复变函数：复数基本知识、欧拉公式、复变函数的导数、解析函数

实变函数（高等数学）主要内容：

微积分（一元、二元、多元）
级数理论
常微分方程

复变函数：

研究对象：自变量为复数的函数
主要任务：研究复变数之间的相互依赖关系，具体地就是复数域上的微积分
主要内容：复数与复变函数、解析函数、复变函数的积分、级数、留数、保形映射、积分变换等。

一、复数基本知识

1.1 复数基本概念

对任意两实数x, y，称 z=x+iyz=x+iyz=x+iy 或 z=x+yiz=x+yiz=x+yi 为复数，其中 i2=−1i^2=-1i2=−1 ，iii 称为虚部

复数 zzz 的实部 Re(z)=xRe(z)=xRe(z)=x，虚部 Im(z)=yIm(z)=yIm(z)=y

复数的模：∣z∣=x2+y2≥0|z|=\sqrt{x^2+y^2}\ge0∣z∣=x2+y2≥0

复数相等：z1=z2⟺x1=x2,y1=y2z_1=z_2 \iff x_1=x_2,y_1=y_2z1=z2⟺x1=x2,y1=y2，其中z1=x1+iy1,z2=x2+iy2z_1=x_1+iy_1,z_2=x_2+iy_2z1=x1+iy1,z2=x2+iy2

z=0⟺Re(z)=Im(z)=0z=0\iff Re(z)=Im(z)=0z=0⟺Re(z)=Im(z)=0

一般两个复数不能比较大小。

共轭复数：若 z=x+iyz=x+iyz=x+iy，称 z‾=x−iy\overline{z}=x-iyz=x−iy 为 zzz 的共轭复数。

1.2 复数的几何表示

1.2.1 用点表示：

z=x+iy⟺z=x+iy \iffz=x+iy⟺ 复平面上的点 P(x,y)P(x,y)P(x,y)

复平面上横坐标轴称为实轴，纵坐标轴称为虚轴。

1.2.2 用向量表示：

z=x+iy⟺OP→={x,y}z=x+iy\iff \overrightarrow{OP}=\{x,y\}z=x+iy⟺OP={x,y}

此时我们用向量 OP→\overrightarrow{OP}OP 来表示 z=x+iyz=x+iyz=x+iy。复数的模是向量的长度 ∣z∣=∣OP→∣=x2+y2|z|=|\overrightarrow{OP}|=\sqrt{x^2+y^2}∣z∣=∣OP∣=x2+y2。而复数的幅角指向量与正实轴之间的夹角 θ=Argz=(OP→,x)\theta=Arg_z=(\overrightarrow{OP},x)θ=Argz=(OP,x)（tan(Argz)=yxtan(Argz)={y\over x}tan(Argz)=xy），注意当z=0时，幅角无意义，且幅角是无穷多的：Argz=θ=θ0+2kπArg_z=\theta=\theta_0+2k\piArgz=θ=θ0+2kπ，其中满足 −π<θ0<π-\pi<\theta_0<\pi−π<θ0<π 的 θ0\theta_0θ0 称为幅角 ArgzArg_zArgz 的主值，记作：θ0=Argz\theta_0=Arg_zθ0=Argz。

1.2.3 用三角函数来表示：

用复数的模与幅角来表示非零复数z：

由{x=rcosθy=rsinθ得:z=r(cosθ+isinθ)由\begin{cases}x=rcos\theta\\y=rsin\theta\end{cases}\quad得:\quad z=r(cos\theta+isin\theta)由{x=rcosθy=rsinθ得:z=r(cosθ+isinθ)

1.2.4 用指数表示

由欧拉公式（在第二部分介绍了欧拉公式）：eiθ=cosθ+isinθe^{i\theta}=cos\theta+isin\thetaeiθ=cosθ+isinθ 可得非零复数 zzz 的指数表达式：
z=reiθz=re^{i\theta}z=reiθ

1.2 复数的乘幂与方根

1.2.1 复数的乘积与熵

利用复数的三角表示，我们可以更简单的表示复数的乘法与除法：

定理：

设z1,z2z_1,z_2z1,z2是两个非零复数：

z1=∣z1∣(cosArgz1+isinArgz1)=∣z1∣ei(Argz1)z2=∣z2∣(cosArgz2+isinArgz2)=∣z2∣ei(Argz2)z_1=|z_1|(cosArg_{z_1}+isinArg_{z_1})=|z_1|e^{i(Argz_1)} \\z_2=|z_2|(cosArg_{z_2}+isinArg_{z_2})=|z_2|e^{i(Argz_2)}z1=∣z1∣(cosArgz1+isinArgz1)=∣z1∣ei(Argz1)z2=∣z2∣(cosArgz2+isinArgz2)=∣z2∣ei(Argz2)

则：

∣z1z2∣=∣z1∣∣z2∣,Arg(z1z2)=Arg(z1)+Arg(z2)∣z1z2∣=∣z1∣∣z2∣(z2≠0),Arg(z1z2)=Arg(z1)−Arg(z2)|z_1z_2|=|z_1||z_2|,\quad Arg(z_1z_2)=Arg(z_1)+Arg(z_2)\\ |{z_1\over z_2}|={|z_1|\over|z_2|}(z_2\ne0),\quad Arg({z_1\over z_2})=Arg(z_1)-Arg(z_2)∣z1z2∣=∣z1∣∣z2∣,Arg(z1z2)=Arg(z1)+Arg(z2)∣z2z1∣=∣z2∣∣z1∣(z2=0),Arg(z2z1)=Arg(z1)−Arg(z2)
(?)

乘法的几何意义：将复数z1z_1z1按逆时针方向旋转一个角度Arg(z2z_2z2)，再将其伸缩到∣z2∣|z_2|∣z2∣倍。

1.2.2 复数的乘幂

n个相同复数 zzz 的乘积 znz^nzn 称为 zzz 的 nnn 次幂：

zn=zz...z=rneinθ=rn(cosnθ+isinnθ)z^n=zz...z=r^ne^{in\theta}=r^n(cosn\theta+isinn\theta)zn=zz...z=rneinθ=rn(cosnθ+isinnθ)

特别地：当∣z∣=r=1|z|=r=1∣z∣=r=1时，zn=(cos⁡nθ+isin⁡nθ)z^n=(\cos n\theta+i\sin n\theta)zn=(cosnθ+isinnθ)，此时有：

(cosθ+isinθ)n=cosnθ+isinnθ(cos\theta+isin\theta)^n=cosn\theta+isinn\theta(cosθ+isinθ)n=cosnθ+isinnθ

这个公式称为De Moivre公式。

令 z−n=1znz^{-n}={1\over z^n}z−n=zn1 ，则：

z−n=r−ne−inθ=r−n(cos(−nθ)+isin(−nθ))z^{-n}=r^{-n}e^{-in\theta}=r^{-n}(cos(-n\theta)+isin(-n\theta))z−n=r−ne−inθ=r−n(cos(−nθ)+isin(−nθ))

1.2.3 复数的方根

设 z=reiθz=re^{i\theta}z=reiθ 为已知复数，n为正整数，则称满足方程 wn=zw^n=zwn=z 的所有 www 值为 zzz 的n次方根，记为 w=znw=\sqrt[n]{z}w=nz。

设 w=ρeiφw=\rho e^{i\varphi}w=ρeiφ，则 ρneinφ=reiθ\rho^ne^{in\varphi}=re^{i\theta}ρneinφ=reiθ，此时可得：

ρ=rn,φ=θ+2kπn,k=0,±1,±2,⋯\rho=\sqrt[n]{r},\ \varphi=\frac{\theta+2k\pi}{n},\ k=0,\pm1,\pm2,\cdotsρ=nr, φ=nθ+2kπ, k=0,±1,±2,⋯
w=rneiθ+2kπn=r1n(cos⁡θ+2kπn+isin⁡θ+2kπn)w=\sqrt[n]{r}e^{i\frac{\theta+2k\pi}{n}}=r^{\frac{1}{n}}(\cos\frac{\theta+2k\pi}{n}+i\sin \frac{\theta+2k\pi}{n})w=nreinθ+2kπ=rn1(cosnθ+2kπ+isinnθ+2kπ)

当 k=0,1,2,…,n−1k=0,1,2,\dots,n-1k=0,1,2,…,n−1时，得到n个相异的根：

w0=r1n(cos⁡θn+isin⁡θn)w1=r1n(cos⁡θ+2πn+isin⁡θ+2πn)w2=r1n(cos⁡θ+4πn+isin⁡θ+4πn)⋮wn−1=r1n(cos⁡θ+2(n−1)πn+isin⁡θ+2(n−1)πn)w_0=r^{\frac{1}{n}}(\cos\frac{\theta}{n}+i\sin \frac{\theta}{n})\\ w_1=r^{\frac{1}{n}}(\cos\frac{\theta+2\pi}{n}+i\sin \frac{\theta+2\pi}{n})\\ w_2=r^{\frac{1}{n}}(\cos\frac{\theta+4\pi}{n}+i\sin \frac{\theta+4\pi}{n})\\ \vdots\\ w_{n-1}=r^{\frac{1}{n}}(\cos\frac{\theta+2(n-1)\pi}{n}+i\sin \frac{\theta+2(n-1)\pi}{n}) w0=rn1(cosnθ+isinnθ)w1=rn1(cosnθ+2π+isinnθ+2π)w2=rn1(cosnθ+4π+isinnθ+4π)⋮wn−1=rn1(cosnθ+2(n−1)π+isinnθ+2(n−1)π)

而k取其他整数时，这些根又会重复出现。（？）

https://wenku.baidu.com/view/95266a772e60ddccda38376baf1ffc4ffe47e29a.html

二、欧拉公式：

令i=−1i=\sqrt{-1}i=−1，欧拉公式为：

eix=cosx+isinxe^{ix}=cosx+isinxeix=cosx+isinx

欧拉公式的推导用到了泰勒展开，至于eixe^{ix}eix为什么可以泰勒展开需要证明，这里忽略(?)：

eix=1+ix+(ix)22!+(ix)33+(ix)44!+(ix)55!+(ix)66!+...=1+ix−x22!−ix33!+x44!+ix55!−x66!=(1−x22!+x44!−x66!+...)+i(x−x33!+x55!−...)=cosx+isinxe^{ix}=1+ix+{(ix)^2\over 2!}+{(ix)^3\over 3}+{(ix)^4\over 4!}+{(ix)^5\over 5!}+{(ix)^6\over 6!}+...\\ =1+ix-{x^2\over2!}-{ix^3\over3!}+{x^4\over4!}+{ix^5\over5!}-{x^6\over6!}\quad\quad\quad\quad\quad\ \ \\ =(1-{x^2\over2!}+{x^4\over4!}-{x^6\over6!}+...)+i(x-{x^3\over3!}+{x^5\over5!}-...)\ \ \\ =cosx+isinx\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\ \ \ eix=1+ix+2!(ix)2+3(ix)3+4!(ix)4+5!(ix)5+6!(ix)6+...=1+ix−2!x2−3!ix3+4!x4+5!ix5−6!x6 =(1−2!x2+4!x4−6!x6+...)+i(x−3!x3+5!x5−...) =cosx+isinx

欧拉公式的一个变形：

eix=cosx+isinxe^{ix}=cosx+isinxeix=cosx+isinx

e−ix=cosx−isinxe^{-ix}=cosx-isinxe−ix=cosx−isinx

相加相减可以得到：

sinx=(eix−e−ix)/2isinx={(e^{ix}-e^{-ix})/2i}sinx=(eix−e−ix)/2i

cosx=(eix+e−ix)/2cosx={(e^{ix}+e^{-ix})/2}cosx=(eix+e−ix)/2

三、复变函数的导数

3.1 导数的定义

3.2 求导公式与法则（实函数中求导法则的推广）

常数的导数c′=(a+ib)′=0c'=(a+ib)'=0c′=(a+ib)′=0
(zn)′=nzn−1(z^n)'=nz^{n-1}(zn)′=nzn−1（n是自然数）
设函数f(z),g(z)f(z),g(z)f(z),g(z)均可导，则：
[f(z)±g(z)]′=f′(z)±g′(z)[f(z)\pm g(z)]'=f'(z)\pm g'(z)[f(z)±g(z)]′=f′(z)±g′(z)
[f(z)g(z)]′=f′(z)g(z)+f(z)g′(z)[f(z)g(z)]'=f'(z)g(z)+f(z)g'(z)[f(z)g(z)]′=f′(z)g(z)+f(z)g′(z)
[f(z)g(z)]′=f′(z)g(z)−f(z)g′(z)g2(z)(g(z)≠0)[{f(z)\over g(z)}]'={f'(z)g(z)-f(z)g'(z)\over g^2(z)}\quad(g(z)\ne0)[g(z)f(z)]′=g2(z)f′(z)g(z)−f(z)g′(z)(g(z)=0)
复合函数的导数：f[g(z)]′=f′(g(z))g′(z)f[g(z)]'=f'(g(z))g'(z)f[g(z)]′=f′(g(z))g′(z)
反函数的导数：f′(z)=1ϕ′(w)f'(z)={1\over \phi'(w)}f′(z)=ϕ′(w)1，其中：w=f(z)w=f(z)w=f(z)，与z=ϕ(w)z=\phi(w)z=ϕ(w)互为单值的反函数，且ϕ′(w)≠0\phi'(w)\ne0ϕ′(w)=0

注意：

复变函数在一点处可导，要比实函数在一点处可导要求高得多，也复杂得多，这是因为△z→0\triangle z\to0△z→0是在平面区域上以任意方式趋于零的缘故。
在高等数学中要举出一个处处连续，但处处不可导的例题是狠苦难的，但在复变函数中，却轻而易举

3.3 可导与连续

四、解析函数

4.1 定义

4.2 定理

4.3 解析函数的充要条件

https://wenku.baidu.com/view/532c39681eb91a37f1115c77.html
复变函数基本初等函数