线性代数 : 矩阵消元
矩阵消元
- 方程组消元法求解
- Ax=b,xTA=bA\pmb x = b, \pmb x^T A = bAxxx=b,xxxTA=b
- 矩阵消元
- 置换矩阵
- 矩阵的逆
消元法解方程组
{x+2y+z=23x+8y+z=124y+z=2\left\{ \begin{array}{lr}x + 2y + z = 2 \\ 3x + 8y + z = 12 \\ 4y + z = 2 \end{array} \right.⎩⎨⎧x+2y+z=23x+8y+z=124y+z=2
系数矩阵
A=[121381041],b=[2122]A = \left[\begin{matrix} 1 & 2 & 1 \\ 3 & 8 & 1 \\ 0 & 4 & 1 \end{matrix}\right], \pmb b = \left[\begin{matrix} 2 \\ 12 \\ 2\end{matrix}\right]A=⎣⎡130284111⎦⎤,bbb=⎣⎡2122⎦⎤
增广矩阵
[a11a12a13b1a21a22a23b2a31a32a33b3]=[1212381120412]\left[\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} & b_1 \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & b_2\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & b_3\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix} 1 & 2 & 1 & 2\\ 3 & 8 & 1 & 12\\ 0 & 4 & 1 & 2\end{matrix}\right]⎣⎡a11a21a31a12a22a32a13a23a33b1b2b3⎦⎤=⎣⎡1302841112122⎦⎤
消元: a11,a22,a33a_{11}, a_{22}, a_{33}a11,a22,a33 主元不能为0
row2−3×row2row_2 - 3\times row_2row2−3×row2
[121202−260412]\left[\begin{matrix} 1 & 2 & 1 & 2\\ 0 & 2 & -2 & 6\\ 0 & 4 & 1 & 2\end{matrix}\right]⎣⎡1002241−21262⎦⎤row3−2×row2row_3 - 2\times row_2row3−2×row2
[121202−26005−10]\left[\begin{matrix} 1 & 2 & 1 & 2\\ 0 & 2 & -2 & 6\\ 0 & 0 & 5 & -10\end{matrix}\right]⎣⎡1002201−2526−10⎦⎤- 经过消元,A→UA \to UA→U上三角矩阵,b→c\pmb b \to \pmb cbbb→ccc
Ux=cU\pmb x = cUxxx=c,回代
{x+2y+z=22y−2z=65z=−10\left\{ \begin{array}{lr}x + 2y + z = 2 \\ 2y - 2z = 6 \\ 5z = -10 \end{array} \right.⎩⎨⎧x+2y+z=22y−2z=65z=−10
$ z = -2, y = 1, x = 2$
Ax=b,xTA=bA\pmb x = b , \pmb x^T A = bAxxx=b,xxxTA=b
A=[a11a12a13a21a22a23a31a32a33],x=[x1x2x3]A = \left[\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{matrix}\right], \pmb x = \left[\begin{matrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3\end{matrix}\right]A=⎣⎡a11a21a31a12a22a32a13a23a33⎦⎤,xxx=⎣⎡x1x2x3⎦⎤
AxA\pmb xAxxx : 矩阵列向量的线性组合
- Ax=x1[a11a21x31]+x2[a12a22x32]+x3[a13a23x33]A \pmb x = x_1\left[\begin{matrix} a_{11} \\ a_{21} \\ x_{31}\end{matrix}\right] + x_2\left[\begin{matrix} a_{12} \\ a_{22} \\ x_{32}\end{matrix}\right] + x_3\left[\begin{matrix} a_{13} \\ a_{23} \\ x_{33}\end{matrix}\right]Axxx=x1⎣⎡a11a21x31⎦⎤+x2⎣⎡a12a22x32⎦⎤+x3⎣⎡a13a23x33⎦⎤
xTA\pmb x^TAxxxTA : 矩阵行向量的线性组合
- [x1x2x3][a11a12a13a21a22a23a31a32a33]=x1[a11a12x13]+x2[a21a22x23]+x3[a31a32x33]\left[\begin{matrix} x_1 & x_2 & x_3\end{matrix}\right]\left[\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{matrix}\right] = x_1\left[\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & x_{13}\end{matrix}\right] + x_2\left[\begin{matrix} a_{21} & a_{22} & x_{23}\end{matrix}\right] + x_3\left[\begin{matrix} a_{31} & a_{32} & x_{33}\end{matrix}\right][x1x2x3]⎣⎡a11a21a31a12a22a32a13a23a33⎦⎤=x1[a11a12x13]+x2[a21a22x23]+x3[a31a32x33]
矩阵消元
A=[121381041],b=[2122]A = \left[\begin{matrix} 1 & 2 & 1 \\ 3 & 8 & 1 \\ 0 & 4 & 1 \end{matrix}\right], \pmb b = \left[\begin{matrix} 2 \\ 12 \\ 2\end{matrix}\right]A=⎣⎡130284111⎦⎤,bbb=⎣⎡2122⎦⎤
Step 1:
- E1[1212381120412]=[121202−260412]E_1 \left[\begin{matrix} 1 & 2 & 1 & 2\\ 3 & 8 & 1 & 12\\ 0 & 4 & 1 & 2\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix} 1 & 2 & 1 & 2\\ 0 & 2 & -2 & 6\\ 0 & 4 & 1 & 2\end{matrix}\right]E1⎣⎡1302841112122⎦⎤=⎣⎡1002241−21262⎦⎤
- E1=[100−310001]E_1 = \left[\begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ -3 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{matrix}\right]E1=⎣⎡1−30010001⎦⎤
Step 2:
- E2[121202−260412]=[121202−26005−10]E_2\left[\begin{matrix} 1 & 2 & 1 & 2\\ 0 & 2 & -2 & 6\\ 0 & 4 & 1 & 2\end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix} 1 & 2 & 1 & 2\\ 0 & 2 & -2 & 6\\ 0 & 0 & 5 & -10\end{matrix}\right]E2⎣⎡1002241−21262⎦⎤=⎣⎡1002201−2526−10⎦⎤
- E2=[1000100−21]E_2 = \left[\begin{matrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & -2 & 1\end{matrix}\right]E2=⎣⎡10001−2001⎦⎤
Step 3:
- E2(E1A)=[12102−2005]E_2(E_1A) = \left[\begin{matrix} 1 & 2 & 1\\ 0 & 2 & -2\\ 0 & 0 & 5\end{matrix}\right]E2(E1A)=⎣⎡1002201−25⎦⎤ ; (E2E1)A=[12102−2005](E_2E_1)A = \left[\begin{matrix} 1 & 2 & 1\\ 0 & 2 & -2\\ 0 & 0 & 5\end{matrix}\right](E2E1)A=⎣⎡1002201−25⎦⎤
- E2E1=E,EA=[12102−2005]E_2E_1=E, EA = \left[\begin{matrix} 1 & 2 & 1\\ 0 & 2 & -2\\ 0 & 0 & 5\end{matrix}\right]E2E1=E,EA=⎣⎡1002201−25⎦⎤
- E=[1000100−21][100−310001]=[100−3106−21]E = \left[\begin{matrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & -2 & 1\end{matrix}\right]\left[\begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ -3 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}1 & 0 & 0\\ -3 & 1 & 0\\ 6 & -2 & 1\end{matrix}\right]E=⎣⎡10001−2001⎦⎤⎣⎡1−30010001⎦⎤=⎣⎡1−3601−2001⎦⎤
Check: EbE\pmb bEbbb
- [100−3106−21][2122]=[26−10]\left[\begin{matrix}1 & 0 & 0\\ -3 & 1 & 0\\ 6 & -2 & 1\end{matrix}\right]\left[\begin{matrix} 2 \\ 12 \\ 2\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix} 2 \\ 6 \\ -10\end{matrix}\right]⎣⎡1−3601−2001⎦⎤⎣⎡2122⎦⎤=⎣⎡26−10⎦⎤
置换矩阵
行置换矩阵
- [0110][abcd]=[cdab]\left[\begin{matrix}0 & 1 \\ 1 & 0\end{matrix}\right]\left[\begin{matrix}a & b \\ c & d\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}c & d \\ a & b\end{matrix}\right][0110][acbd]=[cadb]
列置换矩阵
- [abcd][0110]=[badc]\left[\begin{matrix}a & b \\ c & d\end{matrix}\right]\left[\begin{matrix}0 & 1 \\ 1 & 0\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}b & a\\ d & c\end{matrix}\right][acbd][0110]=[bdac]
矩阵的逆 : A−1A=IA^{-1}A = IA−1A=I
A=[100−310001]A =\left[\begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ -3 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{matrix}\right]A=⎣⎡1−30010001⎦⎤
[100310001]A=[100010001]\left[\begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ 3 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{matrix}\right]A = \left[\begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{matrix}\right]⎣⎡130010001⎦⎤A=⎣⎡100010001⎦⎤
A−1=[100310001]A^{-1} = \left[\begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ 3 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{matrix}\right]A−1=⎣⎡130010001⎦⎤
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