1.数制的转换

1)二,八,十六进制进制转十进制

加权系数求和法

2)十进制转二,八,十六进制

除基取余法（短除法）

减权定位法

3)二,八,十六进制的相互转换

2.BCD码

3.格雷码

4.原码,反码,补码

1）原码

2）反码

3）补码

总结

5.定点数和浮点数

1）定点表示法

2）浮点表示法

1.数制的转换

1)二,八,十六进制进制转十进制

加权系数求和法

上图就是加权系数求和的方法，就是把二进制数各位的权值乘上各位的系数，再加起来就是十进制数。来看一个简单的例子

100.01是一个二进制数，个位的权值和系数分别是 $2^{0}$ 和1，十位权值和系数分别是 $2^{1}$ 和0，百位权值和系数分别是 $2^{2}$ 和1，小数第一位权值和系数分别是 $2^{-1}$ 和0，小数第二位权值和系数分别是 $2^{-2}$ 和1

所以根据加权系数求和的方法：将各位的系数和权值相乘然后相加，最后得到十进制的结果

八进制和十六进制的方法相同，只是八进制的权为 $8^{n}$ ，十六进制的权为 $16^{n}$ ，下面再举两个例子

2)十进制转二,八,十六进制

除基取余法（短除法）

具体做法：把十进制数分为整数和小数部分，整数部分每次除以基数，保留余数，最后从后往前读，就是整数部分的X进制数；小数部分每次乘基数，取整数部分，最后从前往后读为小数部分。两部分组合在一起就是所求的数。

注意：

1.计算小数部分过程中，计算的整数不应该大于等于基数*（比如上图1.36*2=2.72，整数出现了2），这时应该将整数mod基数（就是除以基数，取余数）。

2.还有小数部分可能乘不尽，这是要注意题目要求保留几位小数

十转八和十六同理，只是除数和乘数变为了8和16

减权定位法

方法：拿二进制举例，我们可以轻松算出或者记得2的幂次方等于多少（比如 $2^{3}$ =8， $2^{4}$ =16……2 $2^{10}$ =1024等），所以我们可以把一个数拆分成几个基数为2的权相加的形式，然后根据权在二进制中的位置，从而写出二进制数。举个例子：

122.5 = 64 + 32 + 16 + 8 + 2 + 0.5= $2^{6}$ + $2^{5}$ + $2^{4}$ + $2^{3}$ + $2^{1}$ + $2^{-1}$ = 1111010.1

3)二,八,十六进制的相互转换

我们知道八进制一位只能表示0~7, 十六进制一位只能表示0~15，对应二进制最多需要三位和四位数表示，所以二进制转八、十六进制时，可以将二进制数按三位、四位一组分开，分别求出再合起来，反之八、十六转二进制是将一位数转化为三位和四位的二进制数，最后合起来。（整数部分从各位开始分，小数部分从第一位开始分，最后位数不足补0）

举例：

二进制数：10100010.01

二转八：010100010.010 = 242.2

二转十六：10100010.0100 = A2.5

2.BCD码

简单的说，BCD码就是将十进制数的每位数字转换为四位的二进制数，常见的有8421，2421，5421和余3码

8421码：四位数的权值分别是8、4、2、1，就是每位数正常转化为四位二进制数

5421码：四位数的权值分别是5、4、2、1，也就是前五位和8421相同，以后1000代表5，和后三位表示的数加起来代表现在的数。

2421码：也称为对称反码，四位数的权值分别是8、4、2、1，也就是前五位和8421相同，有0和9，1和8，2和7，3和6，4和5互为反码。

余三码：在8421码的基础上加3

下面有一张表，大家可以对比看一下

3.格雷码

把循环节竖着排，横着看过来就是这个数的格雷码，举一个三位的例子

红黑蓝分别是三个循环节，000，0001，011，010分别就是1，2，3，4的格雷码。

可以发现格雷码相邻代码间只有1位不同+，如果发生错误更易于发现，因此格雷码是一种可靠性代码。

000

001

011

010

4.原码,反码,补码

真值和机器数：真值就是我们平常使用的数，由符号和数值组成；机器数是计算机内使用的数，数字用二进制表示，正号用0表示，负号用1表示

1）原码

注意：正号用0表示，负号用1表示，最高位为符号位

真值	原码
+1011	01011
-1011	11011
+0.1011	0.1011
-0.1011	1.1011

2）反码

正数和原码相同，负数符号位不变，全部取反

原码	反码
01011	01011
11011	10100
0.1011	0.1011
1.1011	1.0100

3）补码

正数和原码相同，负数符号位不变，全部取反后再加1（就是反码加一）

快速求法：负数时，尾数自低位向高位，第一个1以前的所有位(不包括符号位)全部取反。

优点：克服了原码运算的缺点，能够让符号位一起参与运算。

原码	反码	补码
01011	01011	01011
11011	10100	10101
0.1011	0.1011	0.1011
1.1011	1.0100	1.0101

总结

1）正数的原码，反码，补码相同

2）原码和反码表示0的数有两个，补码只有一个

3）原码、反码表示正负数的范围（对称）：

+（ $_2{n}$ -1）~ –（ $_2{n}$ -1）

补码表示正负数的范围（非对称）：

+（ $_2{n}$ -1）~ – （ $_2{n}$ ） (注意)

5.定点数和浮点数

1）定点表示法

定点表示法：由程序设计者约定，该程序中所有数的小数点固定在同一位置不变。

定点小数和顶点整数的范围（设字长为n+1位）：

定点小数：1- $2^{-n}$ ～-(1- $2^{-n}$ )

定点整数： $2^{n}$ -1～- ( $2^{n}$ -1)

8位定点数原码和补码的表示范围

2）浮点表示法

由于定点数表示的范围有限，所以我们引进浮点数来表示更大的数

浮点数的表示类似于科学计数法，r表示底数（类似于1.22 $\times$ $10^{6}$ 中的10），二进制中就是2；

E表示阶数（类似于1.22 $\times$ $10^{6}$ 中的6）；M表示尾数（类似于1.22 $\times$ $10^{6}$ 中的1.22）

规格化

规格化：计算机规定浮点数尾数部分用纯小数形式表示。

规格化的表示要求：

这是老师的课件，我解释一下：对于原码，小数点前表示符号位，小数点后表示数值，但数值必须做到有意义，所以小数点后的第一位数不能为0；对于补码，正数的要求和原码一致，负数规定小数点后的第一位必须是0（不用纠结，就是这样规定的，这样方便在计算机中操作），所以-0.5不能用补码的规格化表示

规格化浮点数取值范围

可以看到因为规格化负数用补码表示时，并不能取到-1/2，所以只能取到 -(1/2+ $2^{-n}$ )这样无限接近-1/2的数

最后来看一个规格化的例题

将X=-68(十进制)表示成浮点数，具体格式为：阶码为4位，尾数为8位，都用补码表示。

先把-68转化为二进制：-1000100

然后进行规格化处理（先用原码）：011111000100

最后转化为补码：011110111100

<阶码为正不变，尾数符号不变，数值取补码>

先介绍到这里，这里肯定有许多不足，希望大家指出，大家有问题请在评论区留言

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2)十进制转二,八,十六进制

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3)二,八,十六进制的相互转换

2.BCD码

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1）原码

2）反码

3）补码

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5.定点数和浮点数

1）定点表示法

2）浮点表示法

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