中值定理符号怎么读_微分、微分中值定理、泰勒公式

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黑莓 2020/10/09

温习

001-031	逻辑、集合、空间 + 线性代数
	00线性代数研究什么内容？-上海交大
032-047	行列式的定义、性质与计算10/03
048-078	矩阵的定义、运算10/03
079-117	可逆矩阵、初等变换与秩10/04
118-143	最大线性无关向量组与秩10/05
144-159	线性方程组解的判断与求解方法10/05
数学分析01	极限与连续2020/10/07
数学分析02	导数、求导与导数的应用 10/08

微分

详见微分

定义

Q	A
函数y=f(x)在x点处的微分是指什么？	①指因变量增量△y关于自变量增量△x的线性主部 ②记作 dy或df(x) dy=df(x)=f'(x)dx=y'dx ③微分dy是因变量增量△y的近似值 ④也可以说函数的微分等于函数的导数乘以自变量的微分。
微分的几何意义是？	详见?微分
可微与可导的关系是什么？	dy=f'(x)dx 等价于 y'=f '(x)
怎么求微分呢？	你以为需要先求y'或f'(x)，再求得dy=f'(x)dx 吗？不用那样的。我们可以直接求微分。详见?

和差积商法则与常用公式

微分中值定理

罗尔定理?

拉格朗日中值定理

泰勒公式

直线部分为函数在点x0处的切线方程，将f(x0)移到等号右边后……

①从几何的角度，

现在是以直线来代替曲线，

那我们是否可以用曲线来代替曲线呢？

它的近似度是否会更好一些呢？

②从分析的角度，

我们想知道：O(x-x0)有多大？到底是什么结构？

这就是泰勒公式要讨论的问题。

Q	A
带有皮亚诺余项的泰勒公式是指？	若f(x)在x0处有n阶导数，那么存在x0的一个邻域，对于该邻域内的任一x，有f(x)=…… 此式叫做函数f(x)在点x0处的带有皮亚诺余项的n阶泰勒公式。
带有皮亚诺余项的麦克劳林公式又是指什么呀？	【特殊】当x0=0时，所得的式子叫做带有皮亚诺余项的麦克劳林公式。
求f(x)=e^x在x=0处的Taylor展开式	【提示】y=e^x的n阶导数都为e^x
求f(x)=sin x在x=0处的Taylor展开式	【提示】正弦函数是奇函数，其展开式仍然能显示该特征。
求f(x)=cos x在x=0处的Taylor展开式	【提示】余弦函数是偶函数，其展开式仍然能显示该特征。
带有拉格朗日余项的泰勒公式是？
带有拉格朗日余项的麦克劳林公式又是什么呢？

不妨拿O(x-x0)与(x-x0)^2作比较。

为什么拿它来比较呢？?

因为比一次方已经没有意义了，

我们已经知道它→0：

当x→ x0，O(x-x0)/(x-x0)→0

j=0时，我们约定：

f(x0)的0阶就是不求导的意思

0的阶乘为1。

函数在x0点可以写成：

多项式+皮亚诺余项

很多时候，我们是在x=0点展开。

因为什么呢？

一个函数在x=0点展开，

与在x=x0点展开，

仅仅就是展开式的一个平移。

特殊泰勒?

泰勒公式-应用

Q	A
泰勒公式的应用有哪些呢？	近似计算、估计误差、求函数极限……例子↓
比起用洛必达法则求极限，用泰勒公式计算极限有何优势？	直接、一次性

近似计算、误差?

用于求极限?

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