UA PHYS515A 电磁学II 静电学问题8 球坐标系中的Laplace方程与球谐函数

球坐标下的Laplace方程为

∇2Φ(r,θ,ϕ)=1r∂2∂r2(rΦ)+1r2sin⁡θ∂∂θ(sin⁡θ∂Φ∂θ)+1r2sin⁡2θ∂2Φ∂ϕ2=0\nabla^2 \Phi(r,\theta,\phi) = \frac{1}{r}\frac{\partial^2}{\partial r^2}(r\Phi)+\frac{1}{r^2 \sin \theta} \frac{\partial}{\partial \theta}(\sin \theta \frac{\partial \Phi}{\partial \theta}) \\ + \frac{1}{r^2 \sin^2 \theta}\frac{\partial^2 \Phi}{\partial \phi^2}=0∇2Φ(r,θ,ϕ)=r1∂r2∂2(rΦ)+r2sinθ1∂θ∂(sinθ∂θ∂Φ)+r2sin2θ1∂ϕ2∂2Φ=0

假设可分离变量，
Φ(r,θ,ϕ)=U(r)rP(θ)Q(ϕ)\Phi(r,\theta,\phi)=\frac{U(r)}{r}P(\theta)Q(\phi)Φ(r,θ,ϕ)=rU(r)P(θ)Q(ϕ)

将这个表达式代入Laplace方程并引入比例常数mmm，使得
m2=−Q′′Q=r2sin⁡2θ[U′′U+(P′sin⁡θ)′r2Psin⁡θ]m^2 = -\frac{Q''}{Q}=r^2 \sin^2 \theta[\frac{U''}{U}+\frac{(P'\sin \theta)'}{r^2P \sin \theta}]m2=−QQ′′=r2sin2θ[UU′′+r2Psinθ(P′sinθ)′]

第一个等号的解系为{e±imϕ}\{e^{\pm i m \phi}\}{e±imϕ}，引入第二个比例常数λ\lambdaλ来处理第二个等号，
r2U′′U=λ=−1Psin⁡θ(P′sin⁡θ)′−m2sin⁡2θr^2 \frac{U''}{U}=\lambda = -\frac{1}{P\sin \theta}(P'\sin \theta)'-\frac{m^2}{\sin^2 \theta}r2UU′′=λ=−Psinθ1(P′sinθ)′−sin2θm2

第二个等号可以做一个换元，x=cos⁡θx = \cos \thetax=cosθ，则
[(1−x2)P′]′+(λ−m21−x2)P=0[(1-x^2)P']'+(\lambda-\frac{m^2}{1-x^2})P=0[(1−x2)P′]′+(λ−1−x2m2)P=0

如果m=0m=0m=0，这个方程的解就是Legendre多项式：
P0(x)=1P1(x)=xP2(x)=3x2−12⋯P_0(x) = 1 \\ P_1(x)=x \\ P_2(x)=\frac{3x^2-1}{2} \\ \cdotsP0(x)=1P1(x)=xP2(x)=23x2−1⋯

当m≠0m \ne 0m=0时，考虑m=−l,−(l−1),⋯,0,⋯,(l−1),lm=-l,-(l-1),\cdots,0,\cdots,(l-1),lm=−l,−(l−1),⋯,0,⋯,(l−1),l，方程的解为
Plm(x)=(−1)m(1−x2)m/2Pl(m)(x)P_l^m(x)=(-1)^m(1-x^2)^{m/2}P_l^{(m)}(x)Plm(x)=(−1)m(1−x2)m/2Pl(m)(x)

{Plme±imϕ}\{P_l^me^{\pm im\phi}\}{Plme±imϕ}是一个完备的函数系，称这个函数系为球谐函数，记为Ylm(θ,ϕ)\mathcal{Y}_{lm}(\theta,\phi)Ylm(θ,ϕ)，
Ylm(θ,ϕ)=2l+14π(l−m)!(l+m)!Plm(cos⁡θ)eimϕ\mathcal{Y}_{lm}(\theta,\phi)=\sqrt{\frac{2l+1}{4 \pi}\frac{(l-m)!}{(l+m)!}}P_l^m(\cos \theta)e^{im\phi}Ylm(θ,ϕ)=4π2l+1(l+m)!(l−m)!Plm(cosθ)eimϕ

最后考虑
U′′−λU/r=0,λ=l(l+1)U''-\lambda U/r=0,\lambda = l(l+1)U′′−λU/r=0,λ=l(l+1)

它的解为
U=Arl+1+Br−lU = Ar^{l+1}+Br^{-l}U=Arl+1+Br−l

最后我们可以写出球坐标下电势的通解：
Φ(r,θ,ϕ)=1r∑l,m[Al,mrl+1+Bl,mrl]Yl,m(θ,ϕ)\Phi(r,\theta,\phi)=\frac{1}{r}\sum_{l,m}[A_{l,m}r^{l+1}+B_{l,m}r^l]\mathcal{Y}_{l,m}(\theta,\phi)Φ(r,θ,ϕ)=r1l,m∑[Al,mrl+1+Bl,mrl]Yl,m(θ,ϕ)

UA PHYS515A 电磁学II 静电学问题8 球坐标系中的Laplace方程与球谐函数相关推荐

matlab中欠定方程组超定方程组_《数值天气预报》：球坐标系中的基本方程组
人们是如何预报天气的?目前的预报方法主要有两种:一种是基于由各种探测资料绘制的天气图,结合历史资料进行分析预测:另一种是基于大气方程组,利用数值解法对其进行求解,从而得到未来时刻的大气状态. 后者就是 ...
▽算符在球坐标系_球坐标系中的角动量算符
&nbsp &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp 预备知识角动量(量子) 本文使用原子单位制．在量子力学中, ...
用 java实现双色球号码生成系统；（在装满33个红色球池中连续抽取6个红球；在一个装满16颗球的蓝色球池中抽取1个蓝球。）
用实际抓球实现(模仿现实变量) public class TestLottery1 {/*双色球号码生成算法一:模仿现实情况,在一个装满33个球的球池中连续抽取6个红球:在一个装满16颗球的球池中抽取 ...
r矢量球坐标系旋度_三个常用坐标系的认识及矢量旋度表达式的证明
三个常用坐标系的认识及矢量旋度表达式的证明 [摘要] 本文通过分析一个悖论的产生原因,叙述了在学习中对三个常用坐标系的单位矢量的一点认识:然后由旋度的定义出发,给出了一种不同于教材的矢量旋度表达式推演 ...
三重积分--------球坐标系
最近在复习高数,三重积分一直无法很好的理解.直到看到这篇博文感觉茅塞顿开,可能是自己想通了,也可能是博文写的好.只因此文对我帮助甚大,特此转写,希望也能给别人提供帮助. 如果作者,觉得有何不妥,可联系 ...
divgrad怎么求_[怎样理解圆柱坐标系和球坐标系求梯度.散度]球坐标系梯度如何求...
怎样理解圆柱坐标系和球坐标系求梯度.散度.旋度公式记住公式好办你先记住哈密顿算子▽ 他表示一个矢量算子(注意): ▽≡i*d/dx+j*d/dy+k*d/dz 运算规则: 一.▽A=(i*d/dx ...
UA PHYS515A 电磁理论II 静电学问题的一个例子
UA PHYS515A 电磁理论II 静电学问题的一个例子例假设有一个中空球形导体,中空部分也是一个球形,半径为aaa,球心与导体相同,导体半径为bbb:球心处有一个+q+q+q的点电荷,距离圆心 ...
UA PHYS515A 电磁理论IV 时变电磁场理论2 Helmholtz方程与含时的Green函数
UA PHYS515A 电磁理论IV 时变电磁场理论2 Helmholtz方程与含时的Green函数上一讲的末尾我们介绍了Lorentz Gauge下的含时麦克斯韦方程: (∇2−1c2∂2∂t2) ...
UA PHYS515A 电磁理论V 电磁波与辐射10 简单辐射问题一根通电电线的辐射
UA PHYS515A 电磁理论V 电磁波与辐射10 简单辐射问题一根通电电线的辐射假设zzz轴上放了一根电线,观察者位移的单位向量为r^\hat rr^,用I\textbf II表示电线中的电流 ...
UA PHYS515A 电磁理论V 电磁波与辐射3 偏振
UA PHYS515A 电磁理论V 电磁波与辐射3 偏振之前谈到过电动力学讨论的就是作为源头的电荷与电流如何产生电磁场,以及由源头激发出的电磁场又如何反作用于这些电荷与电流以及存在于介质中的电荷.因 ...

UA PHYS515A 电磁学II 静电学问题8 球坐标系中的Laplace方程与球谐函数

UA PHYS515A 电磁学II 静电学问题8 球坐标系中的Laplace方程与球谐函数

UA PHYS515A 电磁学II 静电学问题8 球坐标系中的Laplace方程与球谐函数相关推荐

最新文章

热门文章