Description

由于众所周知的原因, 冈部一直欠真由理一串香蕉.
为了封上真由理的嘴, 冈部承诺只要真由理回答出这个问题, 就给她买一车的香蕉:
一开始有n 个人围成一个圈, 从1 开始顺时针报数, 报出m 的人被机关处决. 然后下一个人再从1 开始报数, 直到只剩下一个人.
红莉栖: “这不就是约瑟夫问题吗…”
伦太郎: “助手你给我闭嘴!”
真由理虽然已经晕头转向了, 但听到有一车的香蕉, 两眼便放出了光芒.
“那个呢, 真由氏很想要一车子的香蕉呢. 如果可以帮帮我的话, 我可以把一些香蕉分给你哟, 诶嘿嘿. 拜托你啦.”

Solution

递推公式：fn=(fn−1+m)modnf_n=(f_{n-1}+m)\mod n，
证明：每次干掉一个人，答案就与当人数为n-1时的答案有关，所以直接加上m即可；

但当n太大时就不行了，
优化：
适用于(n>m)时，
先暴力做前m个，
做到越后面，n越大，模起作用的次数就越少，
设现在做到now，答案为ans，
找到最小的k，使得：（模数起作用的地方）

ans+(k−now)m>=k

ans+(k-now)m>=k
移项：

now∗m−ansm−1≤k

\frac{now*m-ans}{m-1}\leq k
那么每次就跳这么多，很快就出答案了

Code

#include <cstdio>
#define fo(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)
#define min(q,w) ((q)>(w)?(w):(q))
using namespace std;
typedef long long LL;
int read(int &n)
{char ch=' ';int q=0,w=1;for(;(ch!='-')&&((ch<'0')||(ch>'9'));ch=getchar());if(ch=='-')w=-1,ch=getchar();for(;ch>='0' && ch<='9';ch=getchar())q=q*10+ch-48;n=q*w;return n;
}
int m,n,ans;
int main()
{freopen("mayuri.in","r",stdin);freopen("mayuri.out","w",stdout);int q,w,_;read(_);while(_--){read(n),read(m);if(m==1){printf("1\n");continue;}ans=0;q=min(n,m*10);fo(i,2,q)ans=(ans+m)%i;if(n>m)for(int i=q;i<n;){int t=((LL)i*m-ans)/(m-1);if(t>n)t=n;if(t<=i)t=i+1;ans=(ans+(t-i)*m)%t;i=t;}printf("%d\n",ans+1);}return 0;
}

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