球面坐标系与三角函数 Spherical Coordinates and Trigonometric Functions

计算机图形学数学基础译自 ScratchaPixel 网站，数学基础部分共八篇，本篇为第七篇，感兴趣的同学可以参考我的 GitBook 镜像。

三角函数 Trigonometric Functions

通常用2D坐标中的 单位圆(unit circle) 表示三角函数的性质。在单位圆上绘制一点P，由原点和P点的连线与x轴的夹角为 $/theta$ 。P点的x坐标对应于 $/theta$ 的余弦(cosine)值，同样，其y坐标对应 $/theta$ 的正弦(sine)值。需要注意的是C++中计算使用的是 弧度(radians)，需要将 角度(degrees) 转换为弧度(radians):
$/theta_{radians} = {/pi /over 180}/theta_{degrees}$ 。

图形学中一个比较重要的函数是 反正切(arctangent)，即正切(tangent)的反函数。假如有一点P坐标为(0.707, 0.707)，可以得到 $/theta$ 的值为 $/pi /over 4$ 。假如P的坐标为(-0.707, -0.707)， $/theta$ 的值应为 $3/pi /over 4$ 。但是tan函数计算-0.707/-0.707的值为1，因此得到的角度仍为 $/pi /over 4$ 。解决方法是采用C/C++中的atan2函数。下面是我们讨论的公式:

$/begin{array}{l} /sin(/theta)={/text{opposite side} /over /text{hypothenuse}}// /cos(/theta)={/text{adjacent side} /over /text{hypothenuse}}// /tan(/theta)={/text{opposite side} /over /text{adjacent side}} /end{array}$

$/begin{array}{l} /theta = /text{acos}(P_x)// /theta = /text{asin}(P_y)// /theta = /text{atan2}(P_y, P_x) /end{array}$

atan2函数计算的结果为正表示 $/theta$ 是逆时针角度(y>0的象限)，结果为负表示 $/theta$ 是顺时针角度(y<0的象限)，结果的范围在 $[-/pi,/pi]$ 之间。

在球面坐标表示向量 Representing Vectors with Spherical Coordinates

目前我们知道在 笛卡尔坐标系(Cartesian Coordinates) 表示向量(三个值，每个值表示一个轴)。同样，在 球面坐标系(Spherical Coordinates) 可以用两个值表示与笛卡尔坐标系相同的向量。如图所示：

向量与球面垂直的平面所成的角称为 $/theta$ 。向量的投影与球面横切面所成的角称为 $/phi$ 。图形学中 $/theta$ 的范围为 $[0,/pi]$ ， $/phi$ 的范围为 $[0,2/pi]$ , 如下图:

球面坐标系的正式定义还包括一些专业术语，如r表示径向距离(radial distance)。

$/theta$ 和 $/phi$ 分别被称为 极角(polar angle) 和 方位角(azimuth angle)。如果不需要考虑向量的长度，球面坐标系是表示向量的另一种方式，这点在 着色(shading) 时非常重要。

z轴向上 Z is up

在数学和物理学中，坐标轴的表示通常采用左手定则，z轴向上，y轴向右，x轴指向自己。如图所示:

笛卡尔坐标系与球面坐标系的转换 Converting Cartesian to Spherical Coordinates

如图所示

单位圆内向量与z轴的夹角为: $/theta$ ，向量在z轴上的坐标为Vz。这里可以容易得到公式:

$/begin{array}{l}V_z = /cos(/theta) /rightarrow /theta = acos(V_z)/end{array}$

在C++中可以写为:

float theta = acos(Vz);

对于 $/phi$ 角的计算。

根据图中所示，可以方便得到公式:

$tan(/phi)= { V_y /over V_x } /rightarrow /phi = atan({V_y /over V_x})$

在C++中可以写为:

float phi = atan2(Vy, Vx);

球面坐标系与笛卡尔坐标系的转换 Spherical Coordinates to Cartesian Coordinates

根据球面坐标系的图，以下公式容易得到：

$/begin{array}{l} x = /cos(/phi)/sin(/theta)// y = /sin(/phi)/sin(/theta)// z = /cos(/theta) /end{array}$

以下是C++的转换代码:

template<typename T>
Vec3<T> sphericalToCartesian(const T &theta, const T &phi) {return Vec3<T>(cos(phi) * sin(theta), sin(phi) * sin(theta),cos(theta));
}

更多三角函数的技巧 More Tricks with Trigonometric Functions

计算 $/theta$ 值，虽然仅需要z轴坐标就可以计算，但是为了安全，使用clamp函数限制z的值在 [-1,1] 之间。

template<typename T>
inline T sphericalTheta(const Vec3<T> &v) {return acos(clamp<T>(v[2], -1, 1));
}

计算 $/phi$ 值，C++的atan2函数的返回值在 $[-/pi,/pi]$ 之间，我们需要将其转换至 $[0,2/pi]$ 之间:

template<typename T>
inline T sphericalPhi(const Vec3<T> &v) {T p = atan2(v[1],v[0]);return (p < 0) ? p + 2 * M_PI : p;
}

大部分场景我们并不需要计算出 $/theta$ 或 $/phi$ 的值。我们只需计算出 $/cos(/theta)$ ， $/sin(/theta)$ , $/cos(/phi)$ , $/sin(/phi)$ 的值。计算 $/cos(/theta)$ 的值比较直接:

template<typename T>
inline T cosTheta(const Vec3<T> &w) {return w[2];
}

根据 勾股定理(Pythagorean theorem)，我们可以得到: $V_x^2 + V_y^2 = 1$ 。假如 $V_x = /cos(/theta)$ ，且 $V_y = /sin(/theta)$ 。则可以得到:

$/cos(theta)^2 + /sin(theta)^2 = 1 /rightarrow /sin(/theta)^2 = 1 - /cos(theta)^2$

因此有如下代码:

template<typename T>
inline T sinTheta(const Vec3<T> &w) {return std::max(T(0), 1- cosTheta(w) * cosTheta(w));
}template<typename T>
inline T sinTheta(const Vec3<T> &w) {return sqrt(sinTheta2(w));
}

对于 $/phi$ 的计算：

template<typename T>
inline T cosPhi(const Vec3<T> &w) {T sintheta = sinTheta(w);if (sintheta == 0) return 1;return clamp<T>(w[0] / sintheta, -1, 1);
}
template<typename T>
inline T shiPhi(const Vec3<T> &w) {T sintheta = sinTheta(w);if (sintheta) return 0;return clamp<T>(w[1] / sintheta, -1, 1);
}