【Paper】2007_Consensus control for a class of networks of dynamic agents 二阶静态一致性
文章目录
- 3. Control Protocol and Network Dynamics
- 4. Network with Fixed Topology
- 定理 1
- Remark 1
- Lemma 2
- 证明 Lemma 2
- 证明 定理 1
3. Control Protocol and Network Dynamics
在本节中，我们将介绍解决上述平均一致性问题的控制协议。我们将使用固定拓扑和无通信时延的线性协议:
ui=ui1+ui2(5)u_i = u_{i1} + u_{i2} \tag{5}ui=ui1+ui2(5)
其中
ui1=kvi(6)u_{i1} = k v_i \tag{6}ui1=kvi(6)
是有着反馈增益 kkk 的本地速度反馈，反馈增益之后会来设计，并且
ui2=∑j∈Niaij(xj−xi)(7)u_{i2} = \sum_{j\in N_i} a_{ij} (x_j - x_i) \tag{7}ui2=j∈Ni∑aij(xj−xi)(7)
是节点 viv_ivi 的邻居对应的部分，在拓扑固定的网络中是恒定的，在拓扑切换的网络中是可变的。
通过使用协议（5），智能体动力学可写成如下形式：
x˙i=vimv˙i=kvi+∑j∈Niaij(xj−xi)(8)\begin{aligned} \dot{x}_i & = v_i \\ m \dot{v}_i & = k v_i + \sum_{j\in N_i} a_{ij} (x_j - x_i) \end{aligned}\tag{8}x˙imv˙i=vi=kvi+j∈Ni∑aij(xj−xi)(8)
定义
ξi=[xi,vi]T\xi_i = [x_i, v_i]^\text{T}ξi=[xi,vi]T
我们有
ξ˙i=Aξi+BKξi+BF∑j∈Niaij(ξj−ξi)(9)\dot{\xi}_i = A \xi_i + B K \xi_i + B F \sum_{j\in N_i} a_{ij} (\xi_j - \xi_i) \tag{9}ξ˙i=Aξi+BKξi+BFj∈Ni∑aij(ξj−ξi)(9)
其中 A=[0100]A = \left[\begin{matrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \\ \end{matrix}\right]A=[0010]，B=[01]B = \left[\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ \end{matrix}\right]B=[01]，K=[0k]K = \left[\begin{matrix} 0 & k \end{matrix}\right]K=[0k]，F=[10]F = \left[\begin{matrix} 1 & 0 \end{matrix}\right]F=[10]。
进一步，定义
ξ=[ξ1ξ2⋮ξM]\xi = \left[\begin{matrix} \xi_1 \\ \xi_2 \\ \vdots \\ \xi_M \\ \end{matrix}\right]ξ=⎣⎢⎢⎢⎡ξ1ξ2⋮ξM⎦⎥⎥⎥⎤
动力学模型描述为
ΦG(t)=IM⊗(A+BK)−LG(t)⊗BF(10)\Phi_{G(t)} = I_M \otimes (A+BK) - L_{G(t)} \otimes B F \tag{10}ΦG(t)=IM⊗(A+BK)−LG(t)⊗BF(10)
其中 LG(t)L_{G(t)}LG(t) 是之前提到的关于 ttt 时刻图 G(t)G(t)G(t) 的拉普拉斯矩阵。
如果针对任意时间 ttt 都有图 G(t)≡GG(t) \equiv GG(t)≡G，网络的动力学是一个线性时不变系统。否则的话，网络的动力学通常混合了连续状态 ξ∈R2M\xi \in \R^{2M}ξ∈R2M 和离散状态 GGG。结构就是，网络成为一个典型的线性时间切换系统。
4. Network with Fixed Topology
本节，我们提供了具有固定拓扑网络的平均一致性的分析。
定理 1
考虑一个固定拓扑网络 GGG 是连通图，假设所有初始速度都是 000，即 vi(0)=0v_i(0) = 0vi(0)=0，那么针对任意的负增益 k<0k<0k<0，协议（5）全局渐进解决了平均一致性问题。
Remark 1
一个关于定理 1 更加通用的形式已经在文献 Tanner HG, Jadbabaie A, Pappas GJ. Stable flocking of mobile agents, part I: fixed topology. Proceedings of the IEEE Conference on Decision and Control, Hyatt Regency Maui, HI, U.S.A., vol. 2. 2003; 2010–2015. 中用一个不同的方式进行了证明。
在给出定理 1 的证明前，我们首先考虑 limt→∞exp(Φt)\lim_{t\rightarrow \infty} \exp(\Phi t)limt→∞exp(Φt) 的解。
Lemma 2
假设图 GGG 是连通的，那么对于任意 k<0k<0k<0，
limt→∞exp(Φt)=wrwlT(11)\lim_{t\rightarrow \infty} \exp(\Phi t) = w_r w_l^\text{T} \tag{11}t→∞limexp(Φt)=wrwlT(11)
其中 wl,wrw_l, w_rwl,wr 分别是 Φ\PhiΦ 关于 000 特征值的左特征向量和右特征向量。进一步地，
wr=1M1M⊗[10]T(12)w_r = \frac{1}{\sqrt{M}} \textbf{1}_M \otimes [\begin{matrix} 1 & 0 \end{matrix}]^\text{T} \tag{12}wr=M11M⊗[10]T(12)
wl=1−kM1M⊗[−k1]T(13)w_l = \frac{1}{-k \sqrt{M}} \textbf{1}_M \otimes [\begin{matrix} -k & 1 \end{matrix}]^\text{T} \tag{13}wl=−kM11M⊗[−k1]T(13)
并且 wrTwl=1w_r^\text{T} w_l = 1wrTwl=1。
证明 Lemma 2
首先，我们有
Φ1M1M⊗[10]T=1M(IM⊗(A+BK)−L⊗BF)1M⊗[10]T=1M(IM1M)⊗((A+BK)[10]T)−1M(L1M)⊗(BF[10]T)=1M1M⊗02−1M0M⊗[10]T=02M\begin{aligned} \Phi \frac{1}{\sqrt{M}} \textbf{1}_M \otimes [\begin{matrix} 1 & 0 \end{matrix}]^\text{T} &= \frac{1}{\sqrt{M}} (I_M \otimes (A + B K) - L \otimes B F) \textbf{1}_M \otimes [\begin{matrix} 1 & 0 \end{matrix}]^\text{T} \\ &= \frac{1}{\sqrt{M}} (I_M \textbf{1}_M) \otimes ((A+BK) [\begin{matrix} 1 & 0 \end{matrix}]^\text{T}) -\frac{1}{\sqrt{M}} (L \textbf{1}_M) \otimes (BF [\begin{matrix} 1 & 0 \end{matrix}]^\text{T}) \\ &= \frac{1}{\sqrt{M}} \textbf{1}_M \otimes \textbf{0}_2 - \frac{1}{\sqrt{M}} \textbf{0}_M \otimes [\begin{matrix} 1 & 0 \end{matrix}]^\text{T} \\ &= \textbf{0}_{2M} \end{aligned}ΦM11M⊗[10]T=M1(IM⊗(A+BK)−L⊗BF)1M⊗[10]T=M1(IM1M)⊗((A+BK)[10]T)−M1(L1M)⊗(BF[10]T)=M11M⊗02−M10M⊗[10]T=02M
这意味着 wr=1/M1M⊗[10]Tw_r = 1 / \sqrt{M} \textbf{1}_M \otimes [\begin{matrix} 1 & 0 \end{matrix}]^\text{T}wr=1/M1M⊗[10]T。
接下来
现在我们给出定理 1 的证明。
证明 定理 1
根据引理 2，我们有
ξ(t)=exp(Φt)ξ(0)\xi(t) = \exp (\Phi t) \xi(0)ξ(t)=exp(Φt)ξ(0)
由此可见
limt→∞ξ(t)=limt→∞exp(Φt)ξ(0)=wrwlTξ(0)=(wlTξ(0))wr=1M(wlTξ(0))1M⊗[10]T\begin{aligned} \lim_{t\rightarrow \infty} \xi(t) &= \lim_{t\rightarrow \infty} \exp(\Phi t) \xi(0) \\ &= w_r w_l^\text{T} \xi(0) \\ &= (w_l^\text{T} \xi(0)) w_r \\ &= \frac{1}{\sqrt{M}} (w_l^\text{T} \xi(0)) \textbf{1}_M \otimes [\begin{matrix} 1 & 0 \end{matrix}]^\text{T} \end{aligned}t→∞limξ(t)=t→∞limexp(Φt)ξ(0)=wrwlTξ(0)=(wlTξ(0))wr=M1(wlTξ(0))1M⊗[10]T
由于
1M(wlTξ(0))=1M(1MT⊗[1−1k])[x1(0)v1(0)⋯xM(0)vM(0)]=1M∑i=1M(xi(0)−vi(0)k)=Ave(x0)\begin{aligned} \frac{1}{\sqrt{M}} (w_l^\text{T} \xi(0)) &= \frac{1}{M} (\textbf{1}_M^\text{T} \otimes [\begin{matrix} 1 & -\frac{1}{k} \end{matrix}]) [\begin{matrix} x_1(0) & v_1(0) & \cdots & x_M(0) & v_M(0) \end{matrix}] \\ &= \frac{1}{M} \sum_{i=1}^M (x_i(0) - \frac{v_i(0)}{k}) \\ &= \text{Ave}(x_0) \end{aligned}M1(wlTξ(0))=M1(1MT⊗[1−k1])[x1(0)v1(0)⋯xM(0)vM(0)]=M1i=1∑M(xi(0)−kvi(0))=Ave(x0)
并且能够知道的是
limt→∞vi(t)=0,i=1,2,⋯,M\lim_{t\rightarrow \infty} v_i(t) = 0, \quad i=1,2,\cdots,Mt→∞limvi(t)=0,i=1,2,⋯,M
这表明协议（5）全局渐进解决了平均一致性问题。完成了证明。
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