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编码

BCD码

• 用4为二进制数(可以表示 2 4 = 16 2^4=16 24=16种不同的值)来表示10个十进制数0~9
  • 这种编码方法使得二进制数和十进制数可以快速进行转换
  • 容易发现,BCD码中有6中冗余码不代表某个十进制数

8421BCD

• 有权BCD码
  • 权值从高到低为 8 , 4 , 2 , 1 8,4,2,1 8,4,2,1
  • b 4 b 3 b 2 b 1 b_4b_3b_2b_1 b4​b3​b2​b1​代表的十进制数就是按权展开 ∑ i = 1 4 b i 2 i − 1 \sum\limits_{i=1}^{4}b_i2^{i-1} i=1∑4​bi​2i−1
• 具有的6个冗余码为: 1010 ∼ 1111 1010\sim{1111} 1010∼1111

修正

• 两 个 4 位 8421 B C D 码 相 加 的 结 果 如 果 不 大 于 9 即 : ( 1001 ) 8421 B C D 两个4位8421BCD码相加的结果如果不大于9即:(1001)_{8421BCD} 两个4位8421BCD码相加的结果如果不大于9即:(1001)8421BCD​,则不需要修正
• 否则需要修正:
  • 例 如 : 15 = 6 + 9 = 011 0 2 + 100 1 2 = 111 1 2 例如:15=6+9=0110_2+1001_2=1111_2 例如:15=6+9=01102​+10012​=11112​
    • 而 15 = 0001 ‾ 0101 ‾ 15=\underline{0001}\overline{0101} 15=0001​0101,即,1,5的权分别用一个8421BCD码分别表示
    • 显然1111不是正确结果
  • 修正方法简单,假设某个结果X=A+B落在冗余码区间内的 1010 ∼ 1111 1010\sim 1111 1010∼1111,则对X+6,即可
    • 从16进制的角度(对应4为8421BCD码)来看容易理解
    • 超过9的部分记为T落入冗余区间(跨度为 6 ( = 011 0 2 6(=0110_2 6(=01102​)),为了还原T,额外+6来填补冗余区间,还原了T,得到正确结果
    • 上 例 111 1 2 + 011 0 2 = 1010 1 2 上例1111_2+0110_2=10101_2 上例11112​+01102​=101012​用8421BCD表示(高位补0)得到 0001010 1 8421 B C D 00010101_{8421BCD} 000101018421BCD​

BCD转10进制数

• 不同于按权展开,根据8421BCD的定义,将BCD二进制串从低位向高位每四个一组,分别转换为10进制的数码(0~9)中的一个即可
  • eg. 10100 1 8421 B C D = 2 9 10 101001_{8421BCD}=29_{10} 1010018421BCD​=2910​

算数逻辑单元ALU

• ALU是一种功能强的组合逻辑电路
• 能够进行多种算数运算和逻辑运算
  • 加减乘除都能够归结为加法运算,ALU的核心是带标志的加法器

定点数加减计算

• 对于定点数
  • 小数点约定在最左边就是顶点小数;
  • 约定在最右边就是定点整数
• 实际上机器内部没有小数点
  • 因此在运算过程中,可以不考虑是小数还是整数,只需要关心它们的符号和数值位

补码加减法运算

• 不同于原码的加减法,(原码的符号位是单独处理,而不是统一做加法)
• 补码才可以将符号位和数值位一样做加法

补码加法的基本公式如下:

加法

• 整 数 [ A ] 补 + [ B ] 补 = [ A + B ] 补 ( m o d 2 n + 1 ) 整数 \quad[A]_{补}+[B]_{补}=[A+B]_{补}\left(\bmod 2^{n+1}\right) 整数[A]补​+[B]补​=[A+B]补​(mod2n+1)
  小 数 [ A ] 补  + [ B ] 补 = [ A + B ] 补 ( m o d 2 ) 小数 \quad[A]_{\text {补 }}+[B]_{补}=[A+B]_{补}(\bmod 2) 小数[A]补 ​+[B]补​=[A+B]补​(mod2)
• 即补码表示的两个数在进行加法运算时,可以把符号位与数值位同等处理,
  • 只要结果不超出机器能表示的数值范围,
    • 运算后的结果按 $ 2^{n+1}$ 取模 ( 对于整数 )
    • 或按 2 取模 ( 对于小数 ) ,
  • 就能得到本次加法的运算结果。
• 可根据补码定义,按两个操作数的四种正负组合情况加以证明。

减法

• 记 y = A − B = A + ( − B ) 记y=A-B=A+(-B) 记y=A−B=A+(−B)
• 则对上述三个表达式同时取补码
  • [ y ] 补 = [ A − B ] 补 = [ A + ( − B ) ] 补 [y]_补=[A-B]_{补}=[A+(-B)]_{补} [y]补​=[A−B]补​=[A+(−B)]补​
• 由补码加法基本公式,展开可得
• 整数 [ A − B ] 补 = [ A ] 补 + [ − B ] 补 ( m o d 2 n + 1 ) \quad[A-B]_{补}=[A]_{补}+[-B]_{补}\left(\bmod 2^{n+1}\right) [A−B]补​=[A]补​+[−B]补​(mod2n+1)
• 小数 [ A − B ] 补  = [ A ] 补 + [ − B ] 补  ( m o d 2 ) \quad[A-B]_{\text {补 }}=[A]_{\text {补}}+[-B]_{\text {补 }}(\bmod 2) [A−B]补 ​=[A]补​+[−B]补 ​(mod2)

小结

• 符号位和数值位一起参与运算,加/减结果的符号位也在运算中直接得出
• 最终的运算结果保留最低位开始的n+1位(也就是能够刚好放在寄存器中),而更高位丢弃

补码之间的减法:

• 此外,还成立:

  • C = A − B C=A-B C=A−B

    • C ( C ) = C ( A ) − C ( B ) C(C)=C(A)-C(B) C(C)=C(A)−C(B)
    • C ( C ) = C ( A ) + C ( − B ) C(C)=C(A)+C(-B) C(C)=C(A)+C(−B)

  • [ A ] 补 − [ B ] 补 = [ A ] 补 + ( − [ B ] 补 ) = [ A ] 补 + [ − B ] 补 = [ A − B ] 补 [A]_{补}-[B]_{补}=[A]_{补}+(-[B]_{补})\\ =[A]_{补}+[-B]_{补}=[A-B]_{补} [A]补​−[B]补​=[A]补​+(−[B]补​)=[A]补​+[−B]补​=[A−B]补​

• 这里的A,B都是真值.

• 因此,若机器数采用补码, 当求 A-B 时, 只需先求 [ − B ] 补 [-B]_{补} [−B]补​

• 由 C ( B ) 求 C ( − B ) 是 容 易 的 , 利 用 规 律 : 由C(B)求C(-B)是容易的,利用规律: 由C(B)求C(−B)是容易的,利用规律:

  • 真 值 x 的 相 反 数 − x 的 补 码 C ( − x ) 可 通 过 将 C ( x ) 的 每 一 位 ( 包 括 符 号 位 ) 取 反 再 加 1 得 到 真值x的相反数-x的补码C(-x)可通过将C(x)的每一位(包括符号位)取反再加1得到 真值x的相反数−x的补码C(−x)可通过将C(x)的每一位(包括符号位)取反再加1得到
  • 对 于 给 定 的 A − B 算 式 , 通 常 A , B 都 是 正 数 , 从 而 x 的 补 码 和 原 码 相 同 : C ( x ) = T ( x ) 对于给定的A-B算式,通常A,B都是正数,从而x的补码和原码相同:C(x)=T(x) 对于给定的A−B算式,通常A,B都是正数,从而x的补码和原码相同:C(x)=T(x)

总结和案例

• 设机器数字长为8bit(含有1bit符号位)
  • 若A=+15;B=+24;
  • 记 y = A − B y=A-B y=A−B;求:
    • C ( y ) = C ( A − B ) ; C(y)=C(A-B); C(y)=C(A−B);
    • 并从 C ( y ) C(y) C(y)还原出y真值
• 分析:主要分为是3~4个步骤(第4个步骤取决于是否要得到真值形式)

将真值用二进制表示

• A=+15=+0001111
• B=+24=+(3*8)=+11*1000=+0011000

计算被减数,减数和减数相反数的补码

• 从真值直接得到对应的补码形式
  • 原码和真值仅相差符号位的表现形式而已
• C(A)=0,000 1111
• C(B)=0,001 1000或T(-B)=1,001 1000
  • 这两个用其中一个即可,取决于习惯,用来计算C(-B)
• C(-B)=1,110 0111+1=1,110 1000

计算C(-B)有3条路

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