科特斯matlab求积公式,牛顿科特斯求积公式.ppt

计算方法抛物线求积公式几何意义(单击播放) 计算方法 3. n=4时的Cotes求积公式按Newton-Cotes系数公式可以计算出由此可得Cotes求积公式： a b 计算方法余项公式为：计算方法 §7.1 牛顿-科特斯求积公式我们知道,若函数f(x)在区间[a,b]上连续且其原函数为F(x),则可用Newton-Leibnitz公式计算方法求定积分的值 , Newton-Leibnitz公式无论在理论上还是在解决实际问题上都起了很大作用，但它并不能完全解决定积分的计算问题，因为积分学涉及的实际问题极为广泛，而且极其复杂，在实际计算中经常遇到以下三种情况：计算方法 ?(1) 被积函数f(x)并不一定能够找到用初等函数的有限形式表示的原函数F(x)，例如： Newton-Leibnitz公式就无能为力了。计算方法 (2) 被积函数f(x)的原函数能用初等函数表示，但表达式太复杂，例如函数并不复杂，但积分后其表达式却很复杂，积分后其原函数F(x)为：计算方法 (3) 被积函数f(x)没有具体的解析表达式, 其函数关系由表格或图形表示。对于这些情况, 要计算积分的准确值都是十分困难的。由此可见, 通过原函数来计算积分有它的局限性, 因而研究一种新的积分方法来解决Newton-Leibniz公式所不能或很难解决的积分问题, 这时需要用数值解法来建立积分的近似计算方法。计算方法由定积分定义计算方法计算方法定义数值积分如下：是离散点上的函数值的线性组合求积系数求积节点注：求积系数与被积函数f(x)无关，与积分区间和积分节点有关，称之为机械求积公式。称R(f)为上述求积公式的截断误差。计算方法两个问题： 1、系数Ai如何选取，即选取原则； 2、若节点可以自由选取，取什么点好？计算方法定义　　　若某个求积公式对任意 k ? n 阶的多项式均能准确成立，且至少对某个 n+1 阶多项式不成立，则称此求积公式的代数精度为 n 。一代数精度计算方法的代数精度。可以验证, 对于f(x)=1, x时公式两端相等, 再将f(x)=x2代入公式例1 考察求积公式两端不相等, 所以该求积公式具有 1 次代数精度。右端左端计算方法例2 试确定一个至少具有2次代数精度的公式解: 要使公式具有2次代数精度,则对f(x)=1,x,x2 求积公式准确成立，即得如下方程组计算方法解得：所求公式为：计算方法例3：试确定一个具有三次代数精度的求积公式解：由上述定义：计算方法解之得：由此得：该求积公式至少具有三次代数精度计算方法例4: 给定求积公式试确定求积系数A-1, A0 ,A1, 使其有尽可能高的代数精度，并指出其代数精度。解：令求积公式对f(x)=1, x, x2准确成立，则有计算方法解之得其代数精度至少为2, 将f(x)=x3代入求积公式两端相等, 将f(x)=x4代入求积公式两端不相等, 所以其代数精度为3次。计算方法基本思想：用插值函数的积分，作为数值积分 (取拉格朗日插值函数) 即：求积系数二插值型求积公式计算方法由Lagrange插值余项可得上式的截断误差为可以看出，上述求积公式至少具有N阶代数精度计算方法 1.复杂函数f(x)的积分转化为计算多项式的积分。 2. 求积系数Ak只与积分区间及节点xk有关，而与被积函数f(x)无关，可以不管f(x)如何，预先算出Ak的值。 3.n+1个节点的插值求积公式至少具有n次代数精度 4.求积系数之和可用此检验计算求积系数的正确性。构造插值求积公式有如下特点：计算方法 (2) 求出f(xk)及利用或解关于Ak的线性方程组求出Ak，这样就得到了 (3) 利用f(x)=xn,…验算代数精度构造插值求积公式的步骤 (1) 在积分区间[a,b]上选取节点xk 计算方法三、牛顿—柯特斯(Newton-Cotes)求积公式中,当所取节点是等距时称为牛顿-柯特斯公式。在插值求积公式其中插值多项式求积系数计算方法 (一)公式的推导　设将积分区间[a,b]n等分，求积节点为那么，令x=a+th，则t=(x-a)/h，且由　　　　可知　　　　　．计算方法所以

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