第13堂课 作业讲解; 4 解析函数的幂级数表示法 4. 1 复级数的基本性质}

作业讲解: P 139 - 141, T 1, T 2 (2) , T 6, T 10 (1) , T 16 (1) .

1. 复数项级数

(1) 定义: 无穷多个复数相加, 即 $\dps{\vsm{n}\al_n=\al_1+\al_2+\cdots+\al_n+\cdots}$. 部分和: $\dps{s_n=\sum_{k=1}^n\al_k}$. 收敛或发散: $\dps{\vlm{n}s_n=s\lra \vsm{n}\al_n}$ 收敛 (于 $s$); $\sed{s_n}$ 发散 $\dps{\lra \vsm{n}\al_n}$ 发散.

(2) 与实数项级数的联系: 设 $\al_n=a_n+ib_n$, 则 $$\bex \vsm{n}\al_n=s=a+ib\lra \vsm{n}a_n=a,\ \vsm{n}b_n=b. \eex$$ [简言之, 实部的和 $=$ 和的实部; 虚部的和 $=$ 和的虚部]

(3) 例: $\dps{\vsm{n}\sex{\cfrac{1}{n}+\cfrac{i}{2^n}}}$, $\dps{\vsm{n}i^n}$.

(4) 敛散性判定准则

a. Cauchy 收敛准则: $\dps{\vsm{n}\al_n}$ 收敛 $\lra\ \forall\ \ve>0,\ \exists\ N,\ \forall\ n\geq N,\ \forall\ p\geq 1$, $\dps{\sev{\sum_{k=n+1}^{n+p}\al_k}<\ve}$.

b. 模级数准则: $\dps{\vsm{n}|\al_n|<\infty\ra \vsm{n}\al_n}$ 收敛.

c. 例: $\dps{|z|<1\ra \vsm{n}z^n}$ 收敛.

(5) 绝对收敛、条件收敛与发散

a. $$\beex \bea \mbox{级数}\sedd{\ba{ll}\mbox{收敛}\sedd{\ba{ll} \mbox{绝对收敛}\\ \mbox{条件收敛} \ea}\\ \mbox{发散} \ea} \eea \eeex$$

b. 绝对收敛与 Cauchy 乘积: 若 $\dps{\vsm{n}\al_n=s}$, $\sed{\vsm{n}\al_n'=s'}$, 则其 Cauchy 乘积 $$\bex \vsm{n}\sum_{k=1}^n\al_k\al_{n+1-k}'=ss', \eex$$ 且为绝对收敛.

2. 复函数项级数

(1) 定义: $\dps{\vsm{n}f_n(z)}$, $z\in E$. 和函数: $\dps{f(z)==\sum_{k=1}^n f_k(z),\ z\in D}$, 即 $$\bex \forall\ \ve>0,\ \exists\ N(\ve,z),\ \forall n\geq N, \sev{\sum_{k=1}^n f_k(z)-f(z)}<\ve. \eex$$

(2) 一致收敛: ``$\dps{\vsm{n}f_n(z)}$ 在 $D$ 上一致收敛于 $f(z)$'' 是指 $$\bex \forall\ \ve>0,\ \exists\ N(\ve),\ \forall n\geq N, \sev{\sum_{k=1}^n f_k(z)-f(z)}<\ve. \eex$$ 提问: ``$\dps{\vsm{n}f_n(z)}$ 在 $D$ 上不一致收敛于 $f(z)$'' 的数学语言是什么?

(3) 一致收敛的判定准则

a. Cauchy 收敛准则.

b. Weierstrass 优级数判定准则.

(4) 一致收敛的性质

a. 和函数连续 (极限与求和交换次序)

b. 可逐项积分 (积分与求和交换次序)、

(5) 内闭一致收敛: $D$ 内任一有界闭集上收敛.

a. 例: $\dps{\vsm{n}z^n}$ 在 $|z|<1$ 内内闭一致收敛.

3. 解析函数项级数

(1) 定义: $\dps{\vsm{n}f_n(z),\ z\in D}$, 其中 $f_n(z)$ 在 $D$ 内解析.

(2) 性质: 若解析函数项级数 $\dps{\vsm{n}f_n(z),\ z\in D}$ 在 $D$ 内内闭一致收敛, 则和函数解析, 并可逐项求导: $$\bex f^{(p)}(z)=\vsm{n} f_n^{(p)}(z),\quad z\in D,\ p\geq 1. \eex$$

作业: P 174 T 1 (1) .