耶鲁大学博弈论(Game Theory) 笔记6-纳什均衡之纳什均衡之伯川德模型与选民投票

伯川德竞争

参与人：生产相同产品的两家公司
成本是固定的边际成本，生产一单位产品成本为c

不同于上一节，本次公司将预先设定价格，并让产量自动调节。
策略： p 1 p_1 p1表示公司1的价格， p 2 p_2 p2表示公司2的价格。每个公司可以将价格定在 0 ⩽ p ⩽ 1 0\leqslant p\leqslant 1 0⩽p⩽1，公司考虑如何设定价格然后根据需求调整产量。

用 Q ( p ) Q(p) Q(p)代表市场需求总量： Q ( p ) = 1 − p Q(p)=1-p Q(p)=1−p，其中 p p p是两家公司中价格较低的那个

公司1产品的需求量：

q 1 = { 1 − p 1 , ( p 1 < p 2 ) 0 , ( p 1 > p 2 ) 1 − p 1 2 , ( p 1 = p 2 ) q_1=\begin{cases} 1-p_1 \quad,(p_1<p_2) \\ 0\quad,(p_1>p_2)\\ \frac{1-p_1}{2}\quad,(p_1=p_2) \end{cases} q1=⎩ ⎨ ⎧1−p1,(p1<p2)0,(p1>p2)21−p1,(p1=p2)

收益： q 1 × p 1 − q 1 × c = q 1 ( p 1 ) × c q_1 \times p_1-q_1 \times c=q_1( p_1)\times c q1×p1−q1×c=q1(p1)×c

为了找到NE，首先找到公司1对公司2的最佳响应;

B R 1 ( p 2 ) = { p 1 > p 2 ( p 2 < c ) p = p 2 − ε ( c < p 2 ⩽ p M O N ) p M O N ( p 2 ⩾ p M O N ) p ⩾ c ( p 2 = c ) BR_1(p_2)=\begin{cases} p_1>p_2\quad(p_2<c) \\ p=p_2-\varepsilon \quad(c<p_2\leqslant p^{MON})\\ p^{MON}\quad(p_2\geqslant p^{MON})\\ p\geqslant c\quad(p_2=c) \end{cases} BR1(p2)=⎩ ⎨ ⎧p1>p2(p2<c)p=p2−ε(c<p2⩽pMON)pMON(p2⩾pMON)p⩾c(p2=c)

分段函数意义为：
1.当公司2定价低于成本价销售时，公司1定价必须高于 p 2 p_2 p2才能有效避免亏损
2.当公司2定价高于成本上时，公司1只需降低一点定价，且低于垄断价格
3.当公司2的价格高于垄断价格时，公司1选择垄断价格
4.当公司2的价格等于成本时，公司1选择大于或等于成本

纳什均衡为两家公司都将价格定在边际成本时：
N E = ( p 1 = c , p 2 = c ) NE=(p_1=c,p_2=c) NE=(p1=c,p2=c)
结果于完全竞争十分相似，尽管只有两个参与者
与上节相同设定，但是由于策略集的不同最终的结果也十分不同。

线性城市模型

假设消费者在y点，到公司1的距离为y,到公司2的距离为1-y。假设消费者只购买一个商品，他总会选择对自身成本最小的。

候选人选民模型

假设选民在线上均匀分布，选民会选择离他们最近的候选人。但候选人数量不固定，同时候选人不能选择自身立场，模型中每个选民都是潜在候选人。

参与人：选民
策略：选择是否参选，选民投票给最近的候选者，得票多者当选，平票扔硬币。
收益：参选付出成本C，赢得选举获得奖励B，且B>2C。无论是否参选，如果除了我以外的其他候选人获胜，将给我带来负面效应。假设选民在X点，获胜者在Y点，则支付的成本为-|X-Y|。

有三种可能情况：
X先生在X点，参选并获胜，其收益为B-C；
X先生参选，但Y先生获胜，X先生收益为-C-|X-Y|
X先生不参选，但Y先生获胜，X先生收益为-|X-Y|

假设B=2$,C=1$,总共十七个选民，每个的立场价值为 1 17 \frac{1}{17} 171$