二元函数对xy同时求导_复变函数（1）——解析与保角，导数的几何意义，柯西-黎曼方程...

2024-04-16 19:56:19

学习阶段：大学数学。

前置知识：复数的三角形式、棣莫弗定理、多元微分学。

1. 复变函数

1.1 复变函数的定义

说地简单点，复变函数就是自变量和应变量都是复数的函数。其定义域和值域均

，是实函数的扩充。

1.2 复变函数的可视化

由于定义域和值域都是二维的，用一幅类似实函数的静态图像完整绘制复变函数需要四维的空间，这是很难理解的。我们换一种方式来可视化复变函数。

复数可以画在复平面上，我们让自变量移动到应变量的位置，可以绘制出一副动画。比如说函数

的图像为：

f(z)=z^2

我们知道，根据复数乘法的运算法则，若

，则

，你在图中也能看到这种对应关系。图中使用辐角主值

.

2. 复变函数的解析与保角

解析的定义是：函数在这一点的某个邻域内可导。不解析的点称为奇点。

可导的定义是：函数在

这一点可导，则

存在。

导数如何进行可视化呢？我们画一个例子来看看：

一个点附近的映射

我们观察一个点及其映射之后的状况。让这个邻域足够小，则经过这一点的光滑曲线可以近似为直线。自变量的微分

就是从点

往任意方向走一个微小距离对应的复数，相应地，应变量的微分

是从点

往相应方向走一个相应距离对应的复数，如下图所示：

dz和df的可视化

在

可导，即

存在。复数的除法有运算法则

，即模相除，辐角相减。另外，根据极限的唯一性，我们知道

不论往任何方向走，

的值都是唯一的。如果

，则

和

都是不变的，我们称这两个量为

转动角和伸缩率，如下图所示：

转动角和伸缩率

经典的动图：

保角性动图

转动角

伸缩率

这就直观地解释了复变函数解析性能推出保角性，并说明了导数的几何意义。

3. 柯西-黎曼方程

复变函数不仅可以记为

. 因为

，

，其中

是实数。

与

是自变量，决定了

与

的值，所以

和

都是关于

与

的二元函数，那么复变函数就可以记为

. 如下图所示：

复变函数的u与v

如果

解析，

与

之间有什么关系呢？取

为两个特殊的方向：

dz取两个特殊方向

左图取

为

轴正方向前进

的长度；右图取

为

轴正方向前进

的长度。

由于

解析，它在这一点有保角且伸缩率不变。那么很有趣，当

时，两个紫色直角三角形全等，有对应边相等：

这个方程组，就称为柯西-黎曼方程（Cauchy-Riemann Equations），简称C-R方程。

同时，我们也得到了

导数的各种形式：

附录

参考及推荐视频：

【官方双语】黎曼ζ函数与解析延拓的可视化www.bilibili.com

其中截取的两个动画分别出现在8:40和14:20开始。

二元函数对xy同时求导_复变函数（1）——解析与保角，导数的几何意义，柯西-黎曼方程...相关推荐

二元函数对xy同时求导_复变函数学习笔记(5)
到现在为止复变函数的理论还算友善,只是Cauchy积分定理很难证.不过接下来,一系列震撼我妈的结论就要出现,这就是复变函数与实函数的区别. (果然我还是喜欢无口系少女www) Cauchy积分公式,复 ...
二元函数对xy同时求导_矩阵求导与矩阵微分
矩阵求导与矩阵微分符号定义使用大写的粗体字母表示矩阵使用小写的粗体字母表示向量 ,这里默认为列向量使用小写的正体字母表示标量需要明白的是,矩阵求导的意义在哪来,我们回想一下函数求 ...
二元函数对xy同时求导_一个二元最值问题
近日在网上看到一个关于二元条件下的最值问题,于是就尝试进行思考,殊不知他竟然可以将初中.高中.大学的知识联系起来,涉及了很多数学思想.方法和技巧. 题目是这样的: 已知实数x,y满足x²+y²+xy= ...
二元函数对xy同时求导_做题笔记：多元函数求导的链式法则
本文使用 Zhihu On VSCode 创作并发布核心公式: Very Easy 设 ,求 . (二元函数换成一元函数,直接代入或者链式法则均可) 解: 2. 设 ,求 . (这同样可以看成二元函 ...
二元函数对xy同时求导_关于反三角函数及其导数
反三角函数是基本初等函数的重要组成部分,但似乎又是许多人常问的主体之一.为了方便理解和查询,本文总结了以下内容: 常见的六种三角函数对应的反三角函数的定义.定义域.值域,并给出对应三角形图示汇总.对应 ...
二元函数对xy同时求导_更新丨10分钟掌握高等数学上册函数极限求解问题（考研、期末复习均可以用）...
学过高数的都知道,极限在高数的应用频率是非常高的,而且是很多高数知识的基础,求导.变限积分求极限.多重积分求极限等等均会用到虽然是基础,但是很多人在刚学习的时候就会直接被理论弄懵圈,因此就无法继续再 ...
二元函数对xy同时求导_如何对反三角函数进行求导和积分？
在上完高中三年的所有课程之后,我们对于微积分已经有了一定的了解并且在其他科目中也利用它解决了很多问题.在高中阶段,应用的频率比较多的可能也就是普通的微分和积分的一些公式,比如对x²求导就是2x,对x² ...
二元函数对xy同时求导_让向量、矩阵和张量的求导更简洁些吧
本文是我在阅读Erik Learned-Miller的<Vector, Matrix, and Tensor Derivatives>时的记录,点此下载. 本文的主要内容是帮助你学习如何进 ...
二元函数对xy同时求导_高等数学期末总复习 DAY4. 利用莱布尼茨定理求高阶导隐函数求导对数求导法参数函数求导等...
DAY 4. 这世上总要有个明白人,懂得克制. DAY 4. 1. 利用莱布尼茨定理求高阶导 2.隐函数求导 3.对数求导 4.参数函数求导 5.用导数求切线.法线 6.函数的微分 1. 利用莱布尼茨 ...

最新文章

热门文章