3.6 矩阵秩的其它重要关系

矩阵秩的其它重要关系

矩阵由两个子矩阵的列向量构成，则秩大于等于子矩阵， max(rankA,rankB)≤rank(AB)max(rank A , rank B) \leq rank (A \quad B)max(rankA,rankB)≤rank(AB) 。rank(AB)rank (A \quad B)rank(AB) 是矩阵 AAA 列向量和矩阵 BBB 列向量的并集张成空间的维度，显然大于任一子集的维度。什么时候取等号呢？假设 rankA=rank(AB)rank A = rank (A \quad B)rankA=rank(AB) 则矩阵 BBB 列向量显然都能由矩阵 AAA 列向量生成，即存在矩阵 XXX 使 AX=BAX=BAX=B 成立。得到如下重要结论。

重要性质 矩阵方程 AX=BAX=BAX=B 有解的充分必要条件是 $ rank A = rank (A \quad B)$ 。

矩阵由两个子矩阵的行向量构成，则秩大于等于子矩阵， max(rankA,rankB)≤rank([AB])max(rank A , rank B) \leq rank (\left[ \begin{matrix} A \\ B \end{matrix} \right])max(rankA,rankB)≤rank([AB]) 。rankA=rank([AB])rank A = rank (\left[ \begin{matrix} A \\ B \end{matrix} \right])rankA=rank([AB]) 时矩阵 BBB 行向量显然都能由矩阵 AAA 行向量生成，即存在矩阵 XXX 使 XA=BXA=BXA=B 成立。得到如下重要结论。

重要性质 矩阵方程 XA=BXA=BXA=B 有解的充分必要条件是 rankA=rank([AB])rank A = rank (\left[ \begin{matrix} A \\ B \end{matrix} \right])rankA=rank([AB]) 。

矩阵由两个子矩阵的列向量构成，则秩小于等于子矩阵秩之和， rank(AB)≤rankA+rankBrank (A \quad B) \leq rank A + rank Brank(AB)≤rankA+rankB 。令矩阵 AAA 列向量组为 A=[a1,⋯,an]A=[ \mathbf{a_1},\cdots, \mathbf{a_n}]A=[a1,⋯,an] ，矩阵 BBB 列向量组为 B=[b1,⋯,bp]B=[ \mathbf{b_1},\cdots, \mathbf{b_p}]B=[b1,⋯,bp] ，则 rank(AB)rank (A \quad B)rank(AB) 等于向量组 [a1,⋯,an,b1,⋯,bp][ \mathbf{a_1},\cdots, \mathbf{a_n}, \mathbf{b_1},\cdots, \mathbf{b_p}][a1,⋯,an,b1,⋯,bp] 张成空间的维度，其维度显然小于等于矩阵 AAA 列向量组张成空间维度与矩阵 BBB 列向量组张成空间维度之和，故不等式成立。什么时候取等号呢？显然矩阵 AAA 列向量组的极大无关组和矩阵 BBB 列向量组的极大无关组互相不能表示时，它们张成的列空间只在原点相交。
矩阵由两个子矩阵的行向量构成，则秩小于等于子矩阵秩之和， rank([AB])≤rankA+rankBrank (\left[ \begin{matrix} A \\ B \end{matrix} \right]) \leq rank A + rank Brank([AB])≤rankA+rankB 。令矩阵 AAA 行向量组为 A=[ar1T,⋯,armT]A=[ \mathbf{a^T_{r1}},\cdots, \mathbf{a^T_{rm}}]A=[ar1T,⋯,armT] ，矩阵 BBB 行向量组为 B=[br1T,⋯,brnT]B=[ \mathbf{b^T_{r1}},\cdots, \mathbf{b^T_{rn}}]B=[br1T,⋯,brnT] ，则 rank([AB])rank (\left[ \begin{matrix} A \\ B \end{matrix} \right])rank([AB]) 等于行向量组 [ar1T,⋯,armT,br1T,⋯,brnT][ \mathbf{a^T_{r1}},\cdots, \mathbf{a^T_{rm}}, \mathbf{b^T_{r1}},\cdots, \mathbf{b^T_{rn}}][ar1T,⋯,armT,br1T,⋯,brnT] 张成空间的维度，其维度显然小于等于矩阵 AAA 行向量组张成空间维度与矩阵 BBB 行向量组张成空间维度之和，故不等式成立。什么时候取等号呢？显然矩阵 AAA 行向量组的极大无关组和矩阵 BBB 行向量组的极大无关组互相不能表示时，它们张成的行空间只在原点相交。
矩阵和的秩小于等于矩阵秩之和，即 rank(A+B)≤rankA+rankBrank (A+B) \leq rank A + rank Brank(A+B)≤rankA+rankB 。
证：令矩阵 AAA 列向量组为 A=[a1,⋯,an]A=[ \mathbf{a_1},\cdots, \mathbf{a_n}]A=[a1,⋯,an] ，矩阵 BBB 列向量组为 B=[b1,⋯,bn]B=[ \mathbf{b_1},\cdots, \mathbf{b_n}]B=[b1,⋯,bn] ，则 rank(A+B)rank (A + B)rank(A+B) 等于向量组 [a1+b1,⋯,an+bn][ \mathbf{a_1}+\mathbf{b_1},\cdots, \mathbf{a_n}+\mathbf{b_n}][a1+b1,⋯,an+bn] 张成空间的维度，其维度显然小于等于矩阵 AAA 列向量组张成空间维度与矩阵 BBB 列向量组张成空间维度之和，故不等式成立。什么时候取等号呢？ rankA+rankB=rank(A+B)≤rank（AB)≤rankA+rankBrank A + rank B = rank (A+B) \leq rank （A \quad B) \leq rank A + rank BrankA+rankB=rank(A+B)≤rank（AB)≤rankA+rankB ，这意味着 rank（AB)=rankA+rankBrank （A \quad B) = rank A + rank Brank（AB)=rankA+rankB ，所以矩阵 A,BA,BA,B 列空间只在原点相交。同理， rankA+rankB=rank(A+B)≤rank([AB])≤rankA+rankBrank A + rank B = rank (A+B) \leq rank (\left[ \begin{matrix} A \\ B \end{matrix} \right]) \leq rank A + rank BrankA+rankB=rank(A+B)≤rank([AB])≤rankA+rankB ，这意味着 rank([AB])=rankA+rankBrank (\left[ \begin{matrix} A \\ B \end{matrix} \right]) = rank A + rank Brank([AB])=rankA+rankB ，所以矩阵 A,BA,BA,B 行空间只在原点相交。所以，rank(A+B)=rankA+rankBrank (A+B) = rank A + rank Brank(A+B)=rankA+rankB 时，矩阵 A,BA,BA,B 列空间只在原点相交，行空间只在原点相交。
SylvesterSylvesterSylvester 不等式，即对任意矩阵 Amn,BnpA_{mn},B_{np}Amn,Bnp ， rankAB≥rankA+rankB−nrank AB \geq rank A + rank B - nrankAB≥rankA+rankB−n 成立。
若取 AB=OAB=\mathbf{O}AB=O ，得 rankA+rankB≤nrank A + rank B \leq nrankA+rankB≤n 不等式。
证：令矩阵 BBB 列向量组的极大无关组中有 kkk 个向量位于矩阵 AAA 的零空间，则 rankAB=rankB−krank AB = rank B - krankAB=rankB−k ，又矩阵 AAA 零空间维度是 n−rankAn-rank An−rankA ，所以 k≤n−rankAk \leq n-rank Ak≤n−rankA ，则 rankAB=rankB−k≥rankB−(n−rankA)=rankA+rankB−nrank AB = rank B - k \geq rank B - (n-rank A) = rank A + rank B - nrankAB=rankB−k≥rankB−(n−rankA)=rankA+rankB−n 。等号当 k=n−rankAk = n-rank Ak=n−rankA 时成立，即矩阵 BBB 列向量组的极大无关组包含矩阵 AAA 零空间的基，或者说，矩阵 AAA 零空间位于矩阵 BBB 列空间内。
FrobeniusFrobeniusFrobenius 不等式，即对任意矩阵 Amn,Bnp,CpqA_{mn},B_{np},C_{pq}Amn,Bnp,Cpq ， rankAB+rankBC≤rankABC+rankBrank AB + rank BC \leq rank ABC + rank BrankAB+rankBC≤rankABC+rankB 成立。
若取 B=EnB=E_nB=En ，得 SylvesterSylvesterSylvester 不等式。若取 C=OC=\mathbf{O}C=O ，得 rankAB≤rankBrank AB \leq rank BrankAB≤rankB 不等式。
证：采用分块矩阵和矩阵乘可逆矩阵秩不变原理来证明。
[Em−AOEn][ABOBBC][Ep−COEq][OEp−EqO]=[ABCOOB]\left[ \begin{matrix} E_m & -A \\ \mathbf{O} & E_n \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} AB & \mathbf{O} \\ B & BC \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} E_p & -C \\ \mathbf{O} & E_q \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} \mathbf{O} & E_p \\ -E_q & \mathbf{O} \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} ABC & \mathbf{O} \\ \mathbf{O} & B \end{matrix} \right] [EmO−AEn][ABBOBC][EpO−CEq][O−EqEpO]=[ABCOOB]
rank([ABOBBC])=rank([ABCOOB])=rankABC+rankBrank([ABOBBC])≥rankAB+rankBCrank (\left[ \begin{matrix} AB & \mathbf{O} \\ B & BC \end{matrix} \right]) = rank (\left[ \begin{matrix} ABC & \mathbf{O} \\ \mathbf{O} & B \end{matrix} \right]) =rank ABC + rank B \\ rank (\left[ \begin{matrix} AB & \mathbf{O} \\ B & BC \end{matrix} \right]) \geq rank AB + rank BC rank([ABBOBC])=rank([ABCOOB])=rankABC+rankBrank([ABBOBC])≥rankAB+rankBC

等号成立充分必要条件是存在矩阵 XnmX_{nm}Xnm 与 YqpY_{qp}Yqp 使
XAB+BCY=BXAB + BCY = B XAB+BCY=B

该方法技巧性极强，需要构造矩阵乘法，一旦构造好，证明就很简洁。

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