复变函数总结一：复变函数

这个总结文章本来是学完复变函数之后的复习总结，打印应付考试用的，后来假期里面又添加了一些公式、注意点什么的，稍稍完善了一些。

本文主要整理自我的复变函数老师的课件和作业、相关教材和上课笔记，不做商用，侵删。

一方面考虑到当初我学习的时候四处查资料的痛苦，就想服务一下学习复变的孩子们，另一方面也想整理一个合集，方便后面课程学习时查找（比如电磁波），还有就是想要鞭策自己啦，别再咕咕咕了。

手打公式难免有些小问题，如果有什么错误欢迎大家指正哈，评论或者私信都可以。

这一篇包含复变函数的主要内容，包括：

复数及其运算，复变函数及其性质
解析函数，导数
柯西积分定理，柯西积分公式
幂级数和泰勒级数
洛朗级数
留数定理

一、复变函数

复数和复变函数

复数及运算

复数的表示：

z=x+iyz=x+iyz=x+iy
z=ρ(cos⁡φ+isin⁡φ)z=\rho (\cos \varphi +i \sin \varphi)z=ρ(cosφ+isinφ)
z=ρeiφ\displaystyle z=\rho e^{i\varphi}z=ρeiφ

ρ\rhoρ是复数的模，φ=Argz=argz+2kπ\varphi=Arg z=arg z+2k\piφ=Argz=argz+2kπ是复数的辐角。

共轭复数：z∗=x−iy=ρe−iφ\displaystyle z^{*}=x-iy=\rho e^{-i\varphi}z∗=x−iy=ρe−iφ

复数的运算：

加法
z1+z2=(x1+x2)+i(y1+y2)z_1+z_2=(x_1+x_2)+i(y_1+y_2) z1+z2=(x1+x2)+i(y1+y2)
有三角不等式：
∣z1+z2∣≤∣z1∣+∣z2∣|z_1+z_2| \leq |z_1| +|z_2| ∣z1+z2∣≤∣z1∣+∣z2∣
减法
z1−z2=(x1−x2)+i(y1−y2)z_1-z_2=(x_1-x_2)+i(y_1-y_2) z1−z2=(x1−x2)+i(y1−y2)
有三角不等式：
∣z1−z2∣≥∣z1∣−∣z2∣|z_1-z_2|\geq|z_1|-|z_2| ∣z1−z2∣≥∣z1∣−∣z2∣
乘法
z1z2=(x1x2−y1y2)+i(x1y2+x2y1)z_1z_2=(x_1x_2-y_1y_2)+i(x_1y_2+x_2y_1) z1z2=(x1x2−y1y2)+i(x1y2+x2y1)

z1z2=ρ1ρ2ei(φ1+φ2)z_1z_2=\rho_1 \rho_2 e^{i(\varphi_1+\varphi_2)} z1z2=ρ1ρ2ei(φ1+φ2)
除法
z1z2=x1+iy1x2+iy2=x1x2+y1y2x22+y22+ix2y1−x1y2x22+y22\frac{z_1}{z_2}=\frac{x_1+iy_1}{x_2+iy_2}=\frac{x_1x_2+y_1y_2}{x_2^2+y_2^2}+i\frac{x_2y_1-x_1y_2}{x_2^2+y_2^2} z2z1=x2+iy2x1+iy1=x22+y22x1x2+y1y2+ix22+y22x2y1−x1y2

z1z2=ρ1ρ2ei(φ1−φ2)\frac{z_1}{z_2}=\frac{\rho_1}{\rho_2}e^{i(\varphi_1-\varphi_2)} z2z1=ρ2ρ1ei(φ1−φ2)
乘方
zn=ρneinφz^n=\rho^n e^{in\varphi} zn=ρneinφ
开方
zn=ρneiφn\sqrt[n]{z}=\sqrt[n]{\rho}e^{i\frac{\varphi}{n}} nz=nρeinφ

注：在计算复数的开方时，要注意将辐角φ\varphiφ写成argz+2kπargz+2k\piargz+2kπ的形式，便于确定最终开方后得到的复数的个数。

复变函数及性质

几个常见的初等复变函数：

ez=ex+iy=ex(cos⁡y+isin⁡y)sin⁡z=12i(eiz−e−iz),cos⁡z=12(eiz+e−iz)shz=12(ez−e−z),chz=12(ez+e−z)ln⁡z=ln⁡(∣z∣eiArgz)=ln⁡∣z∣+iArgzzs=esln⁡z\begin{aligned} & e^z=e^{x+iy}=e^x(\cos y+i \sin y)\\ & \sin z=\frac{1}{2i}(e^{iz}-e^{-iz}), \cos z=\frac{1}{2}(e^{iz}+e^{-iz})\\ & sh z=\frac{1}{2}(e^z-e^{-z}), ch z=\frac{1}{2}(e^z+e^{-z})\\ & \ln z=\ln (|z|e^{i Arg z})=\ln |z|+ iArg z\\ & z^s=e^{s \ln z} \end{aligned} ez=ex+iy=ex(cosy+isiny)sinz=2i1(eiz−e−iz),cosz=21(eiz+e−iz)shz=21(ez−e−z),chz=21(ez+e−z)lnz=ln(∣z∣eiArgz)=ln∣z∣+iArgzzs=eslnz

复变函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)f(z)=u(x,y)+iv(x,y)f(z)=u(x,y)+iv(x,y)可以归结为对应于一对二元实变函数。

解析函数

复变函数导数

复变函数可导的定义：

函数w=f(z)w=f(z)w=f(z)是在区域B上定义的单值函数，在B上某点z，极限
lim⁡Δz→0ΔwΔz=lim⁡Δz→0f(z+Δz)−f(z)Δz\lim_{\Delta z \to 0}{\frac{\Delta w}{\Delta z}}=\lim_{\Delta z \to 0}{\frac{f(z+\Delta z)-f(z)}{\Delta z}} Δz→0limΔzΔw=Δz→0limΔzf(z+Δz)−f(z)
存在且与Δz→0\Delta z\to 0Δz→0的方式无关，则称函数w=f(z)w=f(z)w=f(z)在z点可导。

复变函数的导数满足实变函数导数中的大多数运算性质，如加法、减法、乘法、除法、求倒、链式法则。

函数可导的必要条件：Cauchy-Riemann方程/条件

∂u∂x=∂v∂y∂v∂x=−∂u∂y\begin{aligned} \frac{\partial u}{\partial x}& =\frac{\partial v}{\partial y}\\ \frac{\partial v}{\partial x}&=-\frac{\partial u}{\partial y} \end{aligned} ∂x∂u∂x∂v=∂y∂v=−∂y∂u

此时：
f′(z)=∂u∂x+i∂v∂yf'(z)=\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial y} f′(z)=∂x∂u+i∂y∂v

函数可导的充要条件: u(x,y),v(x,y)都可微，且满足柯西-黎曼条件。

解析函数

定义

如果f(z)在点z0z_0z0及其邻域上处处可导，则称f(z)在点z0z_0z0解析；

如果f(z)在区域B上的每一点解析，则称f(z)是区域B上的解析函数。

**若函数f(z)=u+iv在区域B上解析，则u,v都是区域B上的调和函数。**即：

∂2u∂x2+∂2u∂y2=0,∂2v∂x2+∂2v∂y2=0\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\frac{\partial ^2 u}{\partial y^2}=0, \frac{\partial ^2 v}{\partial x^2}+\frac{\partial ^2 v}{\partial y^2}=0 ∂x2∂2u+∂y2∂2u=0,∂x2∂2v+∂y2∂2v=0

计算v=∫dv\displaystyle v=\int dvv=∫dv的方法：
- 曲线积分法：选取特殊路径（比如：矩形的两边）作为积分路径；
- 凑全微分显式法；
- 不定积分法：对每个变量逐个积分。
函数解析的充要条件：u,v在区域B上可微，且满足柯西-黎曼条件。

注：

解析函数的实部或虚部必须是调和函数；

求v=∫dv\displaystyle v=\int dvv=∫dv时，可以采用极坐标。

复变函数积分

对z=x+iy,f=u+ivz=x+iy,f=u+ivz=x+iy,f=u+iv，
∫lf(z)dz=∫l(udx−vdy)+i∫l(vdx+udy)\int_l f(z) dz=\int _l (udx-vdy)+i\int_l(vdx+udy) ∫lf(z)dz=∫l(udx−vdy)+i∫l(vdx+udy)

柯西积分定理

单连通区域柯西定理

如果函数f(z)在闭单连通区域B‾\overline{B}B上解析，则沿B‾\overline{B}B上任何一段光滑闭合曲线lll（也可以是B‾\overline{B}B的边界），有：
∮lf(z)dz=0\oint_l f(z)dz=0 ∮lf(z)dz=0

复连通区域柯西定理

如果函数f(z)是闭复连通区域B‾\overline{B}B中的单值解析函数，则有：
∮lf(z)dz+∑i=1n∮lif(z)dz=0\oint_l{f(z)dz}+\sum_{i=1}^{n}{\oint_{l_i}f(z)dz}=0 ∮lf(z)dz+i=1∑n∮lif(z)dz=0
其中，lll表示区域外边界线，lil_ili表示区域内边界线，积分均按照边界线的正方向进行。

复连通区域柯西定理也可以写作下列形式：（更加常用的形式，在边界里面挖洞之后将外边界积分转化为内边界积分之和）
∮lf(z)dz=∑i=1n∮lif(z)dz\oint_l f(z)dz=\sum_{i=1}^n \oint_{l_i}{f(z)dz} ∮lf(z)dz=i=1∑n∮lif(z)dz
积分均按照逆时针方向。

非常有用的一个环路积分(尤其是在留数定理中应用甚广)

12πi∮ldzz−α={0forl不包围α1forl包围α12πi∮l(z−α)ndz=0,(n≠−1)\begin{aligned} & \frac{1}{2\pi i}\oint_l{\frac{dz}{z-\alpha}}= \left\{ \begin{array}{rcl} & 0 & for & l不包围\alpha\\ &1 & for & l包围\alpha \end{array} \right .\\ & \frac{1}{2\pi i }\oint_l{(z-\alpha)^ndz}=0, (n \neq -1) \end{aligned} 2πi1∮lz−αdz={01forforl不包围αl包围α2πi1∮l(z−α)ndz=0,(n=−1)

柯西积分公式

柯西积分公式

f(α)=12πi∮lf(ζ)ζ−zdζf(\alpha)=\frac{1}{2\pi i}\oint_l {\frac{f(\zeta)}{\zeta -z}d\zeta} f(α)=2πi1∮lζ−zf(ζ)dζ

f(n)(z)=n!2πi∮lf(ζ)(ζ−z)n+1dζf^{(n)}(z)=\frac{n!}{2\pi i}\oint_l{\frac{f(\zeta)}{(\zeta -z)^{n+1}}d\zeta} f(n)(z)=2πin!∮l(ζ−z)n+1f(ζ)dζ

利用柯西积分公式可以将积分转化为某点的函数值。

刘维尔定理

如果函数f(z)在全平面上解析，并且是有界的，即∣f(z)≤M∣|f(z)\leq M|∣f(z)≤M∣，则函数f(z)一定为常数。

幂级数和泰勒级数

有复数项的无穷级数的收敛问题，可以转化为实部和虚部两个实数项级数的收敛问题。

幂级数

对幂级数∑k=0∞ak(z−z0)k\displaystyle \sum_{k=0}^{\infty}{a_k(z-z_0)^k}k=0∑∞ak(z−z0)k，引入记号
R=lim⁡k→∞∣akak+1∣R=\lim_{k\to\infty}\vert \frac{a_k}{a_{k+1}} \vert R=k→∞lim∣ak+1ak∣
若∣z−z0∣<R|z-z_0|<R∣z−z0∣<R，则幂级数收敛。

幂级数在收敛圆的内部（比半径为R的圆稍小一点的闭区域）收敛，在收敛圆外部发散。

幂级数逐项积分和逐项微分都不改变收敛半径。

泰勒级数

定义：

设f(z)在以z0z_0z0为圆心的圆CRC_RCR上解析，则对圆内的任意z点，f(z)都可以展成幂级数：
f(z)=∑k=0∞ak(z−z0)k,f(z)=\sum_{k=0}^{\infty}a_k(z-z_0)^k, f(z)=k=0∑∞ak(z−z0)k,
其中，
ak=12πi∮CR1f(ζ)(ζ−z0)k+1dζ=1k!f(k)(z0)a_k=\frac{1}{2\pi i}\oint_{C_{R_1}}\frac{f(\zeta)}{(\zeta-z_0)^{k+1}}d\zeta=\frac{1}{k!}f^{(k)}(z_0) ak=2πi1∮CR1(ζ−z0)k+1f(ζ)dζ=k!1f(k)(z0)
CR1C_{R_1}CR1是CRC_RCR圆内包含z且与CRC_RCR同心的圆。

常用的泰勒级数展开

11−z=1+z+z2+…,∣z∣<1ez=∑k=0∞zkk!sin⁡z=∑k=0∞(−1)k(2k+1)!z2k+1cos⁡z=∑k=0∞(−1)k(2k)!z2k\begin{aligned} & \frac{1}{1-z}=1+z+z^2+\dots, |z|<1\\ & e^z=\sum_{k=0}^{\infty}{\frac{z^k}{k!}}\\ & \sin z=\sum _{k=0}^{\infty}{\frac{(-1)^k}{(2k+1)!}z^{2k+1}}\\ & \cos z=\sum_{k=0}^{\infty}{\frac{(-1)^k}{(2k)!}z^{2k}} \end{aligned} 1−z1=1+z+z2+…,∣z∣<1ez=k=0∑∞k!zksinz=k=0∑∞(2k+1)!(−1)kz2k+1cosz=k=0∑∞(2k)!(−1)kz2k

注：求某个函数的泰勒展开时，可以考虑用一些基本函数的泰勒展开代入、求导、积分等转化。

洛朗级数

定义：

设f(z)在环形区域R2<∣z−z0∣<R1R_2<|z-z_0|<R_1R2<∣z−z0∣<R1内部单值解析，则对于环域上任何一点z，f(z)可以展开为双边幂级数：
f(z)=∑k=−∞∞ak(z−z0)kf(z)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}{a_k(z-z_0)^k} f(z)=k=−∞∑∞ak(z−z0)k
其中，
ak=12πi∮lf(ζ)(ζ−z0)k+1dζa_k=\frac{1}{2\pi i}\oint_l{\frac{f(\zeta)}{(\zeta-z_0)^{k+1}}d\zeta} ak=2πi1∮l(ζ−z0)k+1f(ζ)dζ
这里，lll是环域内的绕内圆一周的任意闭合曲线。

将一个函数展开为洛朗级数，一般会用到下面的式子：
11−z=∑k=0∞zk,∣z∣<1\displaystyle \frac{1}{1-z}=\sum_{k=0}^{\infty}z^k,|z|<11−z1=k=0∑∞zk,∣z∣<1

孤立奇点的分类和判定

孤立奇点的定义：f(z)在z0z_0z0点不解析，但在z0z_0z0的0<∣z−z0∣<δ0<|z-z_0|<\delta0<∣z−z0∣<δ内解析，即在z0z_0z0的领域内解析。
孤立奇点的分类和判定：
Z=lim⁡z→z0f(z)\Zeta=\lim_{z\to z_0}f(z) Z=z→z0limf(z)

类型	定义	判定	取舍
可去奇点	展开式中不含有z−z0z-z_0z−z0的负幂项	Z=c0\Zeta=c_0Z=c0为常数	不作为奇点看待
极点	展开式中含有有限项z−z0z-z_0z−z0的负幂项	Z=∞\Zeta=\inftyZ=∞	留数可求且为重点
本性奇点	展开式中含有无限项z−z0z-z_0z−z0的负幂项	Z\ZetaZ不存在且不为∞\infty∞	难以刻画

零点和极点的关系：z0z_0z0是f(z)的m级零点⇔\Leftrightarrow⇔z0z_0z0是1f(z)\displaystyle \frac{1}{f(z)}f(z)1的m级极点。

留数定理

留数的定义

z0z_0z0是f(z)f(z)f(z)的孤立奇点，即存在R使f(z)f(z)f(z)在圆环0<∣z−z0∣<R0<|z-z_0|<R0<∣z−z0∣<R内解析，其洛朗展开为：
f(z)=∑k=−∞∞ak(z−z0)kf(z)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}{a_k(z-z_0)^k} f(z)=k=−∞∑∞ak(z−z0)k
其中项(z−z0)−1(z-z_0)^{-1}(z−z0)−1的系数
a−1=12πi∮∣z−z0∣=rf(z)dz,0<r<Ra_{-1}=\frac{1}{2\pi i}\oint_{|z-z_0|=r}f(z)dz,0<r<R a−1=2πi1∮∣z−z0∣=rf(z)dz,0<r<R
称为f(z)在点z0z_0z0的留数，记作Resf(z0)Res f(z_0)Resf(z0)

留数定理

设函数f(z)在回路lll上所围区域B上除有限个孤立奇点z1,z2,…,znz_1,z_2,\dots,z_nz1,z2,…,zn外解析，在闭区域B‾\overline{B}B上除z1,z2,…,znz_1,z_2,\dots,z_nz1,z2,…,zn外连续，则：
∮lf(z)dz=2πi∑k=1nResf(zk)\oint_l f(z)dz=2\pi i \sum_{k=1}^{n}Res f(z_k) ∮lf(z)dz=2πik=1∑nResf(zk)

留数定理将积分问题转化为留数求解问题。

留数求解
- 单极点
Resf(z0)=lim⁡z→z0((z−z0)f(z));Resf(z0)=lim⁡z→z0(z−z0)P(z)Q(z)=P(z0)Q′(z0)，对于f(z)=P(z)Q(z)且P(z0)≠0,z0是Q(z)的一阶零点。Resf(z0)=(z+1)P(n)(z0)Q(n+1)(z0)，对于f(z)=P(z)Q(z)且z0是Q(z)的n+1阶零点，又是P(z)的n阶零点。\begin{aligned} & Res f(z_0)=\lim_{z\to z_0}((z-z_0)f(z));\\ & Res f(z_0)=\lim_{z\to z_0}\frac{(z-z_0)P(z)}{Q(z)}=\frac{P(z_0)}{Q'(z_0)}，对于f(z)=\frac{P(z)}{Q(z)}且P(z_0)\neq 0,z_0是Q(z)的一阶零点。\\ & Res f(z_0)=\frac{(z+1)P^{(n)}(z_0)}{Q^{(n+1)}(z_0)}，对于f(z)=\frac{P(z)}{Q(z)}且z_0是Q(z)的n+1阶零点，又是P(z)的n阶零点。 \end{aligned} Resf(z0)=z→z0lim((z−z0)f(z));Resf(z0)=z→z0limQ(z)(z−z0)P(z)=Q′(z0)P(z0)，对于f(z)=Q(z)P(z)且P(z0)=0,z0是Q(z)的一阶零点。Resf(z0)=Q(n+1)(z0)(z+1)P(n)(z0)，对于f(z)=Q(z)P(z)且z0是Q(z)的n+1阶零点，又是P(z)的n阶零点。
- n阶极点
Resf(z0)=lim⁡z→z01(z−1)!(dn−1dzn−1((z−z0)nf(z)))Res f(z_0)=\lim_{z\to z_0}\frac{1}{(z-1)!}(\frac{d^{n-1}}{dz^{n-1}}((z-z_0)^nf(z))) Resf(z0)=z→z0lim(z−1)!1(dzn−1dn−1((z−z0)nf(z)))
∞的留数

若∞是f(z)的孤立奇点，即存在R>0R>0R>0使得f(z)在圆环R<∣z−z0∣<+∞R<|z-z_0|<+\inftyR<∣z−z0∣<+∞内解析，其洛朗展开为：
f(z)=∑k=−∞∞akzkf(z)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}a_kz^k f(z)=k=−∞∑∞akzk
其中z−1z^{-1}z−1项的系数的相反数被称为∞点的留数，即：
Resf(∞)=−a−1=12πi∮∣z∣=rf(z)dz,r<r<+∞Res f(\infty)=-a_{-1}=\frac{1}{2\pi i}\oint_{|z|=r}f(z)dz, r<r<+\infty Resf(∞)=−a−1=2πi1∮∣z∣=rf(z)dz,r<r<+∞
可以证明：函数f(z)若在扩充复平面上只有有限个孤立奇点，则f(z)在各点的留数之和等于0。即：
Resf(∞)+∑k=1nResf(zk)=0Res f(\infty)+\sum_{k=1}^{n}Res f(z_k)=0 Resf(∞)+k=1∑nResf(zk)=0

留数定理在积分问题中的应用

类型一
I=∫02πR(cos⁡x,sin⁡x)dxI=\int_0^{2\pi}R(\cos x,\sin x)dx I=∫02πR(cosx,sinx)dx
被积函数是三角函数的有理式，积分区间是[0,2π][0,2\pi][0,2π]。

方法是变量替换：
z=eix∴cos⁡x=12(z+z−1),sin⁡x=12i(z−z−1),dx=1izdz\begin{aligned} & z=e^{ix}\\ \therefore & \cos x=\frac{1}{2}(z+z^{-1}),\sin x=\frac{1}{2i}(z-z^{-1}),dx=\frac{1}{iz}dz \end{aligned} ∴z=eixcosx=21(z+z−1),sinx=2i1(z−z−1),dx=iz1dz
注意不要用共轭复数z∗z^*z∗，注意积分空间是在单位圆内从而确定在单位圆内的极点个数
类型二
I=∫−∞∞f(x)dxI=\int_{-\infty}^{\infty}f(x)dx I=∫−∞∞f(x)dx
积分空间为(−∞,∞)(-\infty, \infty)(−∞,∞)，复变函数f(z)在实轴上没有奇点，在上半平面除了有限个奇点外都是解析的；当z在上半平面及实轴上→∞\to \infty→∞时，zf(z)一致的→∞\to \infty→∞。
I=∫−∞∞f(x)dx=2πi∑z0∈{上半平面内奇点全体}Resf(z0)I=\int_{-\infty}^{\infty}f(x)dx=2\pi i\sum_{z_0\in\{上半平面内奇点全体\}}Res f(z_0) I=∫−∞∞f(x)dx=2πiz0∈{上半平面内奇点全体}∑Resf(z0)
类型三
I1=∫0∞f(x)cos⁡mxdxI2=∫0∞g(x)sin⁡mxdx\begin{aligned} & I_1=\int_0^{\infty}f(x)\cos mx dx\\ & I_2=\int_0^{\infty}g(x)\sin mx dx \end{aligned} I1=∫0∞f(x)cosmxdxI2=∫0∞g(x)sinmxdx
积分区间[0,+∞)[0,+\infty)[0,+∞)，偶函数f(x)和奇函数g(x)在实轴上没有奇点，在上半平面除了有限个奇点外都是解析的；当z在上半平面及实轴上→∞\to \infty→∞时，f(z)和g(z)一致的→∞\to \infty→∞。

当m>0时：
I1=∫0∞f(x)cos⁡mxdx=12∫−∞∞f(x)eimxdx=πi∑z0∈{上半平面内全体奇点}Res(f(z0)eimz0)I2=∫0∞g(x)sin⁡mxdx=12i∫−∞∞g(x)eimxdx=π∑z0∈{上半平面内全体奇点}Res(g(z0)eimz0)\begin{aligned} & I_1=\int_0^{\infty}f(x)\cos mx dx=\frac{1}{2}\int_{-\infty}^{\infty}f(x)e^{imx}dx=\pi i\sum_{z_0\in\{上半平面内全体奇点\}}Res (f(z_0)e^{imz_0})\\ & I_2=\int_0^{\infty}g(x)\sin mx dx=\frac{1}{2i}\int_{-\infty}^{\infty}g(x)e^{imx}dx=\pi \sum_{z_0\in\{上半平面内全体奇点\}}Res(g(z_0)e^{imz_0}) \end{aligned} I1=∫0∞f(x)cosmxdx=21∫−∞∞f(x)eimxdx=πiz0∈{上半平面内全体奇点}∑Res(f(z0)eimz0)I2=∫0∞g(x)sinmxdx=2i1∫−∞∞g(x)eimxdx=πz0∈{上半平面内全体奇点}∑Res(g(z0)eimz0)
当m<0时：
I1=∫0∞f(x)cos⁡mxdx=−πi∑z0∈{下半平面内全体奇点}Res(f(z0)eimz0)I2=∫0∞g(x)sin⁡mxdx=−π∑z0∈{下半平面内全体奇点}Res(g(z0)eimz0)\begin{aligned} & I_1=\int_0^{\infty}f(x)\cos mx dx=-\pi i\sum_{z_0\in\{下半平面内全体奇点\}}Res (f(z_0)e^{imz_0})\\ & I_2=\int_0^{\infty}g(x)\sin mx dx=-\pi \sum_{z_0\in\{下半平面内全体奇点\}}Res(g(z_0)e^{imz_0}) \end{aligned} I1=∫0∞f(x)cosmxdx=−πiz0∈{下半平面内全体奇点}∑Res(f(z0)eimz0)I2=∫0∞g(x)sinmxdx=−πz0∈{下半平面内全体奇点}∑Res(g(z0)eimz0)
类型四
I=∫−∞∞f(x)dxI=\int_{-\infty}^{\infty}f(x)dx I=∫−∞∞f(x)dx
函数f(z)在实轴上有单极点z=αz=\alphaz=α，除此之外，函数f(z)满足类型二或者类型三。
∫−∞∞f(x)dx=2πi∑z0∈{上半平面内全体奇点}Resf(z0)+πi∑α∈{实轴上的全体奇点}Resf(α)\int_{-\infty}^{\infty}f(x)dx=2\pi i\sum_{z_0\in\{上半平面内全体奇点\}}Res f(z_0)+\pi i \sum_{\alpha \in \{实轴上的全体奇点\}}Res f(\alpha) ∫−∞∞f(x)dx=2πiz0∈{上半平面内全体奇点}∑Resf(z0)+πiα∈{实轴上的全体奇点}∑Resf(α)
α只能是单极点，当为二阶及以上极点时，积分为∞，当为本性奇点时，积分不存在。