内容简介

全书共分6大部分。第1部分介绍数值方法的背景知识、MATLAB的软件环境和编程模式，后5部分集中介绍数值方法的主要应用领域，具体包括求根与*化、线性代数方程组的求解、曲线拟合、数值积分与微分以及常微分方程数值解。本书不但介绍各类数值方法的基本原理和基于MATLAB的实现，而且非常注重实际应用和计算能力的训练，除了针对基本内容给出相应的典型实例外，还在每章的末尾提供大量实用的习题，有助于读者进一步巩固所学的知识。 ◆　以关键概念(如泰勒级数、收敛、条件数等)阐述理论 ◆　使用MATLAB的M文件表示算法，插图与表格清晰而准确 ◆　广泛使用实例演示以及工程和科学应用案例，使学生清楚地把握数值计算的每个步骤 ◆　各章末尾的习题丰富而实用，*版新增了一些更具挑战性的习题

目录

第Ⅰ部分  建模、计算机与误差分析

第1章  数学建模、数值方法与问题

求解   3

提出问题   3

1.1  一个简单的数学模型   4

1.2  工程与科学中的守恒律   10

1.3  本书中涉及的数值方法   13

1.4  案例研究   15

1.5  习题   17

第2章  MATLAB基础   29

提出问题   29

2.1 MATLAB环境   30

2.2  赋值   31

2.2.1  标量   31

2.2.2  数组、向量和矩阵   33

2.2.3  冒号操作符   35

2.2.4  linspace和logspace函数   36

2.2.5  字符串   36

2.3  数学运算   38

2.4  使用内置函数   42

2.5  绘图   45

2.6  其他资源   49

2.7  案例研究：探索性数据

分析   49

2.8  习题   51

第3章  编写MATLAB程序   59

提出问题   59

3.1  M文件   60

3.1.1  脚本文件   60

3.1.2  函数文件   61

3.1.3  变量的作用域   63

3.1.4  全局变量   64

3.1.5  子函数   66

3.2  输入/输出   67

3.3  结构化编程   71

3.3.1  决策   71

3.3.2  循环   79

3.3.3  动画   83

3.4  嵌套与缩进   85

3.5  将函数传入M文件   88

3.5.1  匿名函数   88

3.5.2  函数函数   89

3.5.3  传递参数   92

3.6  案例研究：蹦极运动员的

速度   93

3.7  习题   97

第4章  舍入与截断误差   111

提出问题   111

4.1  误差   112

4.1.1  准确度与精度   112

4.1.2  误差定义   113

4.1.3  迭代计算的计算机算法   116

4.2  舍入误差   118

4.2.1  计算机中数的表示   118

4.2.2  计算机中数的算术运算   123

4.3  截断误差   125

4.3.1  泰勒级数   125

4.3.2  泰勒级数展开的余项   129

4.3.3  用泰勒级数估计截断

误差   131

4.3.4  数值差分   132

4.4  总数值误差   136

4.4.1  数值微分的误差分析   137

4.4.2  数值误差的控制   139

4.5  粗差、模型误差和

数据不确定性   140

4.5.1  粗差   140

4.5.2  模型误差   141

4.5.3  数据不确定性   141

4.6  习题   141

第Ⅱ部分  求根与最优化

第5章  求根：划界法   149

提出问题   149

5.1  工程和科学领域中的

求根问题   150

5.2  图形法   151

5.3  划界法与初始猜测值   153

5.4  二分法   157

5.5  试位法   163

5.6  案例研究：温室气体与

雨水   166

5.7  习题   169

第6章  方程求根：开方法   177

6.1  简单不动点迭代   178

6.2  牛顿-拉弗森方法   182

6.3  割线法   187

6.4  布伦特法   189

6.4.1  逆二次插值   189

6.4.2  布伦特法算法   191

6.5 MATLAB函数：fzero   193

6.6  多项式   195

6.7  案例研究：管道摩擦力   198

6.8  习题   202

第7章  最优化   213

提出问题   213

7.1  简介与背景   214

7.2  一维最优化   216

7.2.1  黄金分割搜索   217

7.2.2  抛物线插值   222

7.2.3 MATLAB函数：

fminbnd   224

7.3  多维最优化   225

7.4  案例研究：平衡与

极小势能   227

7.5  习题   229

第Ⅲ部分  线性方程组

第8章  线性代数方程和矩阵   245

提出问题   245

8.1  矩阵代数概述   247

8.1.1  矩阵符号   247

8.1.2  矩阵的运算规则   249

8.1.3  将线性代数方程组表示成

矩阵形式   256

8.2  用MATLAB求解线性

代数方程组   257

8.3  案例研究：电路中的

电流和电压   258

8.4  习题   262

第9章  高斯消元法   269

9.1  求解小型方程组   270

9.1.1  绘图法   270

9.1.2  行列式和克拉默法则   271

9.1.3  未知数消元法   274

9.2  朴素高斯消元法   275

9.2.1 MATLAB M文件：

GaussNaive   278

9.2.2  运算次数   279

9.3  选主元   281

9.3.1  MATLAB M文件：

GaussPivot   283

9.3.2  用高斯消元法计算

行列式   284

9.4  三对角方程组   285

9.5  案例研究：热杆模型   287

9.6  习题   290

第10章  LU分解   297

10.1  LU分解概述   298

10.2  高斯消元法与LU分解   299

10.2.1  使用选主元的LU分解   302

10.2.2 MATLAB函数：lu   304

10.3  楚列斯基分解   305

10.4 MATLAB的左除运算   308

10.5  习题   308

第11章  矩阵求逆和条件数   311

11.1  矩阵的逆   311

11.1.1 逆矩阵的计算   311

11.1.2 激励-响应计算   313

11.2  误差分析和方程组的

条件数   315

11.2.1  向量和矩阵

范数   316

11.2.2  矩阵条件数   317

11.2.3  用MATLAB计算

范数和条件数   319

11.3  案例研究：室内空气

污染   320

11.4  习题   323

第12章  迭代法   329

12.1  线性方程组：

高斯-赛德尔   329

12.1.1  收敛性与对角占优   332

12.1.2  MATLAB M文件：

GaussSeidel   332

12.1.3  松弛法   333

12.2  非线性方程组   335

12.2.1  逐次代换法   336

12.2.2  牛顿-拉弗森方法   337

12.2.3  MATLAB函数：

fsolve   342

12.3  案例研究：化学反应   343

12.4  习题   345

第13章  特征值   351

提出问题   351

13.1  数学背景   352

13.2  物理背景   356

13.3  幂方法   358

13.4 MATLAB函数：eig   360

13.5  案例研究：特征值与

地震   362

13.6  习题   364

第Ⅳ部分  曲线拟合

第14章  线性回归   373

提出问题   373

14.1  统计学回顾   374

14.1.1  描述统计学   375

14.1.2  正态分布   377

14.1.3  用MATLAB计算描述

统计学量   378

14.2  随机数和模拟   380

14.2.1  MATLAB函数：rand   380

14.2.2  MATLAB函数：

randn   383

14.3  线性最小二乘回归   384

14.3.1  “最佳”拟合条件   385

14.3.2  直线的最小二乘拟合   386

14.3.3  线性回归误差的量化   388

14.4  非线性关系的线性化   392

14.5  计算机应用   396

14.5.1  MATLAB M文件：

linregr   396

14.5.2  MATLAB函数：

polyfit和polyval   398

14.6  案例研究：酶动力学   398

14.7  习题   402

第15章  一般线性最小二乘回归和

非线性回归   413

15.1  多项式回归   413

15.2  多重线性回归   416

15.3  一般线性最小二乘回归   419

15.4  QR分解与反斜杆运算符   421

15.5  非线性回归   422

15.6  案例研究：实验数据

拟合   424

15.7  习题   427

第16章  傅里叶分析   435

提出问题   435

16.1  使用正弦函数进行

曲线拟合   436

16.2  连续傅里叶级数   442

16.3  频域和时域   444

16.4  傅里叶积分和变换   447

16.5  离散傅里叶变换(DFT)   447

16.5.1  快速傅里叶

变换(FFT)   449

16.5.2  MATLAB函数：fft   450

16.6  功率谱   452

16.7  案例研究：太阳黑子   453

16.8  习题   455

第17章  多项式插值   459

提出问题   459

17.1  插值法导论   460

17.1.1  确定多项式的系数   461

17.1.2  MATLAB函数：

polyfit和polyval   462

17.2  牛顿插值多项式   463

17.2.1  线性插值   463

17.2.2  二次插值   465

17.2.3  牛顿插值多项式的

一般形式   466

17.2.4  MATLAB M文件：

Newtint   469

17.3  拉格朗日插值多项式   470

17.4  逆插值   473

17.5  外插值和振荡   474

17.5.1  外插值   474

17.5.2  振荡   476

17.6  习题   478

第18章  样条和分段插值   485

18.1  样条导论   485

18.2  线性样条   487

18.3  二次样条   490

18.4  三次样条   493

18.4.1  三次样条的推导   494

18.4.2  边界条件   497

18.5  MATLAB中的分段线性

插值   498

18.5.1  MATLAB函数：

spline   499

18.5.2  MAYTLAB函数：

interp1   500

18.6  多维插值   502

18.6.1  双线性插值   503

18.6.2  MATLAB中的

多维插值   504

18.7  案例研究：传热   505

18.8  习题   508

第Ⅴ部分  积分与微分

第19章  数值积分公式   519

提出问题   519

19.1  导论和背景   520

19.1.1  什么是积分   520

19.1.2  工程和科学中的积分   521

19.2  牛顿-科特斯公式   523

19.3  梯形法则   524

19.3.1  梯形法则的误差   525

19.3.2  复合梯形法则   527

19.3.3  MATLAB M文件：

trap   529

19.4  辛普森法则   530

19.4.1  辛普森1/3法则   531

19.4.2  复合辛普森1/3法则   532

19.4.3  辛普森3/8法则   534

19.5  高阶牛顿-科特斯公式   536

19.6  非等距积分   537

19.6.1  MATLAB M文件：

trapuneq   537

19.6.2  MATLAB函数：

trapz和cumtrapz   538

19.7  开型方法   540

19.8  多重积分   541

19.9  案例研究：用数值积分

计算功   543

19.10  习题   546

第20章  函数的数值积分   555

20.1  导论   555

20.2  龙贝格积分   556

20.2.1  理查森外推法   556

20.2.2  龙贝格积分公式   558

20.3  高斯求积   561

20.3.1  待定系数法   562

20.3.2  两点高斯-勒让德

公式的推导   563

20.3.3  更多点的公式   566

20.4  自适应求积分   567

20.4.1  MATLAB的 M文件：

quadadapt   567

20.4.2  MATLAB函数：

integral   570

20.5  案例研究：均方根电流   570

20.6  习题   574

第21章  数值微分   581

提出问题   581

21.1  导论和背景   582

21.1.1  什么是微分   582

21.1.2  工程和科学中的微分   583

21.2  高精度微分公式   585

21.3  理查森外推法   588

21.4  不等距数据的导数   589

21.5  含误差数据的导数与

积分   590

21.6  偏导数   591

21.7  用MATLAB计算数值

微分   592

21.7.1  MATLAB函数：diff   592

21.7.2  MATLAB函数：

gradient   594

21.8  案例研究：向量场的

可视化   596

21.9  习题   597

第Ⅵ部分  常微分方程

第22章  初值问题   613

提出问题   613

22.1  概述   614

22.2  欧拉法   615

22.2.1  欧拉法的误差分析   617

22.2.2  欧拉法的稳定性   618

22.2.3  MATLAB的M文件

函数：eulode   619

22.3  欧拉法的改进   620

22.3.1  休恩法   620

22.3.2  中点方法   624

22.4  龙格-库塔方法   625

22.4.1  二阶龙格-库塔方法   626

22.4.2  古典四阶龙格-库塔

方法   627

22.5  方程组   630

22.5.1  欧拉法   630

22.5.2  龙格-库塔方法   631

22.5.3  MATLAB的M文件

函数：rk4sys   633

22.6  案例研究：捕食者-猎物

模型与混沌   635

22.7  习题   639

第23章  自适应方法和刚性

方程组   647

23.1  自适应龙格-库塔方法   647

23.1.1  求解非刚性方程组的

MATLAB函数   649

23.1.2  事件   653

23.2  多步方法   655

23.2.1  非自启动休恩法   655

23.2.2  误差估计   658

23.3  刚性   659

23.4  MATLAB应用：带绳索的

蹦极运动员   664

23.5  案例研究：普林尼的

间歇式喷泉   665

23.6  习题   669

第24章  边值问题   679

提出问题   679

24.1  导论和背景   680

24.1.1  什么是边值问题   680

24.1.2  工程和科学中的

边值问题   681

24.2  打靶法   684

24.2.1  导数边界条件   686

24.2.2  非线性ODE的

打靶法   688

24.3  有限差分法   690

24.3.1  导数边界条件   692

24.3.2  非线性ODE的

有限差分法   694

24.4 MATLAB函数：bvp4c   696

24.5  习题   698

附录A  MATLAB内置函数   707

附录B  MATLAB的M文件函数   709

附录C  Simulink简介   711

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