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标准正交基概述

2011～2012 学年春季学期课程论文

课程名称：线性代数与几何

论文题目: 探索欧氏空间的标准正交基

作者姓名: XXX 学号:XXX

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注:后附课程论文的正文

探索欧氏空间的标准正交基

XXX XXX XXX

摘要：本文首先给出欧式空间标准正交基的定义以及性质，然后给出将欧氏空间

任意一组线性无关的向量组进行正交化和单位化的过程，最后给出两组标准正交

基之间的关系。

关键词：标准正交基正交化正交矩阵

正文：

一.引言：标准正交基对欧氏空间有特别的重要性.在欧氏空间中研究线性变换和二次型时，

都需要通过标准正交基之间的过渡来简化线性变换和二次型矩阵.因此研究欧氏空间的标准

正交基很有意义.

二.定义：

V V

定义1：设是欧氏空间.如果, V 满足条件() 0 ，就称 正交,记为   .

中由两两正交的非零向量组成的向量组 ,  称为正交向量组.如果的基M 是正交向量

1 k

组，就称M 为正交基.由两两正交的单位向量组成的基称为标准正交基.

 ,   V    1,i 1, n

定义2：I= 是欧氏空间的一个基，且  ，又，

1 n  , 0, i  j i

i j

称I 为的一个标准正交基.

三.性质：

性质1.  ,  (1)为的一个基，则以下条件等价：

1 n



1 (1)是标准正交基

1 i j

2  ,  

i j 

0 i  j



      

3  V,  ,    ,     , 

1 1 2 2 n n

    

4 , V, x , x , y , y , 则, x y

1 n 1 n i i

i 1

证明：   当时， ,   1，

1  2 i j i i i

当i  j 时由正交向量的定义易知 ,  0 ，命题成立.

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