复变|第一章 复数与复变函数 复数
第一章 复数与复变函数
一、复数
1、复数域
z=x+iyz=x+iy z=x+iy
xxx实部(Rez\operatorname{Re} zRez)、yyy虚部(Imz\operatorname{Im} zImz)共轭复数、和、差、交换律、结合律、积、商
全体复数引进上述运算后称为复数域，用CCC表示。
2、复平面
z=x+iyz=x+iyz=x+iy由有序数对(x,y)(x,y)(x,y)唯一确定。
所以，可以由横坐标xxx【实轴】,纵坐标yyy【虚轴】的点来唯一确定复数z=x+iyz=x+iyz=x+iy.
表示复数zzz平面叫做复平面
在复平面上，从原点到点(x,y)(x,y)(x,y)所引向量与复数zzz构成一一对应的关系。
3、复数的模与幅角
表示z=x+iyz=x+iyz=x+iy也可以借助极坐标rrr和θ\thetaθ
复数的模∣z⃗∣|\vec{z}|∣z∣
∣z⃗∣=x2+y2⩾0|\vec{z}|=\sqrt{x^2+y^2}\geqslant 0 ∣z∣=x2+y2⩾0
∣x∣⩽∣z∣,∣y∣⩽∣z∣,∣z∣⩽∣x∣+∣y∣|x| \leqslant|z|,|y| \leqslant|z|,|z| \leqslant|x|+|y| ∣x∣⩽∣z∣,∣y∣⩽∣z∣,∣z∣⩽∣x∣+∣y∣
−∣z∣⩽Rez⩽∣z∣,−∣z∣⩽Imz⩽∣z∣-|z| \leqslant \operatorname{Re} z \leqslant|z|,-|z| \leqslant \operatorname{Im} z \leqslant|z| −∣z∣⩽Rez⩽∣z∣,−∣z∣⩽Imz⩽∣z∣
三角不等式
∣∣z1∣−∣z2∣∣⩽∣z1±z2∣⩽∣z1∣+∣z2∣|| z_{1}|-| z_{2}|| \leqslant\left|z_{1}\pm z_{2}\right| \leqslant\left|z_{1}\right|+\left|z_{2}\right| ∣∣z1∣−∣z2∣∣⩽∣z1±z2∣⩽∣z1∣+∣z2∣
三角不等式取等号的条件：
复数z1,z2z_{1},z_{2}z1,z2所表示的两个向量共线且同向，z1≠0,z2≠0时 ,z1=kz2(k>0)z_{1} \neq 0, z_{2} \neq 0 \text { 时 },z_{1}=k z_{2}(k>0)z1=0,z2=0 时 ,z1=kz2(k>0)
∣z1−z2∣\left|z_{1}-z_{2}\right|∣z1−z2∣表示z1,z2z_{1},z_{2}z1,z2距离：d(z1,z2)=∣z1−z2∣d\left(z_{1}, z_{2}\right)=\left|z_{1}-z_{2}\right|d(z1,z2)=∣z1−z2∣
∣z1−z2∣=∣(x1+iy1)−(x2+iy2)∣=(x1−x2)2+(y1−y2)2\begin{array}{c} \left|z_{1}-z_{2}\right|&=\left|\left(x_{1}+\mathrm{i} y_{1}\right)-\left(x_{2}+\mathrm{i} y_{2}\right)\right| \\ &=\sqrt{\left(x_{1}-x_{2}\right)^{2}+\left(y_{1}-y_{2}\right)^{2}} \end{array} ∣z1−z2∣=∣(x1+iy1)−(x2+iy2)∣=(x1−x2)2+(y1−y2)2
夹角θ\thetaθ称为幅角
tanθ=yx,θ=Argz\tan \theta=\frac{y}{x},\theta=\operatorname{Arg} z tanθ=xy,θ=Argz
任意一个复数有无穷多个幅角，用argzargzargz表示其中一个特定值，称适合的条件−π<argz⩽π-\pi{\color{red}< } \arg z {\color{red} \leqslant} \pi−π<argz⩽π的一个ArgzArgzArgz的主值，或称为zzz的主幅角(z=0z=0z=0无意义)
θ=Argz=argz+2kπ,(k=0,±1,±2,⋯)\begin{array}{c} \theta=\operatorname{Arg} z=\arg z+2 k \pi ,(k=0,\pm 1,\pm 2, \cdots) \end{array} θ=Argz=argz+2kπ,(k=0,±1,±2,⋯)
当argzargzargz表示zzz的主幅角。于是它与反正切ArctanyxArctan\frac{y}{x}Arctanxy 的主值有如下关系：(−π<argz⩽π,−π2<arctanyx<π2)(-\pi<\arg z \leqslant \pi,-\frac{\pi}{2}<\arctan \frac{y}{x}<\frac{\pi}{2})(−π<argz⩽π,−2π<arctanxy<2π)
arg z={arctanyx,当 x>0π2,当 x=0,y>0arctanyx+π当 x<0,y⩾0;arctanyx−π当 x<0,y<0−π2,当 x=0,y<0.\begin{array}{l} \text { arg } z=\left\{\begin{array}{ll} \arctan \frac{y}{x}, & \text { 当 } x>0\\ \frac{\pi}{2}, & \text { 当 } x=0, y>0 \\ \arctan \frac{y}{x}+\pi & \text { 当 } x<0, y \geqslant 0 ; \\ \arctan \frac{y}{x}-\pi & \text { 当 } x<0, y<0 \\ -\frac{\pi}{2}, & \text { 当 } x=0, y<0 . \end{array}\right. \end{array} arg z=⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎧arctanxy,2π,arctanxy+πarctanxy−π−2π, 当 x>0 当 x=0,y>0 当 x<0,y⩾0; 当 x<0,y<0 当 x=0,y<0.
例题：
Arg(1+i)=arg(1+i)+2kπ=arctan1+2kπ=π4+2kπArg(1−i)=arg(1−i)+2kπ=arctan(−1)+2kπ=−π4+2kπArg(−1+i)=arg(−1+i)+2kπ=arctan(−1)+π+2kπ=−π4+(2k+1)πArg(−1−i)=arg(−1−i)+2kπ=arctan1−π+2kπ=x4+(2k−1)π(k=0,±1,±2,⋯)\begin{array}{l} \operatorname{Arg}(1+i)=\arg (1+i)+2 k \pi=\arctan 1+2 k \pi=\frac{\pi}{4}+2 k \pi \\ \operatorname{Arg}(1-i)=\arg (1-i)+2 k \pi=\arctan (-1)+2 k \pi=-\frac{\pi}{4}+2 k \pi \\ \operatorname{Arg}(-1+i)=\arg (-1+i)+2 k \pi={\color{red}\arctan (-1)+\pi}+2 k \pi=-\frac{\pi}{4}+(2k+1) \pi \\ \operatorname{Arg}(-1-i)=\arg (-1-i)+2 k \pi={\color{red}\arctan 1-\pi}+2 k \pi=\frac{x}{4}+(2 k-1) \pi\\ (k=0,\pm 1,\pm 2, \cdots) \end{array} Arg(1+i)=arg(1+i)+2kπ=arctan1+2kπ=4π+2kπArg(1−i)=arg(1−i)+2kπ=arctan(−1)+2kπ=−4π+2kπArg(−1+i)=arg(−1+i)+2kπ=arctan(−1)+π+2kπ=−4π+(2k+1)πArg(−1−i)=arg(−1−i)+2kπ=arctan1−π+2kπ=4x+(2k−1)π(k=0,±1,±2,⋯)
从直角坐标到极坐标的关系，可得：
z=x+iy(代数形式)→z=r(cosθ+isinθ)(三角形式)z=x+iy ({\color{blue}代数形式}) \rightarrow z=r(cos\theta+isin\theta)({\color{blue}三角形式}) z=x+iy(代数形式)→z=r(cosθ+isinθ)(三角形式)
引出欧拉公式
eiθ=cosθ+isinθe^{i\theta}=cos\theta+isin\theta eiθ=cosθ+isinθ
故zzz可以表示为：
z=reiθ(或z=∣z∣eiargz)(指数形式)z=re^{i\theta}(或z=|z|e^{iargz})({\color{blue}指数形式}) z=reiθ(或z=∣z∣eiargz)(指数形式)
总结非零复数zzz三种表示形式：
代数形式→z=x+iy三角形式→z=r(cosθ+isinθ)指数形式→z=reiθ(或z=∣z∣eiargz){\color{purple}代数形式}\rightarrow z=x+iy \\{\color{purple}三角形式}\rightarrow z=r(cos\theta+isin\theta)\\{\color{purple}指数形式}\rightarrow z=re^{i\theta}(或z=|z|e^{iargz})代数形式→z=x+iy三角形式→z=r(cosθ+isinθ)指数形式→z=reiθ(或z=∣z∣eiargz)
例题：
1+i=2(cosθ+isinθ)=2eπ4i1+i=\sqrt{2}\left(cos\theta+isin\theta\right)=\sqrt{2}e^{\frac{\pi}{4}i} 1+i=2(cosθ+isinθ)=2e4πi
Remember:
eπ2i=i,e−π2i=−i,eπi=−1,e2kπi=1\mathbf{e^{\frac{\pi}{2}i}=i,e^{-\frac{\pi}{2}i}=-i,e^{\pi i}=-1,e^{2k\pi i}=1}e2πi=i,e−2πi=−i,eπi=−1,e2kπi=1
万能公式：
当 z=x+iy≠0,记 argz=θ(主值 ),则 \text { 当 } z=x+\mathrm{i} y \neq 0, \text { 记 } \arg z=\theta \text { (主值 }), \text { 则 } 当 z=x+iy=0, 记 argz=θ (主值 ), 则
tanθ2=sinθ1+cosθ=rsinθr+rcosθ=yx+x2+y2\tan \frac{\theta}{2}=\frac{\sin \theta}{1+\cos \theta}=\frac{r \sin \theta}{r+r \cos \theta}=\frac{y}{x+\sqrt{x^{2}+y^{2}}} tan2θ=1+cosθsinθ=r+rcosθrsinθ=x+x2+y2y
arg z=θ(主值 )=2arctanyx+x2+y2\text { arg } z=\theta(\text { 主值 })=2 \arctan \frac{y}{x+\sqrt{x^{2}+y^{2}}} arg z=θ( 主值 )=2arctanx+x2+y2y
Arg(z1z2)=Argz1+Argz2Argz1z2=Argz1−Argz2}\left.\begin{array}{l} \operatorname{Arg}\left(z_{1} z_{2}\right)=\operatorname{Arg} z_{1}+\operatorname{Arg} z_{2} \\ \operatorname{Arg} \frac{z_{1}}{z_{2}}=\operatorname{Arg} z_{1}-\operatorname{Arg} z_{2} \end{array}\right\} Arg(z1z2)=Argz1+Argz2Argz2z1=Argz1−Argz2}
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