耶鲁大学博弈论(Game Theory) 笔记2-学会换位思考

学会换位思考

如何形成博弈
- 博弈组成要素
- 严格优势策略
- 选数游戏
- 共同知识与相互知识

如何形成博弈

博弈组成要素

参与者 i , j i,j i,j
策略 s i , s j s_i,s_j si,sj
策略合集 S i , S j S_i,S_j Si,Sj:参与者所有可能策略的集合。
某一次博弈 s s s(策略组合，策略向量或策略列表)
收益 U i = ( s 1 , ⋯ , s i , ⋯ , s n U_i=(s_1,\cdots,s_i,\cdots,s_n Ui=(s1,⋯,si,⋯,sn),由所有参与人的策略决定(包括自身策略)。
s − i s_ {-i } s−i表示除了i以外所有参与者的策略

以选数游戏中将博弈表达为：
U i ( s ) = { 5 美元 − 误差， w i n 0 , o t h e r w i s e U_i(s)=\left\{ \begin{aligned} 5美元-误差，win \\ 0 , \qquad otherwise\\ \end{aligned} \right. Ui(s)={5美元−误差，win0,otherwise

在后续中将假设以上为公知信息，每个参与者知道其他人可能选择的策略，其他人的收益。

参与者：1，2
策略合集： S 1 = { 上，下 } S_1=\{上，下\} S1={上，下}， S 2 = { 左，中，右 } S_2=\{左，中，右\} S2={左，中，右}
收益 U 1 ( 上，中 ) U_1(上，中) U1(上，中)=11， U 1 ( 上，中 ) U_1(上，中) U1(上，中)=3

严格优势策略

严格优势策略：参与者 i i i的策略 s i ′ s'_i si′严格劣于参与者 i i i的另一个策略 s i s_i si，在其他人选择 s − i s_ {-i } s−i时，选择 s i s_i si的收益 U i ( s i ) U_i(s_i) Ui(si)严格优于此情况下选 s i ′ s'_i si′的收益 U i ( s i ′ ) U_i(s'_i) Ui(si′)，对所有 s − i s_ {-i } s−i均成立。

进攻与防御

举例：如果在hard路上相遇，在行进过程中他将损失1兵力，交战中又损失1兵力。
定义：参与者 i i i的策略 s i ′ s'_i si′弱于其他策略 s i s_i si当且仅当对手对手选择 s − i s_ {-i } s−i的情况下，参与者 i i i选择 s i s_i si的收益大于对手选择 s − i s_ {-i } s−i，其选择 s i ′ s'_i si′的收益，对任何条件均成立。
U i ( s i , s − i ) ⩾ U i ( s i ′ , s − i ) f o r a l l s − i U i ( s i , s − i ) > U i ( s i ′ , s − i ) f o r s o m e s − i U_i(s_i,s_{-i}) \geqslant U_i(s'_i,s_{-i})\quad for\ all \ s_ {-i } \\ U_i(s_i,s_{-i}) > U_i(s'_i,s_{-i})\quad for\ some \ s_ {-i } Ui(si,s−i)⩾Ui(si′,s−i)for all s−iUi(si,s−i)>Ui(si′,s−i)for some s−i

选数游戏

剔除大于67的数，100的2/3为66，选择大于66的数相当于选择了劣势策略，此时是站在自身角度来考虑。
同理也可以剔除大于45(66的2/3为45)的数，因为在剔除大于67的数后，45到67间的数进而变成了弱劣势策略。此时进入到了第二个过程，在思考时你会发现同伴们同样不会选择劣势策略，因此你同样也不会选择45至67的数。
以此类推最终会得到1.

共同知识与相互知识

共同知识(common knowledge):不只是我知道，而且我是否知道别人也知道。
相互知识(mutual knowledge)：并不是公共知识。例如两个人头上戴着帽子，他们只能看到对方的帽子颜色却不知道自己的，此时双方被告知至少有一个人带着粉色帽子，这个就是相互知识而不是共同知识。