复变函数与解析函数

Author : Benjamin142857

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0 .几个基本概念

实虚部
Plural:z=x+iyReal:x=RezImaginary:y=ImzPlural:\ \ \ z=x+iy \\ Real:\ \ \ x = Re\ z \\ Imaginary: \ \ \ y=Im\ z Plural: z=x+iyReal: x=Re zImaginary: y=Im z
辐角

θ0\theta_0θ0 : 唯一； −π<θ0<π-\pi < \theta_0 < \pi−π<θ0<π，

θ\thetaθ : 无穷个； θ=θ0+2kπ(k∈Z)\theta = \theta_0 + 2k\pi\ \ \ (k\in Z)θ=θ0+2kπ (k∈Z)
- 主辐角
  θ0=argz\theta_0 = arg\ z θ0=arg z
- 辐角
  θ=Argz\theta = Arg\ z θ=Arg z

1. 复数常用运算

复数运算满足交换律、结合律、分配律、以下是几种常用的快捷运算

(1.1)z1z2=(x1x2−y1y2)+i(x1y2+x2y1)z_1z_2 = (x_1x_2-y_1y_2)+i(x_1y_2+x_2y_1)\tag{1.1} z1z2=(x1x2−y1y2)+i(x1y2+x2y1)(1.1)

(1.2)z1z2=x1x2+y1y2x22+y22+ix2y1−x1y2x22+y22\frac{z_1}{z_2} = \frac{x_1x_2+y_1y_2}{x_2^2+y_2^2} + i\frac{x_2y_1-x_1y_2}{x_2^2+y_2^2}\tag{1.2} z2z1=x22+y22x1x2+y1y2+ix22+y22x2y1−x1y2(1.2)

(1.3)z1±z2‾=z1‾±z2‾,z1z2‾=z1‾⋅z2‾,(z1z2)‾=z1‾z2‾\overline{z_1\pm z_2} =\overline{z_1} \pm \overline{z_2},\ \ \ \ \overline{z_1z_2} =\overline{z_1}·\overline{z_2},\ \ \ \ \overline{(\frac{z_1}{z_2})} = \frac{\overline{z_1}}{\overline{z_2}}\tag{1.3} z1±z2=z1±z2, z1z2=z1⋅z2, (z2z1)=z2z1(1.3)

(1.4)z⋅z‾=(Rez)2+(Imz)2z·\overline{z} = (Re\ z)^2+(Im\ z)^2\tag{1.4} z⋅z=(Re z)2+(Im z)2(1.4)

2. 各种复数表示式

三角表示式 ⇔\Leftrightarrow⇔ 指数表示式 : 欧拉公式

常规复数 - 表示式
(2.1)z=x+iyz = x+iy\tag{2.1} z=x+iy(2.1)
复平面点 - 表示式
(2.2)z=(x,y)z = (x, y)\tag{2.2} z=(x,y)(2.2)
复平面向量 - 表示式
(2.3)z=OP→z = \overrightarrow{OP}\tag{2.3} z=OP(2.3)
三角 - 表示式
(2.4)z=r⋅(cosθ+isinθ)z = r·(cos\theta + isin\theta)\tag{2.4} z=r⋅(cosθ+isinθ)(2.4)
指数 - 表示式

(2.5)z=r⋅eiθz = r·e^{i\theta}\tag{2.5} z=r⋅eiθ(2.5)

复球面 - 表示法
N：北极 - 无穷远点

S：南极 - 复平面原点

Describe : 复平面一点 PPP 与 NNN 连线交于复球面的一点 QQQ ，QQQ的位置可完全表示复数信息
- OPOPOP 方向表示：作 ONONON 上一点 O′O'O′ 使得 O′Q//OPO'Q // OPO′Q//OP，O′QO'QO′Q 方向即 OPOPOP 方向
- OPOPOP 大小表示：QQQ 离 NNN 越近越大，越远越小

3. 乘幂与方根

z1=r1(cosθ1+isinθ1)z_1 = r_1(cos\theta_1+isin\theta_1)z1=r1(cosθ1+isinθ1)

z2=r2(cosθ2+isinθ2)z_2 = r_2(cos\theta_2+isin\theta_2)z2=r2(cosθ2+isinθ2)

乘幂
(3.1)z1z2=r1r2(cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2))=r1r2ei(θ1+θ2)z_1z_2 = r_1r_2(cos(\theta_1 + \theta_2) + isin(\theta_1 + \theta_2))=r_1r_2e^{i(\theta_1 + \theta_2)}\tag{3.1} z1z2=r1r2(cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2))=r1r2ei(θ1+θ2)(3.1)

(3.2)zn=rn[cos(nθ)+isin(nθ)]=rneinθz^n = r^n[cos(n\theta) +isin(n\theta)]=r^ne^{in\theta}\tag{3.2} zn=rn[cos(nθ)+isin(nθ)]=rneinθ(3.2)
- DeMoivre (棣莫佛公式)
  
  当 r=1r=1r=1 时
  
  (3.3)(cosθ+isinθ)n=[cos(nθ)+isin(nθ)](cos\theta+isin\theta)^n=[cos(n\theta)+isin(n\theta)]\tag{3.3} (cosθ+isinθ)n=[cos(nθ)+isin(nθ)](3.3)
方根
(3.4)z1z2=r1r2(cos(θ1−θ2)+isin(θ1−θ2))=r1r2ei(θ1−θ2)\frac{z_1}{z_2} = r_1r_2(cos(\theta_1 - \theta_2) + isin(\theta_1 - \theta_2))=r_1r_2e^{i(\theta_1 - \theta_2)}\tag{3.4} z2z1=r1r2(cos(θ1−θ2)+isin(θ1−θ2))=r1r2ei(θ1−θ2)(3.4)

(3.5)z1n=r1n[cos(θ+j⋅2πn)+isin(θ+j⋅2πn)]=r1nei(θ+j⋅2πn)(j=0,1,...,n−1)z^{\frac{1}{n}} = r^{\frac{1}{n}}[cos(\frac{\theta+j·2\pi}{n})+isin(\frac{\theta+j·2\pi}{n})] = r^{\frac{1}{n}}e^{i(\frac{\theta+j·2\pi}{n})}\\ (j = 0,1,...,n-1)\tag{3.5} zn1=rn1[cos(nθ+j⋅2π)+isin(nθ+j⋅2π)]=rn1ei(nθ+j⋅2π)(j=0,1,...,n−1)(3.5)

4. 区域

主要内容

领域 + 去心领域

一些点 - [内点，外点，边界点，边界点集]

一些域 - [开集，连通，区域，闭域]

有界 + 无界

领域与去心领域
- 领域：∣z−z0∣<δ|z-z_0|<\delta∣z−z0∣<δ
- 去心领域：0<∣z−z0∣<δ0<|z-z_0|<\delta0<∣z−z0∣<δ
- 简记：B(z0,δ)B(z_0, \delta)B(z0,δ)
内点、外点、边界点、边界点集
- 内点：∃ρ>0→B(z0,ρ)⊂E\exists \rho>0 \ \ \ \rightarrow \ \ B(z_0, \rho)\subset E∃ρ>0 → B(z0,ρ)⊂E
- 外点：∃ρ>0→B(z0,ρ)∩E=∅\exists \rho>0 \ \ \ \rightarrow \ \ B(z_0, \rho)\cap E = \varnothing∃ρ>0 → B(z0,ρ)∩E=∅
- 边界点：∀ρ>0，∃z1,z2∈B(z0,ρ)→z1∈E，z2∉E\forall \rho>0 ，\exist z_1,z_2 \in B(z_0, \rho)\ \ \ \rightarrow \ \ z_1 \in E，z_2 \notin E∀ρ>0，∃z1,z2∈B(z0,ρ) → z1∈E，z2∈/E
- 边界点集：KaTeX parse error: Expected 'EOF', got '\part' at position 1: \̲p̲a̲r̲t̲ ̲E
开集、连通、区域、闭域
- 开集：点集内所有点都是内点
- 连通：∀z1,z2∈E\forall z_1,z_2 \in E∀z1,z2∈E，∃\exist∃ 一条曲线 $ \rightarrow$ 能将 z1,z2z_1, z_2z1,z2 连接起来
- 区域：DDD = [开集] + [连通]
- 闭域：KaTeX parse error: Expected 'EOF', got '\part' at position 18: …verline{D} = D+\̲p̲a̲r̲t̲ ̲D
有界、无界
- 有界：∃M>0\exist M >0∃M>0 →\rightarrow→ ∀z∈D,∣z∣<M\forall z \in D, |z|<M∀z∈D,∣z∣<M
- 无界： $ 不存在 M >0$ →\rightarrow→ ∀z∈D,∣z∣<M\forall z \in D, |z|<M∀z∈D,∣z∣<M

5. Jordan曲线、区域连通性

主要内容

复平面 - 连续曲线

连续曲线 - 方向

闭合曲线 + 简单曲线

Jordan曲线

光滑曲线 + 分段光滑曲线

单连通区域 + 多连通区域

复平面上的连续曲线

在 XOYXOYXOY 复平面上，曲线 CCC 连续

(5.1)z=x(t)+iy(t)（α≤t≤β）z = x(t) + iy(t)\ \ \ \ （\alpha \leq t \leq \beta ）\tag{5.1} z=x(t)+iy(t) （α≤t≤β）(5.1)

其中，x(t),y(t)x(t) , y(t)x(t),y(t) 是 [α,β][\alpha, \beta][α,β] 上连续的实值函数
复平面连续曲线的方向
- 对于曲线 z(t)z(t)z(t) ，ttt 增加的方向为曲线方向，若没有特别说明，则需约定一个正方向
- CCC 的反向曲线表示为 C−1C^{-1}C−1
闭合曲线与简单曲线
- 闭合曲线：z(起点）=z(终点）
- 简单曲线：曲线除起点和终点以外的其他位置不相交（起点终点可交可不交）
Jordan曲线

连续的简单闭曲线：[连续] + [闭合] + [简单]
- Jordan曲线把复平面分为两个区域：内部有界，外部无界，曲线为公共边界
- Jordan曲线的正方向为逆时针方向
光滑曲线与分段光滑曲线
- 若 z(t)=x(t)+iy(t)z(t) = x(t) + iy(t)z(t)=x(t)+iy(t) 是光滑曲线：
  - x(t)x(t)x(t)，y(t)y(t)y(t) 在 t∈[α,β]t\in [\alpha, \beta]t∈[α,β] 上连续可导
  - [x′(t)]2+[y′(t)]2≠0[x'(t)]^2+[y'(t)]^2\neq0[x′(t)]2+[y′(t)]2̸=0 （切线方向唯一存在性定理：就是不能为零向量）
- 分段光滑光滑曲线：由几段光滑曲线依次相连
单连通域，多连通域

首先前提：点集是区域
- 单连通区域：DDD 内任何Jordan曲线的内部区域都包含于 DDD
- 多连通区域：不是单连通区域的区域

6. 复变函数与其基本性质

主要内容

复变函数 - 定义

复变函数 - 单值与多值

复变函数 - 二元实函数表示

复变函数 - 反函数

复变函数 - 极限存在性

复变函数 - 连续性

复变函数 - 连续性的相关定理

复变函数的定义

EEE 为复平面上的点集

z∈Ez \in Ez∈E，w=f(z)w=f(z)w=f(z)
复变函数的单值与多值
- 单值复变函数：∀z∈E\forall z \in E∀z∈E，存在唯一 f(z)f(z)f(z) 值与之对应
  
  例：f(z)=∣z∣f(z) = |z|f(z)=∣z∣
- 多值复变函数 : ∃z∈E\exist z \in E∃z∈E，f(z)f(z)f(z) 有多个值
  
  例：f(z)=Argzf(z) = Arg\ zf(z)=Arg z
复变函数的二元实函数表示

z=x+iyz = x+iyz=x+iy 为复数

w=f(z)w=f(z)w=f(z) 为复数

w=f(z)w=f(z)w=f(z) 可写成实变量 x,yx, yx,y 的二元实函数组成的复数

(6.1)w=f(z)=u(x,y)+iv(x,y)w = f(z) = u(x, y) + iv(x, y)\tag{6.1} w=f(z)=u(x,y)+iv(x,y)(6.1)
复变函数的反函数

对于 w=f(z)w=f(z)w=f(z)

www 的值域（点集）：G={w∣w=f(z),z∈D}G = \{w|w=f(z),z\in D\}G={w∣w=f(z),z∈D}

若 D={z∣z=φ(w),w∈G}D = \{z|z=\varphi(w), w\in G\}D={z∣z=φ(w),w∈G}

则称 z=φ(w)z = \varphi(w)z=φ(w) 为 w=f(z)w = f(z)w=f(z) 的反函数
复变函数的极限

与高数中二元实函数极限思想类似

∀ε>0\forall \varepsilon >0∀ε>0

∃δ\exist\ \delta∃ δ，当 0<∣z−z0∣<δ0<|z-z_0|<\delta0<∣z−z0∣<δ 时

∣f(z)−A∣<ε|f(z) - A|<\varepsilon∣f(z)−A∣<ε

则 f(z)f(z)f(z) 在 z0z_0z0 点的极限存在

(6.2)lim⁡z→z0f(z)=A\lim_{z\rightarrow z_0} f(z) = A\tag{6.2} z→z0limf(z)=A(6.2)

证明该点极限不存在
- 找一条过该点的路径趋近，算出极限不为定值或不存在
- 找不同过该点的路径趋近，算出极限不相等
证明该点极限存在
- 夹逼准则
复变函数的连续性
- 复变函数在某点连续
  
  在该点的领域内有定义，且该点极限存在
- 复变函数在某区域内连续
  
  在该区域内没一点都连续
与复变函数连续性有关的几个定理
- 定理一
  
  [复变的二元实函等价性]
  
  设 f(z)=u(x,y)+iv(x,y)f(z) = u(x, y) + iv(x, y)f(z)=u(x,y)+iv(x,y)
  
  ⇓\Downarrow⇓
  
  f(z)f(z)f(z) 在 z0=x0+iy0z_0=x_0 + iy_0z0=x0+iy0 处连续 ⇔\Leftrightarrow⇔ u(x,y),v(x,y)u(x, y), v(x, y)u(x,y),v(x,y) 都在 (x0,y0)(x_0, y_0)(x0,y0) 处连续
- 定理二
  
  [四则运算连续性]
  
  设 f(z),g(z)f(z),g(z)f(z),g(z) 都在 z0z_0z0 处连续
  
  ⇓\Downarrow⇓
  
  f(z)±g(z),f(z)g(z),f(z)g(z)(g(z)≠0)f(z) \pm g(z),\ \ \ f(z)g(z), \ \ \ \frac{f(z)}{g(z)}(g(z) \neq 0)f(z)±g(z), f(z)g(z), g(z)f(z)(g(z)̸=0) 均在 z0z_0z0 处连续
- 定理三
  
  [复合连续性]
  
  设 f(z)f(z)f(z) 在 z=z0z = z_0z=z0 处连续，g(z) 在 z=f(z0)z = f(z_0)z=f(z0) 处连续
  
  ⇓\Downarrow⇓
  
  g(f(z))g(f(z))g(f(z)) 在 z0z_0z0 处连续
- 定理四
  
  [连续有界性]
  
  设曲线C连续，有限长
  
  设f(z)f(z)f(z) 在 z∈Cz \in Cz∈C 上连续
  
  ⇓\Downarrow⇓
  
  ∃M>0\exist M >0∃M>0，当 z∈Cz \in Cz∈C 时，有 ∣z∣<M|z|<M∣z∣<M

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