复变函数——学习笔记4：复变函数的积分

复变函数的积分

复变函数的积分
柯西积分定理——积分与路径无关
- 柯西积分定理及其应用
- 柯西积分定理的证明
- 柯西积分定理的变式
- - 单连通闭区域情形
  - 多连通区域情形
柯西积分公式
- 柯西积分公式的证明
- 解析函数的无穷可微性
刘维尔定理及代数基本定理
莫雷拉定理

复变函数的积分

复变函数积分的定义和数学分析中的曲线积分的定义很类似。

定义4.1 LLL是复平面上的一条可求长曲线，复变函数w=f(z)w=f(z)w=f(z)在LLL上有定义，LLL的起止点分别为z0,z0′z_0,z_0^\primez0,z0′，从z0z_0z0到z0′z_0^\primez0′依次取分点z0,z1,⋯,zn=z0′z_0,z_1,\cdots,z_n=z_0^\primez0,z1,⋯,zn=z0′，称为LLL的一个分划，记为Δ\DeltaΔ，zi−1z_{i-1}zi−1到ziz_izi的曲线段记为Li(i=1,⋯,n)L_i(i=1,\cdots,n)Li(i=1,⋯,n)，λ(Δ)=max⁡1≤i≤n∣Li∣\displaystyle\lambda(\Delta)=\max_{1\le i\le n}|L_i|λ(Δ)=1≤i≤nmax∣Li∣，如果存在复数III，对任意的ε>0\varepsilon>0ε>0，存在δ>0\delta>0δ>0，对任意的分划Δ\DeltaΔ，只要λ(Δ)<δ\lambda(\Delta)<\deltaλ(Δ)<δ，任取ξi∈Li(i=1,⋯,n)\xi_i\in L_i(i=1,\cdots,n)ξi∈Li(i=1,⋯,n)，都有∣∑k=1nf(ξk)(zk−zk−1)−I∣<ε\left|\sum_{k=1}^nf(\xi_k)(z_k-z_{k-1})-I\right|<\varepsilon ∣∣∣∣∣k=1∑nf(ξk)(zk−zk−1)−I∣∣∣∣∣<ε则称w=f(z)w=f(z)w=f(z)在LLL上可积，III为w=f(z)w=f(z)w=f(z)沿着LLL从z0z_0z0到z0′z_0^\primez0′的积分，记为∫Lf(z)dz\displaystyle \int_Lf(z)dz∫Lf(z)dz

现在我们来考察一下以上定义中的和式∑k=1nf(ξk)Δzk\sum_{k=1}^nf(\xi_k)\Delta z_k k=1∑nf(ξk)Δzk设f=u+vif=u+vif=u+vi，Δzk=Δxk+iΔyk\Delta z_k=\Delta x_k+i\Delta y_kΔzk=Δxk+iΔyk，则∑k=1nf(ξk)Δzk=∑k=1n[u(ξk)+v(ξk)i][Δxk+iΔyk]=∑k=1n[(u(ξk)Δxk−v(ξk)Δyk)+i(u(ξk)Δyk+v(ξk)Δxk)]\begin{aligned} &\sum_{k=1}^nf(\xi_k)\Delta z_k=\sum_{k=1}^n[u(\xi_k)+v(\xi_k)i][\Delta x_k+i\Delta y_k]\\ =&\sum_{k=1}^n[(u(\xi_k)\Delta x_k-v(\xi_k)\Delta y_k)+i(u(\xi_k)\Delta y_k+v(\xi_k)\Delta x_k)] \end{aligned}=k=1∑nf(ξk)Δzk=k=1∑n[u(ξk)+v(ξk)i][Δxk+iΔyk]k=1∑n[(u(ξk)Δxk−v(ξk)Δyk)+i(u(ξk)Δyk+v(ξk)Δxk)]取极限即可得到∫Lf(z)dz=∫Ludx−vdy+i∫Ludy+vdx\int_Lf(z)dz=\int_Ludx-vdy+i\int_Ludy+vdx ∫Lf(z)dz=∫Ludx−vdy+i∫Ludy+vdx我们就得到了复积分和曲线积分之间的联系，我们再改写一下以上的等式，为∫Lf(z)dz=∫L(u+iv)(dx+idy)\int_Lf(z)dz=\int_L(u+iv)(dx+idy) ∫Lf(z)dz=∫L(u+iv)(dx+idy)容易验证形式上∫L(u+iv)(dx+idy)=∫Ludx−vdy+i∫Ludy+vdx\int_L(u+iv)(dx+idy)=\int_Ludx-vdy+i\int_Ludy+vdx ∫L(u+iv)(dx+idy)=∫Ludx−vdy+i∫Ludy+vdx写成左边的形式就很方便对积分计算公式进行记忆。如果LLL是光滑曲线x=z(t)=x(t)+y(t)i,a≤t≤bx=z(t)=x(t)+y(t)i,a\le t\le bx=z(t)=x(t)+y(t)i,a≤t≤b，由数学分析中曲线积分的计算公式，我们还可以得到∫Lf(z)dz=∫abf(z(t))z′(t)dt\int_Lf(z)dz=\int_a^bf(z(t))z^\prime(t)dt ∫Lf(z)dz=∫abf(z(t))z′(t)dt其中z′(t)=x′(t)+iy′(t)z^\prime(t)=x^\prime(t)+iy^\prime(t)z′(t)=x′(t)+iy′(t)，这就为我们提供了复积分的参数方程计算方法。下面我们列举复积分的若干性质：

(1)f(z),g(z)f(z),g(z)f(z),g(z)在曲线LLL上可积，则对任意的复数α,β\alpha,\betaα,β，αf(z)+βg(z)\alpha f(z)+\beta g(z)αf(z)+βg(z)在LLL上可积，并且∫L[αf(z)+βg(z)]dz=α∫Lf(z)dz+β∫Lg(z)dz\int_L[\alpha f(z)+\beta g(z)]dz=\alpha\int_Lf(z)dz+\beta\int_Lg(z)dz ∫L[αf(z)+βg(z)]dz=α∫Lf(z)dz+β∫Lg(z)dz(2)LLL由L1,L2L_1,L_2L1,L2衔接得到，fff在LLL上可积的充要条件是fff在L1,L2L_1,L_2L1,L2上可积，并且∫Lf(z)dz=∫L1f(z)dz+∫L2f(z)dz\int_Lf(z)dz=\int_{L_1}f(z)dz+\int_{L_2}f(z)dz ∫Lf(z)dz=∫L1f(z)dz+∫L2f(z)dz(3)LLL的起止点为z0,z0′z_0,z_0^\primez0,z0′，记z0′z_0^\primez0′到z0z_0z0沿着LLL的曲线为L−L^-L−，f(z)f(z)f(z)在LLL上可积，则f(z)f(z)f(z)在L−L^{-}L−上可积，并且∫Lf(z)dz=−∫L−f(z)dz\int_Lf(z)dz=-\int_{L^-}f(z)dz ∫Lf(z)dz=−∫L−f(z)dz(4)f(z)f(z)f(z)在LLL可积，则∣∫Lf(z)dz∣≤∫L∣f(z)∣ds\left|\int_Lf(z)dz\right|\le\int_L|f(z)|ds ∣∣∣∣∫Lf(z)dz∣∣∣∣≤∫L∣f(z)∣ds其中右边是第一型曲线积分
(5)（积分估值）若沿着曲线LLL，函数f(z)f(z)f(z)连续，且有正数MMM使∣f(z)∣≤M(∀z∈L)|f(z)|\le M(\forall z\in L)∣f(z)∣≤M(∀z∈L)，设LLL其长度为∣L∣|L|∣L∣，则∣∫Lf(z)dz∣≤M∣L∣\left|\int_Lf(z)dz\right|\le M|L| ∣∣∣∣∫Lf(z)dz∣∣∣∣≤M∣L∣

下面给出一个重要的积分

例5.1 计算∫Cdzz−z0\displaystyle\int_C\frac{dz}{z-z_0}∫Cz−z0dz，其中CCC为以∣z−z0∣=r|z-z_0|=r∣z−z0∣=r，方向取正向

解：
取参数方程z=z0+reθiz=z_0+re^{\theta i}z=z0+reθi，则dzdθ=ireθi\frac{dz}{d\theta}=ire^{\theta i}dθdz=ireθi，因此∫Cdzz−z0=∫02πireθireθidθ=2πi\int_C\frac{dz}{z-z_0}=\int_0^{2\pi}\frac{ire^{\theta i}}{re^{\theta i}}d\theta=2\pi i ∫Cz−z0dz=∫02πreθiireθidθ=2πi

柯西积分定理——积分与路径无关

柯西积分定理及其应用

柯西积分定理和柯西积分公式是本章的核心定理，柯西积分定理是有关复积分与路径无关的定理，考察例5.1就知道复积分并不总是与路径无关，柯西积分定理如下：

定理5.1（柯西积分定理） f(z)f(z)f(z)在单连通区域GGG上解析，则对GGG内任何逐段光滑的闭曲线CCC，都有∫Cf(z)dz=0\int_Cf(z)dz=0 ∫Cf(z)dz=0

我们后面再给出柯西积分定理的证明，在给出证明之前，我们先给出柯西积分定理的应用，有了柯西积分定理，我们就可以得出结论，如果f(z)f(z)f(z)在单连通区域GGG上解析，则积分∫Lf(z)dz\displaystyle\int_Lf(z)dz∫Lf(z)dz只与起止点有关，而与积分路径无关，则积分就可以写成∫z0zf(ξ)dξ\int_{z_0}^{z}f(\xi)d\xi ∫z0zf(ξ)dξ其中z0z_0z0为LLL的起点，zzz为LLL的终点。任取z0∈Gz_0\in Gz0∈G，我们在GGG内定义函数G(z)=∫z0zf(ξ)dξG(z)=\int_{z_0}^zf(\xi)d\xi G(z)=∫z0zf(ξ)dξ下面我们将证明G(z)G(z)G(z)是解析的，对于z∈Gz\in Gz∈G，存在δ>0\delta>0δ>0，使得zzz以δ\deltaδ为半径的邻域B(z,δ)B(z,\delta)B(z,δ)都在GGG内，那么对z′∈B(z,δ)z^\prime\in B(z,\delta)z′∈B(z,δ)，zzz和z′z^\primez′间的直线段LLL都在GGG内G(z′)−G(z)=∫Lf(ξ)dξG(z^\prime)-G(z)=\int_Lf(\xi)d\xi G(z′)−G(z)=∫Lf(ξ)dξ取LLL的参数方程为z=z(t)=(1−t)z+tz′,0≤t≤1z=z(t)=(1-t)z+tz^\prime,0\le t\le 1z=z(t)=(1−t)z+tz′,0≤t≤1，则G(z′)−G(z)=Δz∫01f(z(t))dtG(z^\prime)-G(z)=\Delta z\int_0^1f(z(t))dt G(z′)−G(z)=Δz∫01f(z(t))dt设f=u+vif=u+vif=u+vi，由定积分的积分中值定理，存在ξ,ζ∈(0,1)\xi,\zeta\in(0,1)ξ,ζ∈(0,1)使得∫01u(z(t))dt=u(z(ξ))∫01v(z(t))dt=v(z(ζ))\int_0^1u(z(t))dt=u(z(\xi))\\ \int_0^1v(z(t))dt=v(z(\zeta)) ∫01u(z(t))dt=u(z(ξ))∫01v(z(t))dt=v(z(ζ))于是G(z′)−G(z)=Δz[u(z(ξ))+iv(z(ζ))]G(z^\prime)-G(z)=\Delta z[u(z(\xi))+iv(z(\zeta))] G(z′)−G(z)=Δz[u(z(ξ))+iv(z(ζ))]即lim⁡Δz→0G(z′)−G(z)Δz=u(z)+iv(z)=f(z)\lim_{\Delta z\to 0}\frac{G(z^\prime)-G(z)}{\Delta z}=u(z)+iv(z)=f(z) Δz→0limΔzG(z′)−G(z)=u(z)+iv(z)=f(z)这就说明了G(z)G(z)G(z)解析，并且G′(z)=f(z)G^\prime(z)=f(z)G′(z)=f(z)，以上过程如果假设放松为f(z)f(z)f(z)连续，并且f(z)f(z)f(z)在GGG内的积分与路径无关，也是成立的。如果在GGG上的解析函数g(z)g(z)g(z)满足g′(z)=0,∀z∈Gg^\prime(z)=0,\forall z\in Gg′(z)=0,∀z∈G，那么，G(z)G(z)G(z)为常数（容易证明，这里省略）。那么如果f(z)f(z)f(z)在单连通区域GGG上解析，那么f(z)f(z)f(z)上GGG上任意原函数只相差一个常复数，如果我们找到f(z)f(z)f(z)的一个原函数F(z)F(z)F(z)，则F(z)=G(z)+CF(z)=G(z)+CF(z)=G(z)+C，那么对z1,z2∈Gz_1,z_2\in Gz1,z2∈G，就有∫z1z2f(z)dz=G(z2)−G(z1)=F(z2)−F(z1)\int_{z_1}^{z_2}f(z)dz=G(z_2)-G(z_1)=F(z_2)-F(z_1) ∫z1z2f(z)dz=G(z2)−G(z1)=F(z2)−F(z1)这就是复数域上的微积分基本定理

例5.2 在单连通区域D:−π<argz<πD:-\pi<argz<\piD:−π<argz<π内，函数ln⁡z\ln zlnz（主值支）是f(z)=1zf(z)=\frac{1}{z}f(z)=z1的一个原函数，那么∫1z1ξdξ=ln⁡z−ln⁡1=ln⁡z\int_1^z\frac{1}{\xi}d\xi=\ln z - \ln 1=\ln z ∫1zξ1dξ=lnz−ln1=lnz

例5.3 计算复积分∫0π+2icos⁡z2dz\displaystyle \int_0^{\pi+2i}\cos\frac{z}{2}dz∫0π+2icos2zdz

解：
w=cos⁡z2w=\cos\frac{z}{2}w=cos2z在全平面上解析，其原函数为2sin⁡z22\sin\frac{z}{2}2sin2z，则∫0π+2icos⁡z2dz=2[sin⁡z2]0π+2i=2sin⁡(π2+i)=e+1e\int_0^{\pi+2i}\cos\frac{z}{2}dz=2[\sin\frac{z}{2}]_0^{\pi+2i}=2\sin{(\frac{\pi}{2}+i)}=e+\frac{1}{e} ∫0π+2icos2zdz=2[sin2z]0π+2i=2sin(2π+i)=e+e1

柯西积分定理的证明

下面我们来证明柯西积分定理：观察C.−R.C.-R.C.−R.方程：
ux′=vy′uy′=−vx′u_x^\prime=v_y^\prime\\ u_y^\prime=-v_x^\prime ux′=vy′uy′=−vx′假设f′(z)f^\prime(z)f′(z)是连续的，并且设f=u+vif=u+vif=u+vi，如果CCC是逐段光滑的简单闭曲线，我们前面推导过∫Cf(z)dz=∫Cudx−vdy+i∫Cvdx+udy\int_Cf(z)dz=\int_Cudx-vdy+i\int_Cvdx+udy ∫Cf(z)dz=∫Cudx−vdy+i∫Cvdx+udy我们对两个线积分分别采用格林公式∫Cudx−vdy=∫D−vx′−uy′dxdy=0∫Cvdx+udy=∫Dux′−vy′dxdy=0\int_Cudx-vdy=\int_D -v_x^\prime-u_y^\prime dxdy=0\\ \int_Cvdx+udy=\int_Du_x^\prime-v_y^\prime dxdy=0 ∫Cudx−vdy=∫D−vx′−uy′dxdy=0∫Cvdx+udy=∫Dux′−vy′dxdy=0有∫Cf(z)dz=0\int_Cf(z)dz=0 ∫Cf(z)dz=0这可能是柯西积分定理的灵感来源，但是证明柯西积分定理不能采用格林公式，因为f′(z)f^\prime(z)f′(z)不一定是连续的（当然，我们后面会证明解析函数是无穷次可微的，f′(z)f^\prime(z)f′(z)是连续的，但是这需要用到柯西积分定理证明的柯西积分公式，如果采用这个结果，就会循环论证）。古尔萨给出了一个不需要用到格林公式的证明，我们先大致阐述一下这个证明的思路：
(1)第一步，证明如果闭曲线CCC是一个包含在GGG内的三角形区域的边界，柯西积分定理成立
(2)第二步，对于任何包含在GGG内的多边形，我们将多边形分解成若干三角形之并，添加的连线在不同的三角形边界线积分计算中，方向相反，因而正负相消，最后只剩下多边形的边界，从而证明多边形也满足柯西积分定理（见下图：将多边形分解为三角形之并）
(3)对任意的闭曲线，用一个闭折线逼近这个积分，由于任意的闭折线的积分都为0，而沿着这条闭曲线的积分可以任意接近0，就证得了闭曲线的积分为0

我们先来完成第一步：如果三角形闭区域Δ\DeltaΔ包含在GGG内，我们取三条边的中点，连接三个中点，得到四个全等的三角形Δ1,Δ2,Δ3,Δ4\Delta_1,\Delta_2,\Delta_3,\Delta_4Δ1,Δ2,Δ3,Δ4，这里的Δ\DeltaΔ表示三角形区域的圆周，Δ,Δ1,Δ2,Δ3,Δ4\Delta,\Delta_1,\Delta_2,\Delta_3,\Delta_4Δ,Δ1,Δ2,Δ3,Δ4均取正向。

可以看到添加的连线积分方向恰好相反，正负相消，就得到∫Δf(z)dz=∫Δ1f(z)dz+∫Δ2f(z)dz+∫Δ3f(z)dz+∫Δ4f(z)dz\int_\Delta f(z)dz=\int_{\Delta_1}f(z)dz+\int_{\Delta_2}f(z)dz+\int_{\Delta_3}f(z)dz+\int_{\Delta_4}f(z)dz ∫Δf(z)dz=∫Δ1f(z)dz+∫Δ2f(z)dz+∫Δ3f(z)dz+∫Δ4f(z)dz设∣∫Δf(z)dz∣=M\left|\int_\Delta f(z)dz\right|=M∣∣∣∣∫Δf(z)dz∣∣∣∣=M我们来证明M=0M=0M=0，那么必定存在i1=1,2,3或4i_1=1,2,3或4i1=1,2,3或4，满足∣∫Δi1f(z)dz∣≥M4\left|\int_{\Delta_{i_1}}f(z)dz\right|\ge\frac{M}{4} ∣∣∣∣∣∫Δi1f(z)dz∣∣∣∣∣≥4M我们记这个三角形为Di11D^1_{i_1}Di11，对于Di11D^1_{i_1}Di11我们也用同样的办法，连接三边中点将其分为四个全等三角形Δ21,Δ22,Δ32,Δ42\Delta^1_2,\Delta_2^2,\Delta_3^2,\Delta_4^2Δ21,Δ22,Δ32,Δ42，则存在i2=1,2,3或4i_2=1,2,3或4i2=1,2,3或4，有∣∫Δi22f(z)dz∣≥M16\left|\int_{\Delta_{i_2}^2}f(z)dz\right|\ge\frac{M}{16} ∣∣∣∣∣∫Δi22f(z)dz∣∣∣∣∣≥16MΔi22\Delta_{i_2}^2Δi22与Δi11\Delta_{i_1}^1Δi11相似，周长为其12\frac{1}{2}21且包含在其内，对Δi22\Delta_{i_2}^2Δi22也作同样的操作，得到一个完全包含在Δi22\Delta_{i_2}^2Δi22内相似与Δi22\Delta_{i_2}^2Δi22的三角形Δi33\Delta_{i_3}^3Δi33，满足∣∫Δi33f(z)dz∣≥M64\left|\int_{\Delta_{i_3}^3}f(z)dz\right|\ge\frac{M}{64} ∣∣∣∣∣∫Δi33f(z)dz∣∣∣∣∣≥64M其周长为Δi22\Delta_{i_2}^2Δi22的12\frac{1}{2}21，以此类推。得到一个三角形序列{Δinn}\{\Delta_{i_n}^n\}{Δinn}，作为区域时Δinn⊂Δin−1n−1\Delta_{i_n}^n\subset \Delta_{i_{n-1}}^{n-1}Δinn⊂Δin−1n−1，周长为Δin−1n−1\Delta_{i_{n-1}}^{n-1}Δin−1n−1的12\frac{1}{2}21，因此其周长为L2n\frac{L}{2^n}2nL，其中LLL为Δ\DeltaΔ的周长，并且∣∫Δinnf(z)dz∣≥M4n\left|\int_{\Delta_{i_n}^n}f(z)dz\right|\ge \frac{M}{4^n} ∣∣∣∣∣∫Δinnf(z)dz∣∣∣∣∣≥4nM记Δinn=Δn\Delta_{i_n}^{n}=\Delta_nΔinn=Δn，有∫Δndz=0\int_{\Delta_n}dz=0 ∫Δndz=0这是因为Δn\Delta_nΔn是闭曲线，由复积分的定义就可以直接验证，其次∫Δnzdz=∫Δnxdx−ydy+i∫Δnxdy+ydx\int_{\Delta_n}zdz=\int_{\Delta_n}xdx-ydy+i\int_{\Delta_n}xdy+ydx ∫Δnzdz=∫Δnxdx−ydy+i∫Δnxdy+ydx用格林公式即可验证∫Δnzdz=0\displaystyle\int_{\Delta_n}zdz=0∫Δnzdz=0，实际上，{Δn}\{\Delta_n\}{Δn}构成一个闭区间套，存在一点z0z_0z0，属于所有Δn\Delta_nΔn（此时作为区域而不是周线），由于f(z)f(z)f(z)在z0z_0z0处可微，对任意的ε>0\varepsilon>0ε>0，存在δ>0\delta>0δ>0，当∣z−z0∣<δ|z-z_0|<\delta∣z−z0∣<δ时∣f(z)−f(z0)z−z0−f′(z0)∣<ε\left|\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}-f^\prime(z_0)\right|<\varepsilon ∣∣∣∣z−z0f(z)−f(z0)−f′(z0)∣∣∣∣<ε即∣f(z)−f(z0)−f′(z0)(z−z0)∣<ε∣z−z0∣|f(z)-f(z_0)-f^\prime(z_0)(z-z_0)|<\varepsilon|z-z_0| ∣f(z)−f(z0)−f′(z0)(z−z0)∣<ε∣z−z0∣存在n0n_0n0，n≥n0n\ge n_0n≥n0时，三角形Δn\Delta_nΔn，完全包含在z0z_0z0的邻域内，有∫Δnf(z)dz=∫Δn[f(z)−f(z0)−f(z0)(z−z0)]dz\int_{\Delta_{n}}f(z)dz=\int_{\Delta_{n}}[f(z)-f(z_0)-f^(z_0)(z-z_0)]dz ∫Δnf(z)dz=∫Δn[f(z)−f(z0)−f(z0)(z−z0)]dz此时¹∣∫Δnf(z)dz∣≤εL24n\left|\int_{\Delta_{n}}f(z)dz\right|\le \frac{\varepsilon L^2}{4^n} ∣∣∣∣∫Δnf(z)dz∣∣∣∣≤4nεL2故M<εL2M<\varepsilon L^2 M<εL2由ε\varepsilonε的任意性，M=0M=0M=0
于是容易证明：任意包含在GGG内的闭折线CCC，都有∫Cf(z)dz\int_Cf(z)dz ∫Cf(z)dz因此，我们对于一般的曲线，我们只要用一条闭折线取代之即可。那么如何取代呢？取代的合理性又在哪？我们可以仿照数学分析中证明积分与路径无关的条件时采取的手段，引入星形区域：如果区域GGG内存在一点z0z_0z0，∀z∈G\forall z\in G∀z∈G，直线段z0zz_0zz0z整个包含在GGG内，如果f(z)f(z)f(z)在GGG内解析，引入函数F(z)=∫z0zf(ξ)dξF(z)=\int_{z_0z}f(\xi)d\xi F(z)=∫z0zf(ξ)dξ其中积分路径是z0z_0z0到zzz的直线段，存在δ>0\delta>0δ>0，当Δz<δ\Delta z<\deltaΔz<δ时，zzz到z+Δzz+\Delta zz+Δz的直线段包含在GGG内，则以z0,z,z+Δzz_0,z,z+\Delta zz0,z,z+Δz为三条边的三角形包含在GGG内F(z+Δz)−F(z)=∫zz+Δzf(ξ)dξF(z+\Delta z)-F(z)=\int_{z}^{z+\Delta z}f(\xi)d\xi F(z+Δz)−F(z)=∫zz+Δzf(ξ)dξ类似于前面的证明方法，我们可以知道F(z)F(z)F(z)是f(z)f(z)f(z)在GGG内的原函数。在数学分析中，我们知道原函数存在是线积分与路径无关的充要条件，在复变函数中也是如此。其证法和数学分析也是类似的。即假设L:z=z(t)L:z=z(t)L:z=z(t)是光滑的，我们可以起止点为z1,z2z_1,z_2z1,z2，那么就有∫Lf(z)dz=F(z2)−F(z1)\int_{L}f(z)dz=F(z_2)-F(z_1) ∫Lf(z)dz=F(z2)−F(z1)对逐段光滑曲线分段讨论即可，于是，只要LLL是逐段光滑的，起止点为z1,z2z_1,z_2z1,z2，就有微积分基本定理成立∫Lf(z)dz=F(z2)−F(z1)\int_{L}f(z)dz=F(z_2)-F(z_1) ∫Lf(z)dz=F(z2)−F(z1)因此在星形区域内积分与路径无关，开邻域一定是星形区域。对于任意的闭曲线CCC，CCC的起止点都为为aaa，CCC与DcD^cDc有一段正距离δ>0\delta>0δ>0，对CCC作划分Δ:a=z0<z1<⋯<zn=b\Delta:a=z_0<z_1<\cdots<z_n=bΔ:a=z0<z1<⋯<zn=b，只要每个小曲段的直径小于δ2\frac{\delta}{2}2δ，那么整个曲段zi−1ziz_{i-1}z_izi−1zi都在zi−1z_{i-1}zi−1的δ2\frac{\delta}{2}2δ邻域内，直线段zi−1ziz_{i-1}z_izi−1zi都在zi−1z_{i-1}zi−1的δ2\frac{\delta}{2}2δ邻域内，从而该段曲线上的积分可由直线段积分替换，故存在包含在GGG内的闭折线C′C^\primeC′，满足∫Cf(z)dz=∫C′f(z)dz\int_{C}f(z)dz=\int_{C^\prime}f(z)dz ∫Cf(z)dz=∫C′f(z)dz而∫C′f(z)dz=0\displaystyle \int_{C^\prime}f(z)dz=0∫C′f(z)dz=0，这就证得了柯西积分定理。

柯西积分定理的变式

单连通闭区域情形

定理5.2 GGG为复平面上的单连通区域，如果f(z)f(z)f(z)在G‾\overline{G}G上解析，则对于任意包含在G‾\overline{G}G中的逐段光滑的闭曲线CCC，都有∫Cf(z)dz=0\int_Cf(z)dz=0 ∫Cf(z)dz=0

这一定理的证明相当简单，只要找一个包含G‾\overline{G}G的区域G′G^\primeG′，f(z)f(z)f(z)在G′G^\primeG′即可，我们自然就想到有限覆盖定理，对于任意的z∈G‾z\in \overline{G}z∈G，都存在邻域B(z,δz)B(z,\delta_z)B(z,δz)，f(z)f(z)f(z)在其上解析，G′=⋃z∈G‾B(z,δz)\displaystyle G^\prime=\bigcup_{z\in \overline{G}}B(z,\delta_z)G′=z∈G⋃B(z,δz)是开集，并且G‾⊆G′\overline{G}\subseteq G^\primeG⊆G′，f(z)f(z)f(z)在G′G^\primeG′上解析，再应用柯西积分定理即可证得结论。

定理5.3 GGG为复平面上的单连通区域，如果f(z)f(z)f(z)在GGG中解析，在G‾\overline{G}G上连续，则对于任意包含在G‾\overline{G}G中的逐段光滑的闭曲线CCC，都有∫Cf(z)dz=0\int_Cf(z)dz=0 ∫Cf(z)dz=0

定理5.3的证明相当复杂，一个初等的证明可见杜长国《推广的Cauchy定理的初等证明》一文，这里不证。

多连通区域情形

定理5.4 C0,C1,⋯,CnC_0,C_1,\cdots,C_nC0,C1,⋯,Cn是n+1n+1n+1条逐段光滑的两两不交的简单闭曲线，其中C1,⋯,CnC_1,\cdots,C_nC1,⋯,Cn中每一条都在其余各条的外区域内，C1,⋯,CnC_1,\cdots,C_nC1,⋯,Cn在C0C_0C0的内区域中，则C0,C1,⋯,CnC_0,C_1,\cdots,C_nC0,C1,⋯,Cn共同围成一个n+1n+1n+1连通区域DDD，如果我们记C0C_0C0取正向，C1,⋯,CnC_1,\cdots,C_nC1,⋯,Cn取负向的曲线为CCC，如果f(z)f(z)f(z)在DDD中解析，在D‾\overline{D}D上连续，则∫Cf(z)dz=∫C0f(z)dz−∑k=1n∫Ckf(z)dz=0\int_C f(z)dz=\int_{C_0}f(z)dz-\sum_{k=1}^n\int_{C_k}f(z)dz=0 ∫Cf(z)dz=∫C0f(z)dz−k=1∑n∫Ckf(z)dz=0

以上的CCC我们又称为复周线，一条逐段可微闭曲线我们称为单周线，单周线和复周线统称为周线，类似于格林公式的证明，我们只要加若干条可微曲线，就可以把DDD划分为若干个单连通区域或把DDD切割成单连通区域，所加的曲线积分为0，就可以证得上面的定理。如下图：

柯西积分公式

柯西积分公式的证明

有了柯西积分定理，就可以证明柯西积分公式。

定理5.5（柯西积分公式） f(z)f(z)f(z)在周线CCC（单周线或复周线）围成的区域DDD上解析，D‾\overline{D}D上连续，对任取的z0∈Dz_0\in Dz0∈D，都有2πif(z0)=∫Cf(z)z−z0dz2\pi if(z_0)=\int_C\frac{f(z)}{z-z_0}dz 2πif(z0)=∫Cz−z0f(z)dz

证：
对于z0z_0z0，存在ρ>0\rho>0ρ>0，使得闭邻域B‾(z0,ρ)⊆D\overline{B}(z_0,\rho)\subseteq DB(z0,ρ)⊆D，对r≤ρr\le \rhor≤ρ，记Dr=D−B‾(z0,r)D_r=D-\overline{B}(z_0,r)Dr=D−B(z0,r)，f(z)z−z0\frac{f(z)}{z-z_0}z−z0f(z)在Dr‾\overline{D_r}Dr上解析，在其闭包连续，由定理5.4，有∫∣z−z0∣=rf(z)z−z0dz=∫Cf(z)z−z0dz\int_{|z-z_0|=r}\frac{f(z)}{z-z_0}dz=\int_C\frac{f(z)}{z-z_0}dz ∫∣z−z0∣=rz−z0f(z)dz=∫Cz−z0f(z)dz由于f(z)f(z)f(z)在z0z_0z0处可微，则对任意的ε>0\varepsilon>0ε>0，存在δ>0\delta>0δ>0，当∣z−z0∣<δ|z-z_0|<\delta∣z−z0∣<δ时，有∣f(z0)−f(z)∣<ε|f(z_0)-f(z)|<\varepsilon ∣f(z0)−f(z)∣<ε令r<δr<\deltar<δ，就有∣∫∣z−z0∣=rf(z)z−z0dz−∫∣z−z0∣=rf(z0)z−z0dz∣≤∫∣z−z0∣=r∣f(z)−f(z0)∣∣z−z0∣ds=1r∫∣z−z0∣=r∣f(z)−f(z0)∣dz≤2επ\begin{aligned} &\left|\int_{|z-z_0|=r}\frac{f(z)}{z-z_0}dz-\int_{|z-z_0|=r}\frac{f(z_0)}{z-z_0}dz\right|\\ \le&\int_{|z-z_0|=r}\frac{|f(z)-f(z_0)|}{|z-z_0|}ds\\ =&\frac{1}{r}\int_{|z-z_0|=r}|f(z)-f(z_0)|dz\le 2\varepsilon\pi \end{aligned}≤=∣∣∣∣∣∫∣z−z0∣=rz−z0f(z)dz−∫∣z−z0∣=rz−z0f(z0)dz∣∣∣∣∣∫∣z−z0∣=r∣z−z0∣∣f(z)−f(z0)∣dsr1∫∣z−z0∣=r∣f(z)−f(z0)∣dz≤2επ而∫∣z−z0∣=rf(z0)z−z0dz=2πf(z0)i\int_{|z-z_0|=r}\frac{f(z_0)}{z-z_0}dz=2\pi f(z_0)i ∫∣z−z0∣=rz−z0f(z0)dz=2πf(z0)i于是∣∫Cf(z)z−z0dz−2iπf(z0)∣≤2πε\left|\int_{C}\frac{f(z)}{z-z_0}dz-2i\pi f(z_0)\right|\le 2\pi \varepsilon ∣∣∣∣∫Cz−z0f(z)dz−2iπf(z0)∣∣∣∣≤2πε由ε\varepsilonε的任意性，就有∫Cf(z)z−z0dz=2πif(z0)\int_{C}\frac{f(z)}{z-z_0}dz=2\pi if(z_0) ∫Cz−z0f(z)dz=2πif(z0)

解析函数的无穷可微性

定理5.6 f(z)f(z)f(z)在周线CCC（单周线或复周线）围成的区域DDD上解析，D‾\overline{D}D上连续，对任取的z0∈Dz_0\in Dz0∈D，f(z)f(z)f(z)在z0z_0z0处有任意阶导数，并且有f(p)(z0)=p!2πi∫Cf(z)(z−z0)p+1dzf^{(p)}(z_0)=\frac{p!}{2\pi i}\int_C \frac{f(z)}{(z-z_0)^{p+1}}dz f(p)(z0)=2πip!∫C(z−z0)p+1f(z)dz

证：
我们先看p=1p=1p=1的情形，考察f(z)−f(z0)z−z0=12iπΔz∫C[f(ξ)ξ−z−f(ξ)ξ−z0]dξ=12iπΔz∫Cf(ξ)Δz(ξ−z)(ξ−z0)dξ=12iπ∫Cf(ξ)(ξ−z)(ξ−z0)dξ\begin{aligned} &\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}=\frac{1}{2i\pi\Delta z}\int_C[\frac{f(\xi)}{\xi - z}-\frac{f(\xi)}{\xi - z_0}]d\xi\\ =&\frac{1}{2i\pi\Delta z}\int_C\frac{f(\xi)\Delta z}{(\xi-z)(\xi-z_0)}d\xi=\frac{1}{2i\pi}\int_C\frac{f(\xi)}{(\xi-z)(\xi-z_0)}d\xi \end{aligned}=z−z0f(z)−f(z0)=2iπΔz1∫C[ξ−zf(ξ)−ξ−z0f(ξ)]dξ2iπΔz1∫C(ξ−z)(ξ−z0)f(ξ)Δzdξ=2iπ1∫C(ξ−z)(ξ−z0)f(ξ)dξ而∫Cf(ξ)(ξ−z)(ξ−z0)dξ−∫Cf(ξ)(ξ−z0)2dξ=Δz∫Cf(ξ)(ξ−z)(ξ−z0)2dξ\begin{aligned} &\int_C\frac{f(\xi)}{(\xi-z)(\xi-z_0)}d\xi-\int_C\frac{f(\xi)}{(\xi-z_0)^2}d\xi\\ =&\Delta z\int_C\frac{f(\xi)}{(\xi-z)(\xi-z_0)^2}d\xi \end{aligned}=∫C(ξ−z)(ξ−z0)f(ξ)dξ−∫C(ξ−z0)2f(ξ)dξΔz∫C(ξ−z)(ξ−z0)2f(ξ)dξ由于z0∈Dz_0\in Dz0∈D，存在δ>0\delta>0δ>0，B‾(z0,δ)⊂D\overline{B}(z_0,\delta)\subset DB(z0,δ)⊂D，当Δz<δ2\Delta z<\frac{\delta}{2}Δz<2δ时，见下图

其中Cn+1C_{n+1}Cn+1为∣ξ−z0∣=δ|\xi-z_0|=\delta∣ξ−z0∣=δ，方向沿逆时针，由柯西积分定理，有∣∫Cf(ξ)(ξ−z)(ξ−z0)2dξ∣=∣∫Cn+1f(ξ)(ξ−z)(ξ−z0)2dξ∣≤∫Cn+1∣f(ξ)∣∣ξ−z∣∣ξ−z0∣2ds=1δ2∫Cn+1∣f(ξ)∣∣ξ−z∣dξ\begin{aligned} &\left|\int_C\frac{f(\xi)}{(\xi-z)(\xi-z_0)^2}d\xi\right|=\left|\int_{C_{n+1}}\frac{f(\xi)}{(\xi-z)(\xi-z_0)^2}d\xi\right|\\ \le&\int_{C_{n+1}}\frac{|f(\xi)|}{|\xi-z||\xi-z_0|^2}ds=\frac{1}{\delta^2}\int_{C_{n+1}}\frac{|f(\xi)|}{|\xi-z|}d\xi \end{aligned}≤∣∣∣∣∫C(ξ−z)(ξ−z0)2f(ξ)dξ∣∣∣∣=∣∣∣∣∫Cn+1(ξ−z)(ξ−z0)2f(ξ)dξ∣∣∣∣∫Cn+1∣ξ−z∣∣ξ−z0∣2∣f(ξ)∣ds=δ21∫Cn+1∣ξ−z∣∣f(ξ)∣dξ令MMM为∣f(ξ)∣|f(\xi)|∣f(ξ)∣在Cn+1C_{n+1}Cn+1上的最大值，同时∣ξ−z∣≥δ2|\xi-z|\ge\frac{\delta}{2}∣ξ−z∣≥2δ，因此1δ2∫Cn+1∣f(ξ)∣∣ξ−z∣dξ≤4Mπδ2\begin{aligned} &\frac{1}{\delta^2}\int_{C_{n+1}}\frac{|f(\xi)|}{|\xi-z|}d\xi\le \frac{4M\pi}{\delta^2} \end{aligned}δ21∫Cn+1∣ξ−z∣∣f(ξ)∣dξ≤δ24Mπ因此lim⁡z→z0(∫Cf(ξ)(ξ−z)(ξ−z0)dξ−∫Cf(ξ)(ξ−z0)2dξ)=lim⁡z→z0Δz∫Cf(ξ)(ξ−z)(ξ−z0)2dξ=0\begin{aligned} &\lim_{z\to z_0}(\int_C\frac{f(\xi)}{(\xi-z)(\xi-z_0)}d\xi-\int_C\frac{f(\xi)}{(\xi-z_0)^2}d\xi)\\ =&\lim_{z\to z_0}\Delta z\int_C\frac{f(\xi)}{(\xi-z)(\xi-z_0)^2}d\xi=0 \end{aligned}=z→z0lim(∫C(ξ−z)(ξ−z0)f(ξ)dξ−∫C(ξ−z0)2f(ξ)dξ)z→z0limΔz∫C(ξ−z)(ξ−z0)2f(ξ)dξ=0这就证得了f′(z0)=12iπ∫Cf(ξ)(ξ−z0)2dξf^\prime(z_0)=\frac{1}{2i\pi}\int_C\frac{f(\xi)}{(\xi-z_0)^2}d\xi f′(z0)=2iπ1∫C(ξ−z0)2f(ξ)dξ其他阶导数可用数学归纳法类似证明，这里不再赘述

推论5.1 f(x)f(x)f(x)在区域DDD上解析，则f(x)f(x)f(x)在区域DDD上有无穷阶导数

对于z0∈Dz_0\in Dz0∈D，只要找一个闭邻域B‾(z0,δ)⊂D\overline{B}(z_0,\delta)\subset DB(z0,δ)⊂D，其边界为C:∣z−z0∣=δC:|z-z_0|=\deltaC:∣z−z0∣=δ，然后应用定理5.6即可。在数学分析中，在开区间(a,b)(a,b)(a,b)上可导的函数不一定有无穷阶导数，而在复变函数中，在区域DDD上可导的函数却有无穷阶导数，这是解析函数优良性质。

例5.4 通过计算∫∣z∣=1(z+1z)2ndzz(n=1,2,⋯)\int_{|z|=1}(z+\frac{1}{z})^{2n}\frac{dz}{z}(n=1,2,\cdots) ∫∣z∣=1(z+z1)2nzdz(n=1,2,⋯)证明∫02πcos⁡2nθdθ=2π(2n−1)!!(2n)!!\int_0^{2\pi}\cos^{2n}\theta d\theta = 2\pi \frac{(2n-1)!!}{(2n)!!} ∫02πcos2nθdθ=2π(2n)!!(2n−1)!!

证：令f(z)=(z2+1)2nf(z)=(z^2+1)^{2n}f(z)=(z2+1)2n，我们先求f(2n)(z)f^{(2n)}(z)f(2n)(z)，由二项式定理f(z)=∑k=02nC2nkz2kf(z)=\sum_{k=0}^{2n}C_{2n}^kz^{2k}f(z)=k=0∑2nC2nkz2k
则f(2n)(z)=C2nn(2n)!+...+C2n2n(4n)(4n−1)⋯(2n+1)z2nf^{(2n)}(z)=C_{2n}^n(2n)!+...+C_{2n}^{2n}(4n)(4n-1)\cdots(2n+1)z^{2n} f(2n)(z)=C2nn(2n)!+...+C2n2n(4n)(4n−1)⋯(2n+1)z2n故f(2n)(0)=(2n)!C2nn=(2n)!(2n)!(n!)2f^{(2n)}(0)=(2n)!C_{2n}^n=(2n)!\frac{(2n)!}{(n!)^2} f(2n)(0)=(2n)!C2nn=(2n)!(n!)2(2n)!由定理5.6，有f(2n)(0)=(2n)!2πi∫∣z∣=1(z+1z)2ndzzf^{(2n)}(0)=\frac{(2n)!}{2\pi i}\int_{|z|=1}(z+\frac{1}{z})^{2n}\frac{dz}{z} f(2n)(0)=2πi(2n)!∫∣z∣=1(z+z1)2nzdz故∫∣z∣=1(z+1z)2ndzz=2iπC2nn\int_{|z|=1}(z+\frac{1}{z})^{2n}\frac{dz}{z}=2i\pi C_{2n}^n ∫∣z∣=1(z+z1)2nzdz=2iπC2nn对z=eiθz=e^{i\theta}z=eiθ，有z+1z=cos⁡2θ+1+isin⁡2θeiθ=2cos⁡θz+\frac{1}{z}=\frac{\cos 2\theta+1+i\sin 2\theta}{e^{i\theta}}=2\cos\theta z+z1=eiθcos2θ+1+isin2θ=2cosθ则∫∣z∣=1(z+1z)2ndzz=22ni∫02πcos⁡2nθdθ\int_{|z|=1}(z+\frac{1}{z})^{2n}\frac{dz}{z}=2^{2n}i\int_0^{2\pi}\cos^{2n}\theta d\theta ∫∣z∣=1(z+z1)2nzdz=22ni∫02πcos2nθdθ就有∫02πcos⁡2nθdθ=2π(2n)!(2n)!!(2n)!!=2π(2n−1)!!(2n)!!\int_0^{2\pi}\cos^{2n}\theta d\theta=2\pi\frac{(2n)!}{(2n)!!(2n)!!}=2\pi\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!} ∫02πcos2nθdθ=2π(2n)!!(2n)!!(2n)!=2π(2n)!!(2n−1)!!

例5.5 计算积分∫∣z∣=2dzz2+2\displaystyle \int_{|z|=2}\frac{dz}{z^2+2}∫∣z∣=2z2+2dz

解：任取一条围绕着2i\sqrt{2}i2i，但不含−2i-\sqrt{2}i−2i，且包含在∣z∣<2|z|<2∣z∣<2内的简单闭曲线C1C_1C1，及一条围绕着−2i-\sqrt{2}i−2i，包含在∣z∣<2|z|<2∣z∣<2，且在C1C_1C1的外区域的简单闭曲线C2C_2C2，由柯西积分定理
∫∣z∣=2dzz2+2=∫C1dzz2+2+∫C2dzz2+2\int_{|z|=2}\frac{dz}{z^2+2}=\int_{C_1}\frac{dz}{z^2+2}+\int_{C_2}\frac{dz}{z^2+2} ∫∣z∣=2z2+2dz=∫C1z2+2dz+∫C2z2+2dz分别计算∫C1dzz2+2,∫C2dzz2+2\displaystyle\int_{C_1}\frac{dz}{z^2+2},\int_{C_2}\frac{dz}{z^2+2}∫C1z2+2dz,∫C2z2+2dz：
∫C1dzz2+2=∫C1dz(z+2i)(z−2i)\int_{C_1}\frac{dz}{z^2+2}=\int_{C_1}\frac{dz}{(z+\sqrt{2}i)(z-\sqrt{2}i)}∫C1z2+2dz=∫C1(z+2i)(z−2i)dz由于1z+2i\frac{1}{z+\sqrt{2}i}z+2i1在C1C_1C1的内区域D1D_1D1解析，D1‾\overline{D_1}D1上连续，由柯西积分公式：
2πi22i=2π2=∫C1dzz2+2\frac{2\pi i}{2\sqrt{2} i}=\frac{\sqrt{2}\pi}{2}=\int_{C_1}\frac{dz}{z^2+2} 22i2πi=22π=∫C1z2+2dz同理得到∫C2dzz2+2=−2π2\int_{C_2}\frac{dz}{z^2+2}=-\frac{\sqrt{2}\pi}{2} ∫C2z2+2dz=−22π因此∫∣z∣=2dzz2+2=0\int_{|z|=2}\frac{dz}{z^2+2}=0 ∫∣z∣=2z2+2dz=0

刘维尔定理及代数基本定理

由定理5.6，我们可以对解析函数的各阶导数进行估计。

定理5.7（柯西积分不等式）f(z)f(z)f(z)在区域DDD上解析，z0∈Dz_0\in Dz0∈D，z0z_0z0的闭邻域B‾(z0,R)⊂D\overline{B}(z_0,R)\subset DB(z0,R)⊂D，则∣f(p)(z0)∣≤p!MRn|f^{(p)}(z_0)| \le \frac{p!M}{R^n} ∣f(p)(z0)∣≤Rnp!M其中MMM为∣f(z)∣|f(z)|∣f(z)∣在∣z−z0∣=R|z-z_0|=R∣z−z0∣=R上的最大值

证：
由定理5.6，就有f(p)(z0)=p!2πi∫∣z−z0∣=Rf(z)(z−z0)p+1dzf^{(p)}(z_0)=\frac{p!}{2\pi i}\int_{|z-z_0|=R}\frac{f(z)}{(z-z_0)^{p+1}}dz f(p)(z0)=2πip!∫∣z−z0∣=R(z−z0)p+1f(z)dz因此∣f(p)(z0)∣≤p!2π∫∣z−z0∣=R∣f(z)∣∣z−z0∣p+1ds=p!2πRp+1∫∣z−z0∣=R∣f(z)∣dz≤p!M2πRp+1∫∣z−z0∣=Rdz=p!MRn\begin{aligned} &|f^{(p)}(z_0)|\le\frac{p!}{2\pi}\int_{|z-z_0|=R}\frac{|f(z)|}{|z-z_0|^{p+1}}ds=\frac{p!}{2\pi R^{p+1}}\int_{|z-z_0|=R}|f(z)|dz\\ \le&\frac{p!M}{2\pi R^{p+1}}\int_{|z-z_0|=R}dz=\frac{p!M}{R^n} \end{aligned} ≤∣f(p)(z0)∣≤2πp!∫∣z−z0∣=R∣z−z0∣p+1∣f(z)∣ds=2πRp+1p!∫∣z−z0∣=R∣f(z)∣dz2πRp+1p!M∫∣z−z0∣=Rdz=Rnp!M

如果f(z)f(z)f(z)在整个复平面上解析，则称f(z)f(z)f(z)是整函数。由上面的不等式，就可以得出以下定理

定理5.8（刘维尔定理） 有界整函数必恒为一常数

证：
设∣f(z)∣≤M|f(z)|\le M∣f(z)∣≤M，任取一点z∈Cz\in Cz∈C，由定理5.7，有f′(z)≤MRf^\prime(z) \le \frac{M}{R} f′(z)≤RM 其中RRR为任意的正数，令R→∞R\to\inftyR→∞，得到f′(z)=0f^\prime(z)=0 f′(z)=0故f(z)f(z)f(z)恒为常数

下面我们证明高等代数第一章提出的代数基本定理：

定理5.9（代数基本定理） 复nnn次多项式（n≥1n\ge 1n≥1）在复平面上必有零点

证：
对nnn次多项式p(z)=zn+a1zn−1+⋯+anp(z)=z^n+a_1z^{n-1}+\cdots+a_np(z)=zn+a1zn−1+⋯+an，如果p(z)p(z)p(z)在CCC上没有零点，那么存在δ>0\delta>0δ>0，p(z)≥δp(z)\ge \deltap(z)≥δ，这是因为，首先lim⁡∣z∣→∞p(z)zn=1\lim_{|z|\to\infty}\frac{p(z)}{z^n}=1 ∣z∣→∞limznp(z)=1故lim⁡∣z∣→∞∣p(z)∣=∞\displaystyle\lim_{|z|\to\infty}|p(z)|=\infty∣z∣→∞lim∣p(z)∣=∞，如果inf⁡z∈Cp(z)=0\displaystyle \inf_{z\in C}p(z)=0z∈Cinfp(z)=0，那么存在点列{zn}\{z_n\}{zn}，满足lim⁡n→∞∣p(zn)∣=0\displaystyle\lim_{n\to\infty}|p(z_n)|=0n→∞lim∣p(zn)∣=0，存在δ>0\delta>0δ>0，当∣z∣≥δ|z|\ge \delta∣z∣≥δ时，∣p(z)∣≥1|p(z)|\ge 1∣p(z)∣≥1，存在NNN，n≥Nn\ge Nn≥N时，∣p(zn)∣<1|p(z_n)|<1∣p(zn)∣<1，此时∣zn∣<δ|z_n|<\delta∣zn∣<δ。因此，存在{zn}\{z_n\}{zn}的收敛子列{znk}\{z_{n_k}\}{znk}，由于p(z)p(z)p(z)在整个复平面解析，p(z)p(z)p(z)在整个复平面连续，设lim⁡k→∞znk=z0\displaystyle\lim_{k\to\infty}z_{n_k}=z_0k→∞limznk=z0，则∣p(z0)∣=0|p(z_0)|=0∣p(z0)∣=0，与p(z)p(z)p(z)在复平面上没有零点是矛盾的。
于是∣1p(z)∣≤1δ|\frac{1}{p(z)}|\le\frac{1}{\delta}∣p(z)1∣≤δ1，且1p(z)\frac{1}{p(z)}p(z)1在全复平面解析，是整函数，由刘维尔定理，其恒等于一个常复数ccc，当然，c≠0c\neq 0c=0，故p(z)=cp(z)=c p(z)=c这又与p(z)p(z)p(z)是nnn次多项式矛盾，这说明p(z)p(z)p(z)在CCC上至少有一个零点

莫雷拉定理

定理5.10 若函数f(z)f(z)f(z)在单连通区域DDD上连续，且对DDD内任意的周线CCC，都有∫Cf(z)dz=0\int_Cf(z)dz=0 ∫Cf(z)dz=0则f(z)f(z)f(z)在DDD上解析

证：
如果f(z)f(z)f(z)在DDD上连续，且∫Cf(z)dz=0\displaystyle \int_Cf(z)dz=0∫Cf(z)dz=0，那么f(z)f(z)f(z)在DDD上积分与路径无关，任取z0∈Dz_0\in Dz0∈D，定义F(z)=∫z0zf(ξ)dξF(z)=\int_{z_0}^zf(\xi)d\xi F(z)=∫z0zf(ξ)dξ积分路径是z0z_0z0到zzz的任意逐段可微曲线，可以证明F(z)F(z)F(z)在DDD上解析，并且F′(z)=f(z)F^\prime(z)=f(z) F′(z)=f(z)由于解析函数无穷次可微，f(z)f(z)f(z)也在DDD上解析

由莫雷拉定理可以看出，积分与路径无关只对解析函数成立。

放缩的具体步骤如下
∣∫Δnf(z)dz∣=∣∫Δnf(z)−f(z0)−f′(z0)(z−z0)dz∣≤ε∫Δn∣z−z0∣ds≤εd(Δn)L2n\begin{aligned} &\left|\int_{\Delta_{n}}f(z)dz\right|=\left|\int_{\Delta_{n}}f(z)-f(z_0)-f^\prime(z_0)(z-z_0)dz\right|\\\le&\varepsilon\int_{\Delta_n}|z-z_0|ds \le \varepsilon d(\Delta_n)\frac{L}{2^n} \end{aligned}≤∣∣∣∣∫Δnf(z)dz∣∣∣∣=∣∣∣∣∫Δnf(z)−f(z0)−f′(z0)(z−z0)dz∣∣∣∣ε∫Δn∣z−z0∣ds≤εd(Δn)2nL当然，容易证明三角形的直径就是其某一条边，就有d(Δn)≤L2nd(\Delta_n)\le \frac{L}{2^n} d(Δn)≤2nL ↩︎