耶鲁大学博弈论(Game Theory) 笔记4-足球比赛与商业合作之最佳对策

文章目录

点球博弈
- 结论
最佳对策定义
- 参与者针对对手策略的定义
- 广义定义
合伙人博弈
- 外部性

点球博弈

其中U1(4,−4)U_1(4,-4)U1(4,−4)=4，即为我选择左路射门而对手选择左路防守时进球概率为40%。
由图可见，选择M永远不是一个最佳对策(BR)

结论

不要选择在任何条件下都非最佳对策的策略。

最佳对策定义

参与者针对对手策略的定义

如果对SiS_iSi的所有s‘is‘_is‘i有
Ui(s^i,s−i)≥Ui(si′,s−i)U_i(\hat{s}_i,s_{-i})\geq U_i(s'_i,s_{-i}) Ui(s^i,s−i)≥Ui(si′,s−i)

则参与者iii的策略s^i\hat{s}_is^i是对其他参与者策略s−is_{-i}s−i的BR。
或者表示为如下形式，即最大化对手选择策略s−1s_{-1}s−1时我方的收益。
s^isolvessimaxUi(si,s−1)\hat{s}_i\quad solves_{s_i}^{max}U_i(s_i,s_{-1}) s^isolvessimaxUi(si,s−1)

广义定义

扩展为广义定义后，参与者iii的策略s^i\hat{s}_is^i是对其他参与者策略选择持信念P的BR。在参与者持信念 P 的情况下选s^i\hat{s}_is^i获得的预期收益比在同样的信念p 下选其它策略，获得的预期收益都要高，对于可选的si′s'_isi′均成立。
EUi(s^i,P)≥EU(si,P)EU_i(\hat{s}_i,P)\geq EU(s_i,P) EUi(s^i,P)≥EU(si,P)
或表达为如下形式
s^isolvessimaxEUi(si′,s−1)\hat{s}_i\quad solves_{s_i}^{max}EU_i(s'_i,s_{-1}) s^isolvessimaxEUi(si′,s−1)
预期收益=我的收益1x对面选择1的概率+我的收益2x对面选择2的概率。

预期收益，此案例中，在参与人 i 持有信念P的情况下，他选择左路攻门的预期收益等于，门将扑向左路的概率乘以两人都选择左路下参与人 i 的收益，再加上门将扑向右路的概率乘以门将扑向右路参与人 i 左路进攻时，参与人 i 的收益，即
EU(L,P)=P(l)×U1(L,l)+P(r)×U1(L,r)EU(L,P)=P(l)\times U_1(L,l)+P(r)\times U_1(L,r) EU(L,P)=P(l)×U1(L,l)+P(r)×U1(L,r)

合伙人博弈

1.两个参与人都是公司股东，各持有公司 50%的股份，供应合伙关系；

2.每个股东要选择对公司投入精力，以“小时”表示，策略集合 Si=[0,4]，这是一个连续区间，不是同于选数游戏中的只能选整数。

3.利润计算方式如下
4×[s1+s2+b∗s1∗s2]0≤b≤144\times[s_1+s_2+b*s_1*s_2] \quad 0\leq b \leq \frac{1}{4} 4×[s1+s2+b∗s1∗s2]0≤b≤41

其中b为协同或互补部分。

由此我们可以进行收益计算：
U1(s1,s2)=12[4×[s1+s2+b∗s1∗s2]]−s12U2(s1,s2)=12[4×[s1+s2+b∗s1∗s2]]−s22U_1(s_1,s_2)=\frac{1}{2}[4\times[s_1+s_2+b*s_1*s_2]]-s_1^2\\ U_2(s_1,s_2)=\frac{1}{2}[4\times[s_1+s_2+b*s_1*s_2]]-s_2^2 U1(s1,s2)=21[4×[s1+s2+b∗s1∗s2]]−s12U2(s1,s2)=21[4×[s1+s2+b∗s1∗s2]]−s22
其中12\frac{1}{2}21为股份占比，s12s_1^2s12为自身投入。

若要计算选s1s_1s1时的最大收益(s2s_2s2为已知数)：
MAXs12(s1+s2+b∗s1∗s2)−s12MAX_{s_1}\quad2(s_1+s_2+b*s_1*s_2)-s_1^2 MAXs12(s1+s2+b∗s1∗s2)−s12
进行求导
2(1+b∗s2)−2s1^=0s1^=1+b∗s2=BR(s2)同理s2^=1+b∗s1=BR(s1)2(1+b*s_2)-2\hat{s_1}=0\\ \hat{s_1}=1+b*s_2=BR(s_2)\\ 同理\\ \hat{s_2}=1+b*s_1=BR(s_1) 2(1+b∗s2)−2s1^=0s1^=1+b∗s2=BR(s2)同理s2^=1+b∗s1=BR(s1)
此时令导数得零取得最值，再求二阶导判断最大最小，小于零，取得是最大值。
0−2≤00-2\leq0 0−2≤0

由BR(s1)BR(s_1)BR(s1)和BR(s2)BR(s_2)BR(s2)可得：
BR1(s2)=1+(14)s2BR_1(s_2)=1+(\frac{1}{4})s_2 BR1(s2)=1+(41)s2

将BR用图表示，红色代表参与者1在不同s2s_2s2下的BR，蓝色为参与者2在不同s1s_1s1下的BR。

因为永远不要选择劣势策略，因此参与人1的(0,1)∪(2,4)(0,1)\cup(2,4)(0,1)∪(2,4)策略被剔除。
同理，参与人2的(0,1)∪(2,4)(0,1)\cup(2,4)(0,1)∪(2,4)策略被剔除，只剩下中间的区域。

将中间区域放大，图像除了点坐标不同外和初始图像完全一样，再次剔除非BR，迭代剔除最终将归为一点。

{s1∗=1+bs2∗s2∗=1+bs1∗→s1∗=s2∗=11−b\left\{ \begin{aligned} s_1^*=1+bs_2^* \\ s_2^*=1+bs_1^* \\ \end{aligned} \right. \rightarrow s_1^*=s_2^*=\frac{1}{1-b} {s1∗=1+bs2∗s2∗=1+bs1∗→s1∗=s2∗=1−b1

外部性

当我计算要为公司付出多少时，没有考虑到利润的一半会归别人所有。

如果减小协同系数b,那么两条线会越来越皆接近于平行和垂直，最终的点会越来越接近于(1,1)。

上图中的交点即是著名的纳什均衡点，在此处双方都采用了自己的最优反应。