

转而考察积 xnyn x_n y_n

3°. 若 xn x_n趋于零，同时 yn y_n趋于 ±∞ \pm \infty，在研究积 xnyn x_n y_n的性态时候，如果不知道这些整序变量本身是，我们不能作出任何一般的论断。

最后，考察代数和 xn+yn x_n+y_n

4°. 这里讲当 xn x_n及 yn y_n趋于异号的无穷大时，若果不知道这些整序变量本身是，则不可能确定 xn+yn x_n+y_n的极限。

不可能解答的四种情形： 00,∞∞,0⋅∞,∞−∞ \frac{0}{0},\frac{\infty}{\infty},0\cdot\infty,\infty-\infty。

32. 极限求法的例题。

在例9)中，以及以后的例题中，经常用到的一个公式。假设 a>1 a>1，用 a=1+λ，(λ>0) a=1+\lambda， (\lambda>0)来表示 a a，我们有

an=(1+λ)n=(n0)+(n1)λ+(n2)λ2+...+(nn−1)λn−1+(nn)λn>(n2)λ2=n(n−1)2λ2

a^n=(1+\lambda)^n= \binom{n}{0} +\binom{n}{1}\lambda +\binom{n}{2}\lambda^2 + ... + \binom{n}{n-1} \lambda^{n-1} + \binom{n}{n} \lambda^n > \binom{n}{2}\lambda^2 = \frac{n(n-1)}{2}\lambda^2

33. 斯托尔茨定理及其应用。

为了要确定 ∞∞ \frac{\infty}{\infty}型不定式 xnyn \frac{x_n}{y_n} 的极限，斯托尔茨定理经常是有用的。设整序变量 yn→+∞ y_n \rightarrow +\infty, 并且——至少从某一项开始——在 n n增大时yny_n亦增大： yn+1>yn y_{n+1}>y_n，则

limxnyn=limxn−xn−1yn−yn−1

\lim \frac{x_n}{y_n} = \lim \frac{x_n-x_{n-1}}{y_n- y_{n-1}}
只需等式右边的极限为已知或存在(有限或 ±∞ \pm \infty)。

3. 单调整序变量

34. 单调整序变量的极限

若整序变量 xn x_n有

x1<x2<...<xn<xn+1<...

x_1
就是说，若 n′>n n'>n，必有 xn′>xn x_{n'}>x_n，这时我们把 xn x_n称为是 增大的。

若

x1≤x2≤...≤xn≤xn+1≤...

x_1 \leq x_2 \leq ... \leq x_n \leq x_{n+1} \leq ...
就是说，若 n′>n n'>n，必有 xn′≥xn x_{n'} \geq x_n，这时我们把 xn x_n称为是 不减小的。.若对于增的这一术语，赋予更广泛的意义，则在上述的后一种情形亦可以称为增的变量.

仿此，可建立减小的一一狭义的或广义的一一变量的概念（笔记中不在赘述）。

一切这种类型的，向单一方向改变的变量总称为单调变量。

定理： *设已给单调增大的整序变量 xn x_n，若它上有界:

xn≤M(M=constant;n=1,2,...)

x_n \leq M \qquad \qquad (M=\text{constant}; n=1,2,...)
则必有一有限的极限，否则，它趋向 +∞ +\infty。完全同样地，单调减小的整序变量 xn x_n恒有极限.若它下有界:

xn≥M(M=constant;n=1,2,...)

x_n \geq M \qquad \qquad (M=\text{constant}; n=1,2,...)
则它的极限是有限的，否则它的极限为 −∞ -\infty.*

35. 例题

3）计算机计算倒数方法…

4）求不出来 an a_n与 bn0 b_n0的极限，但是知道两个极限相等。可以用椭圆积分求。