微分方程构造辅助函数解中值定理

一阶线性微分方程构造辅助函数

设函数f(x)f(x)f(x)在闭区间[a,b][a,b][a,b]上连续，在开区间(a,b)(a,b)(a,b)上可导。若证明的微分中值问题为：至少存在一点ξ∈(a,b)\xi\in(a,b)ξ∈(a,b)使得
F(ξ)=f′(ξ)+p(ξ)f(ξ)−q(ξ)=0(1)F(\xi)=f^{\prime}(\xi)+p(\xi)f(\xi)-q(\xi)=0 \tag{1} F(ξ)=f′(ξ)+p(ξ)f(ξ)−q(ξ)=0(1)

其中p(x),q(x)p(x),q(x)p(x),q(x)在闭区间[a,b][a,b][a,b]上连续。

式(1)(1)(1)对应的微分方程为
f′(x)+p(x)f(x)=q(x)(2)f^{\prime}(x)+p(x)f(x)=q(x)\tag{2} f′(x)+p(x)f(x)=q(x)(2)

通解为
f(x)=e−∫p(x)dx(∫q(x)e∫p(x)dxdx+C)f(x)=e^{-\int p(x)\,{\rm d}x}\left(\int{q(x)e^{\int p(x)\,{\rm d}x}}\,{\rm d}x+C\right) f(x)=e−∫p(x)dx(∫q(x)e∫p(x)dxdx+C)

解出

C=f(x)e∫p(x)dx−∫q(x)e∫p(x)dxdxC= f(x)e^{\int p(x)\,{\rm d}x}-\int{q(x)e^{\int p(x)\,{\rm d}x}}\,{\rm d}x C=f(x)e∫p(x)dx−∫q(x)e∫p(x)dxdx

令
H(x)=f(x)e∫p(x)dx−∫q(x)e∫p(x)dxdx(3)H(x)= f(x)e^{\int p(x)\,{\rm d}x}-\int{q(x)e^{\int p(x)\,{\rm d}x}}\,{\rm d}x \tag{3} H(x)=f(x)e∫p(x)dx−∫q(x)e∫p(x)dxdx(3)

则H(x)H(x)H(x)就为中值问题(1)(1)(1)所对应的辅助函数

可降阶的二阶微分方程构造辅助函数

设函数f(x)f(x)f(x)在闭区间[a,b][a,b][a,b]上二阶可导，若证明的微分中值问题为ξ∈(a,b)\xi\in(a,b)ξ∈(a,b)，使得
F(ξ)=f′′(ξ)+λ(f(ξ))n=0(4)F(\xi)=f^{\prime\prime}(\xi)+\lambda(f(\xi))^{n}=0\tag{4} F(ξ)=f′′(ξ)+λ(f(ξ))n=0(4)
其中λ,n\lambda,nλ,n为不等于零的常数。
式(4)(4)(4)对应的微分方程
f′′(x)+λ[f(x)]n=0(5)f^{\prime\prime}(x)+\lambda[f(x)]^{n}=0\tag{5} f′′(x)+λ[f(x)]n=0(5)

设p(f(x))=f′(x)p(f(x))=f^{\prime}(x)p(f(x))=f′(x)，则f′′(x)=p′(f(x))f′(x)=p′(f(x))p(f(x))f^{\prime\prime}(x)=p^{\prime}(f(x))f^{\prime}(x)= p^{\prime}(f(x)) p(f(x))f′′(x)=p′(f(x))f′(x)=p′(f(x))p(f(x))
方程(5)(5)(5)化为
p(f(x))p′(f(x))+λ(f(x))n=0(6)p(f(x))p^{\prime}(f(x))+\lambda(f(x))^{n}=0\tag{6} p(f(x))p′(f(x))+λ(f(x))n=0(6)

解方程(6)(6)(6)得
12(f′(x))2+λn+1(f(x))n+1=C\frac{1}{2}(f^{\prime}(x))^{2}+\frac{\lambda}{n+1}(f(x))^{n+1}=C 21(f′(x))2+n+1λ(f(x))n+1=C

令
H(x)=12(f′(x))2+λn+1(f(x))n+1(7)H(x)= \frac{1}{2}(f^{\prime}(x))^{2}+\frac{\lambda}{n+1}(f(x))^{n+1}\tag{7} H(x)=21(f′(x))2+n+1λ(f(x))n+1(7)

(7)(7)(7)为中值定理问题(4)(4)(4)所对应的辅助函数

关于此类微分中值等式的证明，在具体问题中需证明f′(ξ)≠0f^{\prime}(\xi)\neq 0f′(ξ)=0，因为
H′(x)=f′(x)(f′′(x)+λ[f(x)]n)H^{\prime}(x)=f^{\prime}(x)\left(f^{\prime\prime}(x)+\lambda[f(x)]^{n}\right) H′(x)=f′(x)(f′′(x)+λ[f(x)]n)

所以，要结论成立就要求有f′(ξ)≠0f^{\prime}(\xi)\neq 0f′(ξ)=0。

例题

拓展阅读

[1]中值定理证明与辅助函数构造思路与方法（一）微信公众号：考研竞赛数学
[2]丁卫平等，一类微分中值辅助函数的构造及应用[J].湖南理工学院学报2019.9

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微分中值定理技巧，微分方程

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