题目

农夫约翰和奶牛贝茜喜欢在业余时间互相出数学题。

约翰给贝茜出了一道相当难的问题，导致她没能解决。

现在，她希望通过给约翰出一道有挑战性的难题来报复他。

贝茜给了约翰一个表达式 (B+E+S+S+I+E)(G+O+E+S)(M+O+O)，其中包含七个变量 B,E,S,I,G,O,M（O 是变量，不是零）。

对于每个变量，她给约翰一个列表，表中包含该变量可采用的最多 20 个整数值。

她要求约翰计算，共有多少种给变量赋值的方法可以使得表达式的计算结果偶数。

输入格式
第一行包含一个整数 N。

接下来 N 行，每行包含一个变量和该变量的一个可能值。

每个变量至少出现 1 次，最多出现 20 次。

同一变量不会重复列出同一可能值。

输出格式
输出可以使得表达式的计算结果是偶数的给变量赋值的方法总数。

数据范围
7≤N≤140,
所有变量的可能取值范围 [−300,300]
输入样例：

10
B 2
E 5
S 7
I 10
O 16
M 19
B 3
G 1
I 9
M 2

输出样例：

样例解释
共有 6 种可能的赋值方式：

(B,E,S,I,G,O,M) = (2, 5, 7, 10, 1, 16, 19) -> 53,244= (2, 5, 7, 10, 1, 16, 2 ) -> 35,496= (2, 5, 7, 9,  1, 16, 2 ) -> 34,510= (3, 5, 7, 10, 1, 16, 2 ) -> 36,482= (3, 5, 7, 9,  1, 16, 19) -> 53,244= (3, 5, 7, 9,  1, 16, 2 ) -> 35,496

注意，(2, 5, 7, 10, 1, 16, 19) 和 (3, 5, 7, 9, 1, 16, 19)，虽然计算结果相同，但是赋值方式不同，所以要分别计数。

解题思路

首先，题目中的式子为
(B+E+S+S+I+E)(G+O+E+S)(M+O+O)(B+E+S+S+I+E)(G+O+E+S)(M+O+O) (B+E+S+S+I+E)(G+O+E+S)(M+O+O)
可以化简为
(B+I+2E+2S)(E+G+O+S)(M+2O)(B+I+2E+2S)(E+G+O+S)(M+2O) (B+I+2E+2S)(E+G+O+S)(M+2O)

因为题目中要求结果为偶数即可
而偶数+偶数 = 偶数
奇数+偶数 = 奇数

所以每一项里的偶数对每一项的奇偶没有影响，即2E,2S,2O并不会影响最终结果所以式子可以化简为
M(B+I)(E+G+O+S)M(B+I)(E+G+O+S) M(B+I)(E+G+O+S)
且式子中 7 个变量均出现了，所以去掉其中的偶数项不会影响方案数

又因为偶数*偶数 = 偶数
奇数*偶数 = 偶数
所以只要这三项中有一项为偶数即可，其他两项中的数可以随意组合

设某变量为 0 时代表该变量为偶数，为 1 时代表该变量为奇数
那么当 M 为偶数时，即 M 的状态为 0 时，最后结果必为偶数，其他数的所有组合均为可行解
当 B 和 I 都为偶数或者都为奇数时，即两者状态相同，均为 0 或者均为 1 时，即两者异或等于 0 时，最后结果必为偶数，其他数的所有组合均为可行解
当 E,G,O,S 都为偶数，或者都为奇数，或者两奇两偶时，即奇数的个数为偶数个时，即四者状态异或为 0 时，最后结果必为偶数，其他数的所有组合均为可行解

每一个可行解的方案数=∏j=06第j个变量当前状态(偶数/奇数)的个数每一个可行解的方案数=\prod\limits_{j = 0}^6 第 j 个变量当前状态(偶数/奇数)的个数每一个可行解的方案数=j=0∏6第j个变量当前状态(偶数/奇数)的个数

总方案数就是将每一个方案数相加

C++代码

#include<iostream>
#include<map>using namespace std;int n;
int res = 0;
int count[7][2];
std::map<char,int> key;int main()
{std::ios::sync_with_stdio(false);key['M'] = 6;key['B'] = 5;key['I'] = 4;key['E'] = 3;key['G'] = 2;key['O'] = 1;key['S'] = 0;cin >> n;for(int i = 0; i < n; i++){char ch;int x;cin >> ch >> x;if(x % 2 == 0) count[key[ch]][0]++;else count[key[ch]][1]++;}for(int i = 0; i < 1 << 7; i++){bool m = (i >> 6) & 1;bool b_i = ((i >> 5) & 1) ^ ((i >> 4) & 1);bool e_g_o_s = ((i >> 3) & 1) ^ ((i >> 2) & 1) ^ ((i >> 1) & 1) ^ (i & 1);if(!m || !b_i || !e_g_o_s){int temp = 1;for(int j = 0; j < 7; j++) temp *= count[j][(i >> j) & 1];res += temp;}}cout << res << endl;
}

Java代码（带注释）

import java.util.LinkedHashMap;
import java.util.Map;
import java.util.Scanner;public class Main {public static void main(String[] args) {Scanner sc = new Scanner(System.in);int n = sc.nextInt();int sum = 0;Map<Character, Integer> map = new LinkedHashMap<Character, Integer>();map.put('M', 6);map.put('B', 5);map.put('I', 4);map.put('E', 3);map.put('G', 2);map.put('O', 1);map.put('S', 0);int[][] count = new int[7][2];    // 存储每个变量偶数和奇数的个数，分别对应下标 0 和 1for(int i = 0; i < n; i++) {char ch = sc.next().toCharArray()[0];int x = sc.nextInt();if(x % 2 == 0) count[map.get(ch)][0]++;  // 记录该变量偶数的个数else count[map.get(ch)][1]++;    // 记录该变量奇数的个数}/** M * (B + I) * (E + G + O +S)* 设选偶数为 0，选奇数为 1* 总共有 2^7 种排列方式，即[00000000-10000000)*/for(int i = 0; i < 1 << 7; i++) {boolean m = (i >> 6 & 1) == 0;  // 若最高位为 0，则说明该位为偶数，即结果必为偶数，否则该位为奇数，结果未知// 若第 5位和第 4位异或为 0，则说明两个全 0或者全 1，即全奇或者全偶，即结果必为偶数，若异或为1，则一奇一偶，结果未知boolean b_i = ((i >> 5 & 1) ^ (i >> 4 & 1)) == 0; // 若第 3、2、1、0位异或为 0，则说明 0和 1的个数均为偶数，即奇数和偶数的个数均为偶数个，即结果必为偶数，若异或结果为 1，说明有奇数个奇数，结果未知boolean e_g_o_s = ((i >> 3 & 1) ^ (i >> 2 & 1) ^ (i >> 1 & 1) ^ (i & 1)) == 0;int temp = 1;// 若三项中有任意一项为偶数，则乘积必为偶数if(m || b_i || e_g_o_s) { for(int j = 0; j < 7; j++) {temp *= count[j][(i >> j) & 1];    // 若该变量选择了偶数/奇数(0/1),则乘上该变量偶数/奇数的个数(count[j][0/1])}sum += temp;   // 加入总方案数种}}System.out.println(sum);sc.close();}}

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