Lewis F L, Zhang H, Hengster-Movric K, et al. Cooperative control of multi-agent systems: optimal and adaptive design approaches[M]. Springer Science & Business Media, 2013.

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- 2.7 Second-Order Consensus
- - 2.7.1 Analysis of Second-Order Consensus Using Position/Velocity Local Node States
  - - 引理2.1 协同控制的稳定性条件
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2.7 Second-Order Consensus

一致性在协同控制中一个应用就是车辆的编队控制。因此，我们现在希望研究满足牛顿定律 xi¨=ui\ddot{x_i} = u_ixi¨=ui 的耦合系统，其满足二阶系统节点动力学

x˙i=viv˙i=ui(2.81)\begin{aligned} \dot{x}_i &= v_i \\ \dot{v}_i &= u_i \\ \end{aligned} \tag{2.81}x˙iv˙i=vi=ui(2.81)

其中位置 xi∈Rx_i \in \Rxi∈R，速度 vi∈Rv_i \in \Rvi∈R，加速度输入 ui∈Ru_i \in \Rui∈R。考虑二阶局部邻域协议在每个节点上给出的分布式位置/速度反馈

ui=c∑j∈Niaijxj−xi+cγ∑j∈Niaij(vj−vi)=∑j∈Nicaij((xj−xi)+γ(vj−vi))(2.82)\begin{aligned} u_i &= c \sum_{j \in N_i} a_{ij} {x_j - x_i} + c \gamma \sum_{j \in N_i} a_{ij} (v_j - v_i) \\ &= \sum_{j \in N_i} c a_{ij} ( (x_j-x_i) + \gamma (v_j - v_i) ) \end{aligned} \tag{2.82}ui=cj∈Ni∑aijxj−xi+cγj∈Ni∑aij(vj−vi)=j∈Ni∑caij((xj−xi)+γ(vj−vi))(2.82)

其中 c>0c>0c>0 是一个刚性增益，cγ>0c\gamma>0cγ>0 是一个阻尼增益。这是基于位置和速度的本地投票协议，因此，每个节点寻找匹配所有邻居的位置和速度。这是一种比例-导数控制的变体。

我们希望确定该协议何时提供一致，并找到位置和速度的一致值。我们用两种方法分析这个协议。

2.7.1 Analysis of Second-Order Consensus Using Position/Velocity Local Node States

分析二阶一致性的第一种方法参考 [1]。定义位置/速度本地节点状态为 zi=[xivi]z_i = [\begin{matrix} x_i & v_i \end{matrix}]zi=[xivi] 写出位置/速度节点动力学

zi=[0100]zi+[01]ui=Azi+Bui(2.83)\begin{aligned} z_i &= \left[\begin{matrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \\ \end{matrix}\right] z_i + \left[\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ \end{matrix}\right] u_i \\ &= A z_i + B u_i \end{aligned} \tag{2.83}zi=[0010]zi+[01]ui=Azi+Bui(2.83)

定义本地分布式控制协议
ui=c[1γ]∑j∈Niaij[xj−xivj−vi]=cK∑j∈Niaij(zj−zi)(2.84)\begin{aligned} u_i &= c \left[\begin{matrix} 1 & \gamma \\ \end{matrix}\right] \sum_{j \in N_i} a_{ij} \left[\begin{matrix} x_j - x_i \\ v_j - v_i \\ \end{matrix}\right] \\ &= c K \sum_{j \in N_i} a_{ij} (z_j - z_i) \end{aligned} \tag{2.84}ui=c[1γ]j∈Ni∑aij[xj−xivj−vi]=cKj∈Ni∑aij(zj−zi)(2.84)

其中反馈增益矩阵 K=[1γ]K = \left[\begin{matrix} 1 & \gamma \\ \end{matrix}\right]K=[1γ]。这是每个节点的状态变量反馈。

引理2.1 协同控制的稳定性条件

令 λi,i=1,⋯,Nλ_i, i = 1, \cdots, Nλi,i=1,⋯,N 为图拉普拉斯矩阵 LLL 的特征值。那么动力学（2.74）/（2.75）的稳定性特性等同于 NNN 个系统
A−cλiBK,i=1,⋯,NA - c \lambda_i B K, \quad i=1,\cdots,NA−cλiBK,i=1,⋯,N
的稳定性特性，因为它们有相同的特征值。
证明：定义一个转换矩阵 MMM 满足 J=M−1LMJ = M^{-1} L MJ=M−1LM，JJJ 是一个以特征值 λi,i=1,,⋯,N\lambda_i, i=1,,\cdots, Nλi,i=1,,⋯,N 为对角元素的上三角矩阵。应用状态空间转化
(M−1⊗I)[(IN⊗A)−cL⊗BK](M⊗I)=[(IN⊗A)−cJ⊗BK](2.78)\begin{aligned} &(M^{-1} \otimes I) [(I_N \otimes A) - cL \otimes BK] (M \otimes I) \\ &=[(I_N \otimes A) - c J \otimes BK] \end{aligned}\tag{2.78}(M−1⊗I)[(IN⊗A)−cL⊗BK](M⊗I)=[(IN⊗A)−cJ⊗BK](2.78)
并且定义新状态 ξ=(M−1⊗I)δ\xi = (M^{-1} \otimes I)\deltaξ=(M−1⊗I)δ。那么转换后的系统是块三角形式，并且对角块有如下形式
ξ˙i=(A−cλiBK)ξi(2.79)\dot{\xi}_i = (A - c \lambda_i B K) \xi_i \tag{2.79}ξ˙i=(A−cλiBK)ξi(2.79)
因此，（2.74）/（2.75）的稳定性等价于所有这些系统的稳定性，因为状态空间转换不会改变特征值。

现在结合（2.74）来验证，定义 z=[z1Tz2T⋯zNT]∈R2Nz = \left[\begin{matrix} z_1^\text{T} & z_2^\text{T} & \cdots & z_N^\text{T} \end{matrix}\right] \in \R^{2N}z=[z1Tz2T⋯zNT]∈R2N，写出全局闭环动力学（2.75）为

z˙=[(IN⊗A)−cL⊗BK]z=Acz(2.85)\begin{aligned} \dot{z} &= [(I_N \otimes A) - c L \otimes B K] z \\ &= A_c z \end{aligned} \tag{2.85}z˙=[(IN⊗A)−cL⊗BK]z=Acz(2.85)

其中特定的 A,B,KA,B,KA,B,K 已给出。

假设图有一个生成树。那么 LLL 有一个简单特征值 λ1=0\lambda_1 = 0λ1=0，并且秩为 N−1N-1N−1，并且剩下的特征值都严格在 sss 平面的右半部分。基于这些情况，我们想要探究协议（2.82）的一致性特征。首先，我们需要探究系统（2.85）的稳定性，之后找出位置和速度的一致值。

为了验证协议的稳定性，根据引理 2.1 的证明，在（2.85）中的 AcA_cAc 等价于
diag{A,(A−cλ2BK),⋯,(A−cλNBK)}(2.86)\text{diag} \{A, (A - c \lambda_2 B K), \cdots, (A - c \lambda_N B K)\} \tag{2.86}diag{A,(A−cλ2BK),⋯,(A−cλNBK)}(2.86)

与 Re{λi}>0,i=2,⋯,N\text{Re}\{\lambda_i\} > 0, i=2,\cdots,NRe{λi}>0,i=2,⋯,N。矩阵 AAA 有两个特征值 μ1=0\mu_1 = 0μ1=0

Ref

[1] Xie G, Wang L (2007) Consensus control for a class of networks of dynamic agents. Int J Robust Nonlinear Control 17(10–11):941–959.

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